Próbny egzamin maturalny z matematyki 1
Poziom rozszerzony
OCENIANIE ARKUSZA
POZIOM ROZSZERZONY
Liczba
Numer
Etapy rozwiązania zadania Uwagi dla sprawdzającego
punktów
zadania
Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci
-2 2
1.1 1
f (x) = 1+ lub f (x) = 1- .
x -1 x -1
I sposób rozwiązania podpunktu b). 1 pkt za wykonanie dzielenia
( px - 3) : (x - p) = p(x - p) + p2 - 3
lub wykorzystanie innej metody , która doprowadzi do
zapisania wyrażenia w postaci sumy, np.
p2 - 3
p(x - p) + p2 - 3
1.2 Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy f (x) = p + . 2
f (x) = .
1.
x - p
x - p
1 pkt za zapisanie funkcji w postaci homograficznej:
p2 - 3
f (x) = p + .
x - p
1.3 Zapisanie nierówności p2 - 3 > 0 . 1
Rozwiązanie powyższej nierówności:
1.4 1
p " -",- 3 *" 3," .
() ( )
II sposób rozwiązania podpunktu b)
Obliczenie pochodnej funkcji f (x) :
3 - p2
2
f (x) = , x `" p
2
1 pkt przyznajemy za obliczenie pochodnej,
x
( - p
)
1.2 2
1 pkt za zapisanie nierówności.
3 - p2
i zapisanie nierówności < 0 pozwalającej
2
x
( - p
)
wyznaczyć szukany zbiór wartości parametru p.
2 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
2
Stwierdzenie, że x - p > 0 i zapisanie nierówności
( )
1.3 1
3- p2 < 0 .
Rozwiązanie nierówności 3- p2 < 0 :
1.4 1
p " -",- 3 *" 3," .
() ( )
III sposób rozwiązania podpunktu b) z zastosowaniem
definicji funkcji malejącej.
Dla dowolnych x1, x2 " p," takich, że x1 < x2 funkcja f
( ) 1 pkt  zapisanie założeń.
1 pkt  doprowadzenie różnicy f (x2) - f (x1) do postaci
jest malejąca gdy f (x2) - f (x1) < 0 .
1.2 2
iloczynowej.
Obliczenie różnicy f (x2) - f (x1) :
p2(x1 - x2) - 3(x1 - x2) (x1 - x2)( p2 - 3)
f (x2) - f (x1) = = .
(x2 - p)(x1 - p) (x2 - p)(x1 - p)
Analiza znaku ułamka:
Zauważenie, że wyrażenie f (x2) - f (x1) przyjmuje
1.
(x2 - p) > 0 , (x1 - p) > 0 i (x1 - x2) < 0 dla każdego
1.3 1
wartość ujemną gdy p2 - 3 > 0 .
x1, x2 " p," . Zapisanie nierówności p2 - 3 > 0 .
( )
Rozwiązanie nierówności p2 - 3 > 0 :
1.4 1
p " -",- 3 *" 3," .
() ( )
IV sposób rozwiązania podpunktu b)
Zapisanie warunku wystarczającego na to, żeby funkcja f
1.2 2
była malejąca w przedziale p, +" : f p +1 > p .
( ) ( )
Zapisanie warunku f p +1 > p w postaci:
( )
1.3 p p +1 3 1
( )-
> p .
p +1
( )- p
Rozwiązanie nierówności p2 - 3 > 0 :
1.4 1
p " -",- 3 *" 3," .
() ( )
Próbny egzamin maturalny z matematyki 3
Poziom rozszerzony
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu y = x2 - 8x + 12 :
2.1 1
x1 = 2, x2 = 6 .
Rozważenie możliwych przypadków ciągów
geometrycznych, które mogą być rosnące:
2.2 3 1 pkt za rozwiązanie każdego z przypadków.
2.
k, 2,6 , 2, k,6 , 2,6, k
( ) ( ) ( )
Wyznaczenie wszystkich wartości k, dla których ciąg jest
Jeśli zdający nie odrzucił rozwiązania k =-2 3 , nie
2
2.3 1
przyznajemy punktu.
rosnący: k = lub k = 2 3 lub k = 18 .
3
1 pkt za wykorzystanie definicji logarytmu i zapisanie
równania log 4 = -2 .
p
3.1 Zapisanie wzoru funkcji f : f (x) = log1 x . 2
1 pkt za wyznaczenie podstawy logarytmu .
2
Za bezpośrednie podanie wzoru funkcji przyznajemy
2 pkt.
2
Zdający może od razu zapisać alternatywę równań :
3.
Rozwiązanie równania ( f (x)) -16 = 0 :
3.2 1
log1 x = -4 lub log1 x = 4 .
f x = 4 lub f x = -4 z niewiadomą f x .
( ) ( ) ( )
22
2
Podanie rozwiązań równania( f (x)) -16 = 0
3.3 1
1
z niewiadomą x: x = lub x =16 .
16
4 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Sporządzenie poprawnego rysunku, na którym, np.: Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z
D oznacza punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną, zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym
E ,F są punktami styczności przyprostokątnych AC i BC trójkąta okręgiem.
z okręgiem.
(odcinek CD nie zawiera średnicy okręgu wpisanego w dany
trójkąt).
C
E
4. 4.1 1
F
O
B D A
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt leży
w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. "FBO jest
4.2 1
prostokątny i FBO = 30 . OF = 3 stąd OB = 2 3 .
Obliczenie długość odcinka FB z "FBO : FB = 3.
4.3 1
Obliczenie długość odcinka CB: CB = CF + FB = 3 + 3 .
4.4 1
Obliczenie długość odcinka DB: DB = BF = 3 .
4.5 1
Z własności trójkąta opisanego na okręgu.
Próbny egzamin maturalny z matematyki 5
Poziom rozszerzony
Zastosowanie wzoru cosinusów w "CBD do obliczenie długości Jeżeli błąd jest spowodowany tym, że punkty C,
odcinka CD: O, D są współliniowe i zdający korzysta z
2 2 2
twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CBD , wtedy
CD = CB + DB - 2 CB �" DB cos 60 ,
nie przyznajemy punktów.
4.6 2
2
2 1
CD = 3+ 3 + 32 - 2�" 3+ 3 �"3�" = 12 + 3 3 ,
( ) ( )
2
CD = 12 + 3 3 .
II sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
C
E
F
4.1 1
O
4.
B D A
Skorzystanie z tego, że CE = CF = r (czworokąt CFOE jest
kwadratem) oraz ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego
AC + BC - AB
w trójkąt CE = CF = .
2
4.2 1
Przyjęcie oznaczeń, np. a = BC i zapisanie tej równości w postaci:
a 3 -1
( ).
a + a 3 - 2a
3 ==
22
6 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
2 3
4.3 Obliczenie BC = a = = 3 + 3 . 1
3 -1
Obliczenie AC = 3 3 + 3, np. z wykorzystaniem funkcji
4.4 1
trygonometrycznych w trójkącie ABC.
Obliczenie AE = AD = 3+ 2 3 .
4.5 1
Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CDA i obliczenie
długości CD :
2 2 2
CD = AC + AD - 2 AC �" AD �"cos30 ,
4.6 2
22
2 3
CD = 3 + 3 3 + 3+ 2 3 - 2 3+ 3 3 3+ 2 3 = 12 + 3 3
() () ()()
2
CD = 12 + 3 3 .
III sposób rozwiązania ( z wykorzystaniem COD ).
Sporządzenie rysunku.
C
E
F
4. 4.1 1
O
B D A
Próbny egzamin maturalny z matematyki 7
Poziom rozszerzony
Obliczenie miary FOD :
(wykorzystanie miary kątów czworokąta FODB)
4.2 1
FOD + 2�"90 + 60 = 360 ,
FOD = 120 .
Zauważenie, że FOC = 45
4.3 1
i obliczenie COD = 45 +120 = 165 .
Obliczenie długości odcinka OC.
(OC przekątna kwadratu o boku długości 3).
4.4 1
OC = 3 �" 2 = 6 .
4.5 1
Wykorzystanie wzoru redukcyjnego: cos165 =-cos15 .
Zastosowanie wzoru cosinusów w "COD :
2 2 2
CD = OC + OD - 2�" OC �" OD cos165 .
Zdający może pozostawić wynik w takiej
Obliczenie długości odcinka CD:
4.6 2
postaci: 9 + 6 2 cos15 , lub odczytać wartość
2 2
2
CD = 6 + 3 + 2�" 6 �" 3 �"cos15 ,
cosinusa z tablic i podać wynik liczbowy.
( ) ( )
2
CD = 9 + 6 2 cos15 .
8 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
IV sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
C
F
4.1 1
O
B D A
Oznaczmy AB = a . Z własności trójkąta ABC wynika, że
4.2 1
a a 3
4.
BC = , AC = .
2 2
Wyznaczenie pola trójkąta ABC (z zastosowaniem wzoru: S = pr ,
1
gdzie p = a + b + c i r jest promieniem okręgu wpisanego w
()
2
4.3 1
�#ś#
AC �" BC
3 a a 3 a2 3
ten trójkąt): a + + = = .
ś#ź#
ś#ź#
2 2 2 2 8
�# #
Wyznaczenie AB = a z powyższej równości:
4.4 �#ś# 1
3 3
4a + = a2 , AB = a = 6 + 2 3 .
ś#ź#
ś#ź#
2 2
�# #
Wyznaczenie długości odcinka BD:
a
4.5 1
BD = BF = - CF = 3+ 3 - 3 = 3 .
2
Próbny egzamin maturalny z matematyki 9
Poziom rozszerzony
Zastosowanie wzoru cosinusów w trójkącie CBD do wyznaczenia
4.6 2 2 2 2
długości odcinka CD: CD = CB + BD - 2 CB �" BD cos 60 .
V sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
C
P
4.1 1
O
R
B D A
4.
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt
leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów. Wyznaczenie
4.2 1
OD
3 3
AD z trójkąta AOD: = = tg15 stąd AD = .
AD AD tg15
DO
3
Wyznaczenie BD z trójkąta BOD: = = tg30 stąd
BD BD
4.3 1
BD = 3 .
13
PD = AD =
22tg15
4.4 1
(z trójkąta prostokątnego PDA, w którym PDA = 60 ).
10 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
BD �" 3
3 3
DR ==
4.5 1
22
(z trójkąta prostokątnego BDR, w którym DBR = 60 ).
Wyznaczenie długości odcinka CD z trójkąta prostokątnego CDR:
2 2 3 27
4.6 2
CD = RD + RC = + .
4tg215 4
VI sposób rozwiązania.
Sporządzenie rysunku.
C
E
F
4.1 1
O
M
N
4.
B D A
Obliczenie miary kąta DON: DON = 30 .
4.2 1
DN
Wyznaczenia DN z trójkąta prostokątnego OND: = sin 30 ,
OD
4.3 1
3 13
DN = i ON = OD �" 3 = .
2 22
3
CM = CF + FM = 3 + ON = + 3 .
4.4 1
2
Próbny egzamin maturalny z matematyki 11
Poziom rozszerzony
33 3
4.5 1
DM = DN + MN = + OF = .
22
Wyznaczenie CD z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie CMD:
2
2
�# ś#
222 33 3
�# ś#
CD = CM + DM = + 3 + = 12 + 3 3 ,
4.6 ś# ź# 2
ś# ź#
ś# ź#
22
�# #
�# #
CD = 12 + 3 3 .
VII sposób rozwiązania. Zdający otrzymuje punkt jeśli narysuje trójkąt z
Sporządzenie rysunku. zaznaczonymi dobrymi kątami i wpisanym
C
okręgiem.
E
F
4.1 1
O
4.
B G D A
Wykorzystanie własności : środek okręgu wpisanego w trójkąt
leży w punkcie przecięcia dwusiecznych jego kątów.
4.2 1
"FBO (lub "BDO ) jest prostokątny i FBO = 30 .
OF = 3 stąd OB = 2 3 .
Obliczenie długości odcinków FB z "FBO i BD z "BDO :
4.3 1
FB = 3 i BD = 3 .
Obliczenie długość odcinka CB: CB = CF + FB = 3 + 3 .
4.4 1
12 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Obliczenie długości odcinków BG i CG i DG:
3+ 3 3 3+3 3
1
BG = BC = , CG = BC = ,
4.5 2 2 2 2 1
3- 3
GD = BD - BG = .
2
Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa "BGC do obliczenie
2 2 2
długości odcinka CD: CD = CG + GD
4.6 2
2 2
2
3+3 3 3- 3
�# ś# �# ś#
CD = + = 12 + 3 3 , CD = 12 + 3 3 .
ś# ź# ś# ź#
2 2
�# # �# #
Zdający może rozpatrzyć dwa przypadki
i za każdy poprawnie rozwiązany otrzymuje 1 pkt.
Jeśli jest prawidłowy rysunek to zdający
Sporządzenie wykresu funkcji
otrzymuje 2 pkt.
(skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i sporządzenie
Przyznajemy 1 punkt jeśli, np.
5.1 2
wykresu albo naszkicowanie wykresu funkcji g(x) = 2x - x2 ,
- rysunek jest prawidłowy tylko po jednej stronie
osi Oy,
a następnie naszkicowanie wykresu funkcji f (x) = g( x ) ).
5.
- gdy zdający nie wybrał tej części wykresu, która
jest prawidłowa (pozostawił niepotrzebne części
wykresu).
Wskazanie każdego punktu, w którym istnieje ekstremum lokalne
funkcji f i określenie rodzaju ekstremum:
5.2 1
minimum lokalne dla x = 0 ,
maksimum lokalne dla x = -1 oraz x = 1.
Wyznaczenie współrzędnych punktu D: D = 0,6 .
6.1 ( ) 1
Wyznaczenie współrzędnych punktów A i B:
6.2 1
A =
(-3,0 , B = 6,0
) ( )
6.
Wyznaczenie długości odcinka CD: CD = 3 .
6.3 1
9 + 3
Obliczenie pola trapezu: PABCD = �"6 = 36 .
6.4 1
2
Próbny egzamin maturalny z matematyki 13
Poziom rozszerzony
1
Jeśli zdający podzieli równanie obustronnie
Wyznaczenie cos x z danego równania: cos x = 0 lub cos x = .
7.1 1
przez cos x , bez komentarza dostaje 0 pkt.
2
Jeśli zdający w 7.1 podzielił równanie przez
Wybranie i zapisanie rozwiązań należących do przedziału 0, 2Ą :
cos x ale poprawnie rozwiązał otrzymane w ten
7.2 Ą Ą 3 5 2
x1 = , x2 = , x3 = Ą , x4 = Ą . sposób równanie otrzymuje 1 pkt.
322 3
Zdający może podać odpowiedz
w stopniach.
II sposób rozwiązania.
Ą 3Ą
7.1 1
7.
Rozwiązanie równania gdy cos x = 0 : x = lub x = .
2 2
Rozwiązanie równania gdy cos x `" 0 :
1 pkt - za doprowadzenie równania do najprostszej postaci
1
cos x = .
7.2 2
2
Ą 5Ą
1 pkt  za rozwiązanie: x = lub x = .
3 3
Zaznaczenie w przedziale 2,3 poprawnego znaku pochodnej: (+).
8.1 ( ) 1
1 pkt jeśli zdający poda odpowiedz
 nie
pozwala,
2 pkt jeśli poda odpowiedz
 nie pozwala, bo
może mieć 2 lub 3 lub 4 miejsca zerowe
Zapisanie, że mimo poprawienia błędu w tej tabeli umieszczone
(poprawnie wskazuje dwie różne liczby miejsc
8.
w niej dane nie pozwalają stwierdzić dokładnie ile miejsc zerowych
zerowych, ale nie pokazuje, jak wygląda wykres
8.2 3
ma funkcja f: mogą być 2, 3 albo 4 miejsca zerowe
funkcji).
(zdający sporządza rysunki lub przedstawia słowne uzasadnienie).
3 pkt jeśli poda odpowiedz
i narysuje dwa
wykresy lub pokazuje, że np. w przedziale
3, +" funkcja może mieć 0 miejsc zerowych
( )
lub 1 miejsce zerowe.
14 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
Obliczenie prawdopodobieństwa P(A )" B) :
9.1 P(A)" B) = P(A) - P(A \ B) = 0, 2 . 2
(1 pkt za pokazanie metody, 1 pkt za obliczenia)
9.
Obliczenie iloczynu prawdopodobieństw P(A) �" P(B)
9.2 i zapisanie, że dane zdarzenia są niezależne: 1
P(A) �" P(B) = 0,5 �" 0,4 = 0,2 .
Obliczenie różnicy dwóch kolejnych wyrazów w postaci ogólnej:
10.1 1
an+1 - an = 2 - p2 i stwierdzenie, że ciąg an jest arytmetyczny.
( )
Obliczenie żądanej sumy dwudziestu jeden wyrazów danego ciągu:
1 pkt za przedstawienie metody,
a20 + a40
10.2 2
S40 - S19 = -1400+ 266 = -1134 lub �"21 = -1134 .
1 pkt za wykonanie obliczeń.
10.
2
Zapisanie warunku na to aby ciąg bn był stały: p2 + p - 2 = 0 .
10.3 ( ) 1
Wyznaczenie wszystkich wartości p, dla których ciąg bn jest stały:
( )
10.4 1
p = 1 lub p =-2 .
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego: n, 2n .
11.1 1
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności x2 - 3nx + 2n2 < 0 :
11.2 1
11.
n,2n .
( )
Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność
11.3 1
i zapisanie wzoru funkcji f : 2n -1 , f (n) = 2n -1, dla n > 1.
Próbny egzamin maturalny z matematyki 15
Poziom rozszerzony
C
.
. .
A B
12.1 1
12.
D
Zauważenie, że trójkąt ABC jest prostokątny i kąt ABC ma miarę 60 .
Zapisanie pola zacieniowanej figury jako odpowiedniej różnicy pól:
12.2 1
np. deltoidu ADBC i wypukłego wycinka kołowego DBC.
12.3 Obliczenie pola deltoidu ADBC: PADBC = 64 3 . 1
Ą
ś#
Obliczenie pola zacieniowanej figury: Pf = 64�# 3 - .
12.4 1
ś#ź#
3
�# #
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.