Elementy podstawowe przestrzeni:
- punkty: A, B, C& lub 1, 2, 3& lub I, II, III&
- proste : a, b, c&
- płaszczyzny: małe litery alfabetu greckiego: ą, �, ,ł...
ą, �, ,ł...
ą, �, ,ł...
ą, �, ,ł...
Wszystkie zbiory utworzone z elementów podstawowych
nazywamy tworami geometrycznymi lub figurami
geometrycznymi i oznaczamy je dużymi literami alfabetu
greckiego.
Figurami są: wielokąty, wielościany, linie.
krzywe i powierzchnie
Litery alfabetu greckiego wraz z ich nazwami
alfa beta gamma delta epsilon dzeta eta
teta jota kappa lambda mii nii
Ksi omikron pi ro sigma tau
ypsilon fi chi psi omega
Elementy podstawowe przestrzeni
�
Układ odniesienia w rzutach Monge a
+Ą2
-Ą1
+Ą2
II
-Ą1
I
���
x
+Ą1
IV
-Ą2
-Ą2
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Obraz punktu
+Ą2
A"
-Ą1
g
k2
�
A
k1
A
x
w
A'
+Ą1
A
-Ą2
Elementy podstawowe przestrzeni
Układ odniesienia x(Ą1, Ą2) sprowadzony do płaszczyzny rysunku �
Ą1, Ą2) �
Ą1, Ą2) �
Ą1, Ą2) �
-Ą1
+Ą2
+Ą2
A"
A"
A"
-Ą1
+w
x x
x
A A
x x
+g
+Ą1
A'
A'
A'
-Ą2
-Ą2
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Rzut punktu leżącego w II ćwiartce
B
+Ą2
B"
B"
+Ą2
-Ą1
B'
B'
-Ą1
+w
-g
B'
x
B
x
B
x x
Elementy podstawowe przestrzeni
Rzut punktu leżącego w III ćwiartce
-Ą1
C'
-Ą1
C'
-Ą1
-g
C'
x
C
x
C
x
-w
C
-Ą2
C"
C"
-Ą2
Elementy podstawowe przestrzeni
Rzut punktu leżącego w IV ćwiartce
D D
x x
x
x
+g
D'
-w
+Ą1 D'
D'
+Ą1
-Ą2
D"
D"
-Ą2
D
Elementy podstawowe przestrzeni
Obraz prostej
+Ą2
m"
m"
�1
m
�2
x
x
m'
m'
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Rzut prostej m zawierającej dwa punkty A i B
+Ą2
A"
A"
m"
m"
B" B"
A
m
B
AX
AX x
BX BX x
B'
m'
B'
A'
m'
+Ą1
A'
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta m leżąca w płaszczyz
nie prostopadłej do obydwu rzutni
+Ą2
m"
m"
m
x
x
m'
m'
+Ą1
Ć
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta m leżąca w płaszczyz
nie prostopadłej do obydwu
rzutni. Punkty A i B należą do prostej m.
+Ą2
A"
A"
A
m"
m"
B"
B"
m
x
x
A'
B
A'
m'
m'
B'
+Ą1
B'
Elementy podstawowe przestrzeni
Ślady prostej m
V"
m
Vm=V"
+Ą2
m
m"
m
m"
H"
m
H"
x
m
V'
m
x
V'
m
m'
m'
Hm=H'
m
+Ą1
H'
m
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta leżąca na rzutni poziomej
a"
Prosta przechodząca przez oś x
x
V =V 
a a
a'
q"
Prosta leżąca na rzutni pionowej
x
H =H =V =V
q
q q q
q'
b"
b'
x
H =H b
b
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta poziomo-rzutująca - pionowa
+Ą2
m" m"
Ć2
m
x
H"
x
m
H"
m
m'
Hm=H'
m
+Ą1
m'
=H'
m
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta pionowo-rzutująca - celowa
+Ą2
n"
n"
V"
V= V"
n
n n
n
V'
V'
n
n
x x
Ć1
n'
n'
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta równoległa do rzutni Ą1 - pozioma
Ą1 -
Ą1 -
Ą1 -
+Ą2
p"
V= V"
p"
p p
V"
p
ą
p
�
2
�1
ą
' ą
x
x
V' '
p
V'
p
p'
+Ą1 p'
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta równoległa do rzutni Ą2 = czołowa
Ą2
Ą2
Ą2
+Ą2
c"
c"
2
�
Hc'
"
� Hc'
"
�1
x
x
c
�
c'
H=H "
c c
c'
+Ą1 "
H
c
Elementy podstawowe przestrzeni
Prosta w położeniach szczególnych
Prosta równoległa do osi rzutów
+Ą2
s" s"
�
2
s
�1
1
x x
s'
s'
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Wzajemne położenie dwóch prostych
Dwie proste przecinające.
+Ą2
R"
m"
R"
m"
n"
n"
x
m
x
n
R
n'
n'
R'
m'
+Ą1
R'
m'
Elementy podstawowe przestrzeni
Wzajemne położenie dwóch prostych
Dwie proste przecinające się.
m"
n"
R"
m"
R"
n"
x
x
R
n'
m'
=n'
R
m'
Elementy podstawowe przestrzeni
Wzajemne położenie dwóch prostych
Dwie proste równoległe.
m"
m"
n"
n"
x
x
n
m =n
m
Elementy podstawowe przestrzeni
Wzajemne położenie dwóch prostych
Dwie proste skośne (wichrowate)
m"
m"
n"
n"
x
x
m
m
n
n
Elementy podstawowe przestrzeni
Wzajemne położenie dwóch prostych
Dwie proste skośne
n
m"
m"
n
x
x
n
m
m
n"
Elementy podstawowe przestrzeni
Obraz płaszczyzny wyznaczony Obraz płaszczyzny wyznaczony
za pomocą trzech punktów prostą i punktem nie leżącym
na niej
B
m 
A  A 
C
x
x
B
C
A A
m
Elementy podstawowe przestrzeni
Obraz płaszczyzny Obraz płaszczyzny wyznaczony
wyznaczony za pomocą za pomocą dwóch prostych
dwóch prostych równoległych przecinających się
n
A 
n
m 
m
x x
n
n
m m
A
Elementy podstawowe przestrzeni
Obraz płaszczyzny zadanej śladami hą i vą
ą ą
ą ą
ą ą
+Ą2 B
v = vą
ą
v
ą
ą
Xą vą
X
ą

B

x
hą
A 
x
h
ą
vą h = h
ą ą
A
+Ą1
X
ą
x
h
ą
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą // Ą1
ą // Ą1 pozioma
ą // Ą1
ą // Ą1
+Ą2
A 
v =ą 
A v ą  
=
ą
ą
A
ą
x
x
A
A
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą // Ą2 - czołowa
ą Ą
ą Ą
ą Ą
+Ą2
A 
A
ą
A
x
x
h ą
=
ą
=
h ą
A
A
ą
+Ą1
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą Ą" Ą1 - poziomo rzutująca
ą Ą" Ą1 -
ą Ą" Ą1 -
ą Ą" Ą1 -
+Ą2
A 
vą
A
ą
v
ą
A
x
x
X
ą Xą
�
A
hą
A
+Ą1
h
ą
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą Ą" Ą2 - pionowo rzutująca
ą Ą" Ą2
ą Ą" Ą2
ą Ą" Ą2
+Ą2
v
vą
ą
A 
A
A
ą
X X
ą � ą
x
x
A
A
+Ą1 hą
hą
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą Ą" Ą1 i ą Ą" Ą2 - podwójnie rzutująca
ą Ą" Ą ą Ą" Ą
ą Ą" Ą ą Ą" Ą
ą Ą" Ą ą Ą" Ą
+Ą
2
vą
vą
A 
A
A
ą
X
Xą
ą
x
x
A
A
hą
+Ą
1
hą
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą równoległa do osi x
ą
ą
ą
+Ą
2
v
ą
vą
A 
A
ą
A
x
x
A
h
A
ą
+Ą
1
h
ą
Elementy podstawowe przestrzeni
Szczególne położenia płaszczyzn
Płaszczyzna ą przechodząca przez oś x
ą
ą
ą
+Ą
2
A 
A
ą
A
h = v
ą ą
x
h =v
x
ą ą
A
A
+Ą
1
Obroty i kłady
Obrót dookoła prostej l Wyznaczenie rzeczywistej
długości odcinka metodą
obrotu
l
B
1
S
B k =�
v
�
A
1
r
1
l
k
�
S
ą
A
r
A
�
B
k
�

l
B
=S
A
1
Zadanie  arkusz nr 04-01-01
Temat: Dowolny ostrosłup o podstawie trójkąta ABC
i wierzchołku W (wysokość h = 70 mm) stoi n rzutni
poziomej. Ostrosłup ten przecięty jest dowolną
płaszczyzną pionowo-rzutującą�. Narysować rzuty
�
�
�
tego ostrosłupa w układzie trzech rzutni oraz
wyznaczyć jego rozwinięcie uwzględniając
płaszczyznę przekroju.
Uwaga: Do wyznaczenia rzeczywistej wielkości
krawędzi ostrosłupa wykorzystać metodę obrotu.
Do wyznaczenia rzeczywistej wielkości przekroju
wykorzystać metodę kładu.
2o
3o
z
v
ą
w
w
1o
31
3
3
2
2
21
1
1
11
A
B B A
C
x C
B1
A1
C1
y(Ą)
1
B
1
A
A1
3
W
A1
C1 B1
2
C
B
B1
y(Ą)
h 3
ą
A
11
1o
31
C1
21 C
3o
Czworościan ścięty płaszczyzną
2o
A1
w
pionowo-rzutującą
31