1. Niepewność pomiaru w pomiarach bezpośrednich i pośrednich
a) Niepewność pomiaru w pomiarach bezpośrednich
Metoda pomiarowa bezpośrednia  to metoda pomiarowa, dzięki której wartość wielkości
mierzonej otrzymuje się bezpośrednio, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych
na zależności funkcyjnej wielkości mierzonej od innych wielkości.
W metodzie typu A model losowy niepewności pomiaru zakłada, że wyniki serii n pomiarów
x1, x2, & , xn należy interpretować jako pobrane losowo wartości zmiennej losowej z populacji o
wartości oczekiwanej ź i odchyleniu standardowym � . Zwykle przyjmuje się, że populacja wyników
pomiaru ma rozkład normalny N(ź, �) ze względu na wiele niezależnych i równorzędnych czynników
przypadkowych występujących w czasie pomiaru.
Za wynik pomiaru przyjmuje się estymator wartości oczekiwanej, którym jest średnia
arytmetyczna z serii pomiarów:
Niepewnością standardową pojedynczego wyniku pomiaru z serii n pomiarów jest
odchylenie standardowe eksperymentalne:
Niepewność standardową wartości średniej jest odchylenie standardowe eksperymentalne
średniej arytmetycznej:
W celu wyznaczenia niepewności rozszerzonej U należy pomnożyć niepewność
standardową przez współczynnik rozszerzenia, który w przypadku rozkładu normalnego wyników
pomiarów zdeterminowanym przez wiele z
ródeł zakłóceń określa wartość statystyki rozkładu t-
Studenta.
Niepewność standardową szacuje się metoda typu B, gdy jest dostępny tylko jeden wynik
pomiaru albo gdy wyniki nie wykazują widocznego rozrzutu. W przypadku wyników nie
wykazujących rozrzutu, gdy błąd graniczny dopuszczalny przyrządu pomiarowego (MPE) jest
pomijalnie mały, głównym z
ródłem niepewności pomiaru jest niepewność odczytania wskazań
przyrządu pomiarowego, równa połowie wartości działki elementarnej urządzenia wskazującego
przyrządu. Wartość mierzonej wielkości może znajdować się z jednakowym prawdopodobieństwem
w dowolnym punkcie przedziału określonego przez wartość działki elementarnej , tak więc
niepewność ma rozkład równomierny i niepewność standardowa wyraża się wzorem:
A niepewność rozszerzona przy poziomie ufności P = 0,95 wynosi:
co wynika bezpośrednio z własności rozkładu równomiernego (0,95/2=0,475)
 Jeżeli występuje rozrzut wskazań (typ A niepewności) oraz dany jest błąd graniczny
dopuszczalny przyrządu pomiarowego (MPE) (typ B niepewności), to złożona niepewność
standardowa jest określona wzorem:
Gdzie:
Ponieważ zakłada się zwykle równomierny rozkład błędu granicznego dopuszczalnego
przyrządu pomiarowego (MPE) z wartością podaną dla poziomu ufności P=0,95.
b) Niepewność pomiaru pośrednich
Metoda pomiarowa pośrednia  to metoda pomiarowa, dzięki której wartość mierzonej
wielkości otrzymuje się pośrednio z pomiarów bezpośrednich innych wielkości związanych
odpowiednio z wielkością mierzoną.
W pomiarach pośrednich wielkość mierzoną oblicza się z równania:
Gdzie: x1, x2, & , xn  wielkości mierzone bezpośrednio o znanych niepewnościach standardowych
u(x1), u(x2), & , u(xm) wyznaczonych metodą typu A lub metodą typu B.
Jeżeli poszczególne wielkości są mierzone niezależnie, to wzór na niepewność standardową
pośrednich pomiarów nieskorelowanych ma postać:
2. Niepewność rozszerzona; współczynnik rozszerzenia
Niepewność rozszerzona - to wielkość określająca przedział wokół wyniku pomiaru, od którego to
przedziału oczkuje się, że obejmuje dużą część rozkładu wartości, które w uzasadniony sposób można
przypisać wartości wielkości mierzonej
Gdzie k  współczynnik rozszerzenia, zastosowany jako mnożnik złożonej niepewności
standardowej w celu otrzymania niepewności rozszerzonej, zwykle 2d"kd"3.
Wiarygodny wynik pomiaru jest reprezentowany przez przedział wyznaczony na określonym
poziomie ufności
Gdzie 1  ą  poziom ufności, który określa prawdopodobieństwo, że wyznaczony przedział zawiera
prawdziwą wartość wielkości mierzonej. Zdarzenie przeciwne, gdy wyznaczony przedział nie obejmuje
prawdziwej wartości wielkości mierzonej, jest mało prawdopodobne, zatem zazwyczaj przyjmuje się ąd"0,05.
3. Niepewność standardowa eksperymentalna
Niepewnością standardową pojedynczego wyniku pomiaru z serii n pomiarów jest
odchylenie standardowe eksperymentalne:
 Niepewność standardową wartości średniej jest odchylenie standardowe eksperymentalne
średniej arytmetycznej:
4. Sposób doboru współczynnika rozszerzenia
Do oceny wartości współczynnika rozszerzenia przy przyjętym poziomie ufności niepewności rozszerzonej
konieczna jest znajomość splotu rozkładów normalnego i równomiernego. Współczynnik rozszerzenia jest
wówczas funkcja zarówno poziomu ufności, jak i ilorazu odchyleń standardowych składanych rozkładów.
Up=kp*Uc(y)
kp - współczynnik rozszerzenia zależny od przyjętego
poziomu ufności oraz charakteru rozkładu
prawdopodobieństwa wyników pomiarów wielkości
Dla rozkładu normalnego i poziomu ufności 0,95
Kp=2
Uc(y)= niepewność standardowa
Złożona niepewność standardowa:
5. Różnica pomiędzy rozkładem zmiennej losowej Gaussa a rozkładem zmiennej losowej t-Studenta
Rozkład t-Studenta posiada następujące własności:
jest symetryczny z osią symetrii w punkcie t=0, jedynym parametrem tego rozkładu jest liczba stopni
swobody k, jego wykres przypomina standaryzowany rozkład normalny, tzn. jest nieco bardziej
spłaszczony dla k>30 jest zbieżny do standaryzowanego rozkładu normalnego.
Rys. 1.12 Porównanie wykresu funkcji gęstości rozkładu t-Studenta z rozkładem normalnym
Rozkład normalny
Rozkład zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a jest najczęściej spotykanym rozkładem zmiennej losowej
ciągłej. Mówimy, że zmienna losowa ciągła X ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej � i odchyleniu
standardowym �
X ~ N(�,�)
Rozkład prawdopodobieństwa w przypadku zmiennej losowej ciągłej nosi nazwę rozkładu (funkcji) gęstości.
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym o postaci:
określona została dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej X.
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
- jest symetryczna względem prostej x = �
- w punkcie x = � osiąga wartość maksymalną
- ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x = � - �
oraz x = � + �
- kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:
� i �. Parametr � decyduje o przesunięciu krzywej,
natomiast parametr � decyduje o  smukłości krzywej.
Funkcja gęstości rozkładu normalnego ma zastosowanie do reguły  trzech sigma , którą następnie
rozwinięto na regułę  sześć sigma  stosowaną w kontroli jakości, przede wszystkim w USA (np. General
Electric, General Motors Company)
Reguła  trzech sigma - jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny to:
- 68,3 % populacji mieści się w przedziale (� - �; � + �)
- 95,5 % populacji mieści się w przedziale (� - 2�; � + 2�)
- 99,7 % populacji mieści się w przedziale (� - 3�; � + 3�)
W przeciwieństwie do rozkładu t Studenta, kształt rozkładu normalnego nie zależy od stopni swobody. Im
mniejsza jest liczba stopni swobody, tym większa jest różnica między
rozkładem normalnym a t Studenta i odwrotnie.
6. Prawidłowy zapis wyniku pomiaru
Podając wartości liczbowe niepewności, obowiązuje zasada podawania dwóch cyfr znaczących
niepewności i są zalecane następujące sposoby zapisu:
�� Niepewność standardowa d = 80,023 mm, uc(d) = 0,056 mm lub d = 80,023(56) mm;
�� Niepewność rozszerzona d = 80,02 U(d) = 0,11 mm, k = 2, P = 0,95 lub d = (80,02 0,11) mm, k =
2, P =0,95.
7. Rodzaje błędów pomiarowych
Błąd pomiaru  różnica między wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości mierzonej.
Każdy pomiar jest obarczony błędem. Na podstawie błędu pojedynczego pomiaru nie można
wnioskować o dokładności metody pomiarowej. Jeśli następuje statystyczna zmiana wyników to wartość
błędu bezwzględnego jest inna dla każdego pomiaru.
Informacji na temat dokładności danej metody pomiarowej może dostarczyć tzw. krzywa rozkładu
błędów. Aby ją sporządzić dany pomiar przeprowadza się wielokrotnie, Na podstawie uzyskanych wyników
sporządza się histogram. Na podstawie wysokości słupka histogramu można wnioskować o częstotliwości
uzyskiwania wyników z określonego przedziału, który jest wyznaczony przez szerokość słupka.
Wyróżniamy następujące rodzaje błędów:
a) Błąd przypadkowy  mają bardzo dużo przyczyn (drgania, hałas, oświetlenie,
niestałość nacisku pomiarowego), których wpływ na wynik pomiaru jest
nieznany. Wartość tych błędów szacuje się za pomocą rachunku
prawdopodobieństwa. Rozrzut wyników pomiaru tej samej wielkości
spowodowany błędami przypadkowymi nazywa się niepewnością pomiarową.
b) Błąd systematyczny  przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej
wielkości w tych samych warunkach, ma ta sama wartość i znak lub zmienia się
wg określonego, znanego prawa wraz ze zmianą warunków. Do błędów
systematycznych należą:
v� błędy wzorca
v� błędy przyrządu pomiarowego
v� błędy metody pomiarowej
v� błędy odkształceń sprężystych
v� błędy zależne od temperatury
v� błędy subiektywne mierzącego
c) Błędy nadmierne (grube)  są efektem niepoprawnie przeprowadzonego
pomiaru. Mogą one wynikać np. z użycia uszkodzonego przyrządu. Błędy
nadmierne usuwa się poprzez powtórny prawidłowy pomiar.
8. Metody analizy systemów pomiarowych; metoda R&R; analiza powtarzalności i odtwarzalności systemów
pomiarowych
Powtarzalność (wyników pomiarów) - stopień zgodności wyników kolejnych pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonywanych w tych samych warunkach pomiarowych.
Odtwarzalność (wyników pomiarów) - stopień zgodności wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonywanych w zmienionych warunkach.
Analiza powtarzalności i odtwarzalności ( R&R)  jest bardzo użyteczną procedurą,
ponieważ umożliwia analizę wpływu składowych systemu pomiarowego na zmienność
uzyskiwanych wyników pomiarów. Narzędzie to pozwala także na doko nanie ważnej oceny
tego, w jakim stopniu zmienność wyników pomiarów zniekształca zaobserwowaną zmienność
badanego procesu wytwarzania. Można także za jej pomocą ustalić, jaka część zmienności
wyników pomiarów wprowadzana jest przez stosowaną aparaturę pomi arową, a jaka wynika z
niestaranności operatora.
Powtarzalność- stopień zgodności wyników kolejnych pomiarów tej samej wielkości wykonanych w tych
samych warunkach
Odtwarzalność-stopień zgodności pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w zmiennych
warunkach pomiarowych
Zdolność łączna - pomiaru i zmienność operatora
EV- Powtarzalność
AV- Odtwarzalność
Zdolność całkowita
TV=
PV- procesu
Do celów analizy R&R należy wybrać cechę geometryczną będącą kluczową z punktu widzenia jakości
produktu, a następnie dokonać pomiarów na losowo wybranej próbce produktu przez kilku operatorów
R=
d1=
d2- odczytuje się jako zależną od liczby mierzonej i liczby operatorów
R&R=d1R
%R&R=
n-liczba części mierzonych
Dominuje odtwarzalność w metodzie R&R
<10%-system pomiarowy do przyjęcia
10%-30%-może być przyjęty warunkowo
>30%- nie do przyjęcia
Zbyt duże wartości względne R&R wynikają z
- z
le dobranego przyrządu
-niewłaściwa obsługa
Metoda rozstępów-Metoda ta jest stosowana najczęściej jako bieżące sprawdzenie prawidłowości
wyposażenia do pomiarów ( z uwzględnieniem czynnika ludzkiego)
Metoda typu II Średniej i rozstępu
Metoda typu I i II może być stosowana w przypadku ręcznych przyrządów pomiarowych
Procedura typu III przeznaczona jest dla z automatyzowanych urządzeń np. współdzielonych maszyn
pasmowych
9. Sposoby filtracji pomiarów, w szczególności sposób elektryczny
Filtracja  operacja stosowana do uzyskania elementu uproszczonego przez redukcję ilości
(poziomu) informacji o elemencie rzeczywistym. Operacja stosowana do odróżnienia poziomu wiedzy o
uproszczonym elemencie z uwzględnianiem funkcji przedmiotu(chropowatość, falistość, kształt, itd.).
rozróżniamy następujące sposoby filtracji:
a) Filtr 2CR  jest to podstawowy filtr. Ponieważ pracuje on w czasie rzeczywistym jego sygnał
wyjściowy ma mała powtarzalność, szczególnie w przypadku długich przesuwów
b) Filtr z korkcją fazy  zaleca się stosowanie filtru Gaussa z korekcją fazy (funkcja wagi odpowiada
funkcji gęstości prawdopodobieństwa Gaussa), jest traktowany jako domyślny filtr w ocenie
chropowatości powierzchni. Ma on stosunkowo ostrą charakterystykę i nie powoduje
przesunięcia fazy. Należy on do filtrów wykorzystujących ruchoma średnią, której funkcja
wagowa h(j) jest symetryczna
gdzie: c  graniczna długość fali; j  odległość od środka funkcji wagi; H"0,47.
c) Filtr o warstwowych właściwościach funkcjonalnych
d) Filtr wyciągający wgłębienia  w wielu zastosowaniach gładko obrobiona powierzchnia jest
nałożona na powierzchnię z głębokimi rysami. Filtrowanie jednoetapowe nie daje wtedy
satysfakcjonujących wyników, zaleca się wówczas filtrowanie kilkuetapowe.
Sposób mechaniczno geometryczny- to tradycyjny sposób rozdzielania poszczególnych nieregularności
powierzchni .Należy stosować końcówki czujnika o odpowiednich promieniach
Sposób elektryczny- do najczęściej stosowanych sposobów rozdzielania poszczególnych nierówności
powierzchni zalicza się metody wykorzystujące filtr elektryczny. Filtr eliminuje z kształtu krzywej napięcia
składowe poszczególnych (pochodzące od ) nierówności które nie są brane do analizy struktury
geometrycznej powierzchni o dł fali mniejszej od wartości granicznej
Filtr dolnoprzepustowy stosujemy kiedy oceniamy odchyłkę kształtu
Filtr Górnoprzepustowy stosujemy kiedy oceniamy chropowatość powierzchni
W przypadku zastosowania filtru dolnoprzepustowego są tłumione składowe które maja dł fali mniejszą od
granicznej dł fali Górnoprzepustowy na odwrót. Na podstawie granicznej długości fali możemy podjąć
decyzje o liczbie punktów pomiarowych i rodzaju końcówki
W przypadku filtru elektrycznego często podajemy parametr UPR  graniczna liczba fal na obwód
10. Klasyfikacja tolerancji geometrycznych
Tolerancja kształtu  maksymalna dopuszczalna odchyłka rzeczywistego kształtu od jego
idealnego, prawidłowego odpowiednika. Dzielimy na:
a. Prostoliniowość  dopuszczalna nie prostoliniowość osi powierzchni obrotowej, krawędzi
przedmiotu albo tworzących płaszczyzn
b. Okrągłość  dopuszczalna owalność, graniastość itp. Bryły obrotowej w przekroju
poprzecznym
c. Płaskość  dopuszczalna niepłaskość płaszczyzny
d. Walcowość  dopuszczalna stożkowość, baryłkowatość,siodłowość itp.
Tolerancja położenia  maksymalna dopuszczalna odchyłka rzeczywistego położenia i
usytuowania elementu lub jego osi od wymaganego. Dzielimy na:
a. Pozycja  dopuszczalną odchyłkę położenia punktu, prostej lub płaszczyzny, np. punktu osi
otworu na płaszczyz
nie jego czoła prostopadłej do osi
b. Współosiowość - jest to największa odległość miedzy rzeczywistą osią danej powierzchni a
osią przyjętą za linię odniesienia
c. Symetria - dopuszczalną asymetrię położenia, np. wzdłużnego rowka w wałku względem osi
wałka
d. Równoległość  dopuszczalna nierównoległość płaszczyzn, osi otworów itp.
e. Prostopadłość  dopuszczalną nieprostopadłość płaszczyzn, osi otworu względem jego
płaszczyzny czołowej itp.)
f. Nachylenie  dopuszczalną odchyłkę kąta ostrego lub rozwartego
Tolerancje bicia:
a. Promieniowe/osiowe w wyznaczonym kierunku
b. Bicie całkowite promieniowe/osiowe
11. Sposób obliczeń elementów skojarzonych
element skojarzony  idealny element, zależny od modelu geometrycznego lub od powierzchni
rzeczywistej, uzyskany z wykorzystaniem operacji kojarzenia.
12. Sposoby obliczeń np. odchyłki pozycji, odchyłki kształtu wyznaczonego zarysu!!!!!!!!!!!!
13. Sposoby pomiarów odchyłki okrągłości
Odchyłka okrągłości jest miarą niezgodności rzeczywistego zarysu przedmiotu z kształtem
geometrycznym okręgu.
Jest to największa odległość zarysu rzeczywistego od okręgu przylegającego do tego zarysu,
mierzona wzdłuż promienia tego okręgu. Najczęściej spotykanymi odchyłkami okrągłości
są owalność i graniastość. W celu wykrycia owalności stosuje się styk dwupunktowy, natomiast do
wykrycia graniastości potrzebny jest styk trzypunktowy
Najprostszym i najmniej dokładnym sposobem pomiaru owalności jest pomiar dwu
dowolnych, lecz wzajemnie prostopadłych średnic wałka, wykonany jednym z uniwersalnych
przyrządów pomiarowych (suwmiarka, mikrometr). Dokładność oceny zwiększa się, gdy pomiar
zostanie wykonany w kilku miejscach na obwodzie, po kolejnych obróceniach przedmiotu
o odpowiedni kąt (np. zmierzenie czterech średnic, z których każda jest obrócona w stosunku do
poprzedniej o kąt 45�).
Najdokładniejsze wyniki daje pomiar za pomocą przyrządów czujnikowych przy wykonaniu
pełnego obrotu wałka dookoła jego osi. W ten sposób znajduje się średnice najmniejszą
i największą. Różnica średnic (czyli różnica wskazań amax i amin przyrządu czujnikowego) jest
wartością odchyłki okrągłości, czyli
"d = dmax - dmin = amax - amin
14. Tolerancje zależne i niezależne (zasada powłok, warunek maksimum i minimum materiału, wymaganie
wzajemności)
Zasada niezależności powinna być stosowana do elementów, które nie są przeznaczone do współpracy.
Zasada ta mówi, że każda tolerancja(bicia, kierunku, kształtu, położenia, wymiary) powinna być spełniona
niezależnie od innych. Dla tolerowanego wymiary oznacza to, że wszystkie zaobserwowane wymiary lokalne
muszą zmieścić się pomiędzy wyznaczonymi wymiarami granicznymi.
Tolerancja niezależna  występuje wtedy, gdy jej wartość jest niezmienna, niezależnie od rzeczywistych
wymiarów tolerowanego elementu przedmiotu i elementu odniesienia.
Tolerancja zależna  występuje wtedy, gdy jej wartość może się zmieniać, zależnie od rzeczywistych
wymiarów tolerowanego elementu przedmiotu i elementu odniesienia. Znakiem tolerancji zależnej jest litera
M w kółku.
granica maximum materiału- wymiar graniczny: górny Bw w przypadku wałka i dolny Ao w przypadku otworu
(odpowiadający największej ilości materiału)
granica minimum materiału- wymiar graniczny: dolny Aw przypadku wałka i górny Bo w przypadku otworu
(odpowiadający najmniejszej ilości materiału)
zasada stałego otworu polega na dostosowaniu do otworu podstawowego (otworu tolerowanego w głąb
materiału, EI=0) tolerancji wałka w zależności od tego, jaki rodzaj pasowania należy uzyskać.
zasada stałego wałka polega na dostosowaniu tolerancji otworu do wałka podstawowego ( wałka
tolerowanego w głąb materiału es=0)