Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Temat: WYBRANE ZAGADNIENIA WYTRZYMAA
OÅšCI MATERIAA
ÓW
Wprowadzenie
Wytrzymałość materiałów (stereomechanika techniczna) jest nauką o metodach
obliczeń i projektowania konstrukcji odkształcalnych.
Do problemów wytrzymałości należy ustalanie zależności między siłami działającymi na
ciało odkształcalne (przyczynami) a odkształceniami tego ciała (skutkami).
Efektem obliczeń jest taki dobór materiałów i wymiarów poszczególnych elementów
konstrukcji, aby były zdolne do przeniesienia działających na nie obciążeń zewnętrznych z
dostatecznym zapasem bezpieczeństwa.
Związek przyczynowo-skutkowy między siłami zewnętrznymi, wewnętrznymi
i odkształceniami
Skutek wtórny
Przyczyna Skutek pierwotny
Powstanie odkształceń
Siły zewnętrzne Powstanie sił
(zmian geometrycznych
działające na ciało wewnętrznych w
elementu)
odkształcalne elemencie (naprężeń)
WYZNACZANIE SIA
WEWN
TRZNYCH (NAPR
ŻEC
)
Wyznaczanie sił wewnętrznych można przeprowadzić po przecięciu ciała i odrzuceniu
jednego z elementów. Zachodzi wówczas równowaga układów sił zewnętrznych i sił
wewnętrznych działających na analizowane elementy.
,P ,P ,...,P
- obciążenie zewnętrzne
P
1 2 3 n
C  biegun redukcji sił wewnętrznych
B  dowolny punkt
A  całkowita powierzchnia przekroju
M - moment główny sił wewnętrznych
F - wektor główny sił wewnętrznych
Twierdzenie:
Siły zewnętrzne są w równowadze z siłami
wewnętrznymi działającymi na element I
"A - element powierzchni, zawierajÄ…cy punkt B
"F  elementarna siła działająca na powierzchnię
"A
"Fn  składowa normalna elementarnej siły
wewnętrznej
"FÄ  skÅ‚adowa styczna elementarnej siÅ‚y
wewnętrznej
Rys. 1
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 1
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Definicje naprężeń w punkcie
dFn
"F
n
= =
à lim
Naprężenie normalne: n
"A dA
"A0
"FÄ = dFÄ
ÃÄ = Ä = lim
Naprężenie styczne:
"A dA
"A0
Jeżeli rozkład elementarnych sił wewnętrznych jest równomierny, naprężenia liczymy ze
wzorów:
Fn FÄ
= = Ä =
à Ã
n Ä
A A
N
Jednostką naprężenia w układzie SI jest pascal (Pa): 1Pa = 1
m2
Stosuje się również jednostki:
1MPa =106 N / =106 Pa
m2
1KG / = 9,81 Å"104Pa
cm2
1KG / = 9,81 Å"106 Pa
mm2
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami dla jednoosiowego rozciągania
PRAWO HOOKE A. Materiały pod wpływem obciążeń wydłużają się lub skracają
proporcjonalnie do działającej siły o ile wartość siły nie przekroczy pewnej granicy (granicy
proporcjonalności).
P Å"
l
o
"l =
Prawo Hooke a wyraża się wzorem:
E Å" A
"l
gdzie: - wydłużenie pręta [m],
P - wartość działającej siły [N],
- początkowa długość pręta [m] (przed wydłużeniem),
l
o
A - pole przekroju poprzecznego [m2],
E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału (moduł Younga), wielkość stała dla
danego materiału [MPa].
"l l -
l
0
µ = =
Jeżeli zapiszemy: - wydłużenie jednostkowe,
l l
0 0
P
oraz à = - naprężenia normalne
A
Ã
µ = Ã = E Å" µ
wtedy: Można też zapisać:
E
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 2
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Dobrą ilustracją prawa Hooke a jest wykres rozciągania próbki stalowej w zakresie granicy
proporcjonalności RH
RH  granica proporcjonalności (granica
stosowania prawa Hooke a),
Re  granica plastyczności,
Rm  wytrzymałość na rozciąganie
Naprężenia określone symbolami Re i Rm są
naprężeniami niebezpiecznymi dla materiału
ponieważ powodują trwałe, bezpowrotne
odkształcenia próbki lub jej zerwanie.
Dlatego też po przyjęciu współczynnika
bezpieczeństwa stanowią podstawę określenia
tzw. naprężeń dopuszczalnych
Rys. 2
d"
Ogólny warunek wytrzymaÅ‚oÅ›ciowy à Ã
red dop
gdzie:
- naprężenie zastępcze w danym punkcie wyznaczone na podstawie odpowiedniej
Ãred
hipotezy wytężenia,
à - naprężenie dopuszczalne dla danego materiaÅ‚u i danego stanu naprężenia.
dop
Ã
nieb
=
Ã
Naprężenie dopuszczalne
dop
x
gdzie: - naprężenie niebezpieczne dla danego materiału,
Ã
nieb
x  współczynnik bezpieczeństwa , x>1
Współczynnik bezpieczeństwa określony ze względu na Re oznacza sie symbolem xe,
jeżeli natomiast określony jest ze względu na Rm oznacza się symbolem xm.
TYPOWE PRZYPADKI WYTRZYMAA
OÅšCIOWE DLA OBCI
ŻEC
STATYCZNYCH
I. Wytrzymałość prosta. Obciążenia statyczne
" rozciąganie i ściskanie
" ścinanie
" docisk powierzchniowy
" skręcanie
" zginanie,
" wyboczenie
II. Wytrzymałość złożona. Obciążenia statyczne.
" zginanie i ściskanie (rozciąganie),
" zginanie i ścinanie,
" zginanie i skręcanie.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 3
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
ROZCI
GANIE
Warunek wytrzymałościowy
P
= d" =
à à k
r dop r
A
- naprężenia rozciągające
Ã
r
P - osiowa siła rozciągająca
A - przekrój poprzeczny
=
à k - naprężenia dopuszczalne
dop r
na rozciÄ…ganie
Rys. 3
ÅšCISKANIE
Warunek wytrzymałościowy
P
= d" =
à à k
c dop c
A
- naprężenia ściskające
Ã
c
P - osiowa siła ściskająca
A - przekrój poprzeczny
=
à k - naprężenia dopuszczalne
dop c
na ściskanie
Rys. 4
ÅšCINANIE
Warunek wytrzymałościowy
P
= d"
Ä =Ã k
Ä t
A
- naprężenia ścinające
Ä =Ã
Ä
P - siła poprzeczna tnąca
A - przekrój poprzeczny
k - naprężenia dopuszczalne na
t
ścinanie
Rys. 5
DOCISK POWIERZCHNIOWY
Warunek wytrzymałościowy
P
= d"
à k
d d
A
- naprężenia między dociskanymi
Ã
d
elementami (ciśnienie)
P - siła docisku
A - umowna powierzchnia docisku
- naprężenia dopuszczalne na
k
d
docisk powierzchniowy
Rys. 6
SKR
CANIE
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 4
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Warunek wytrzymałościowy
M
s
= d"
Ä k
max s
W
o
- max naprężenie styczne skręcanego
Ä
max
elementu
- moment skręcający
M
s
- wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie
W
o
- naprężenia dopuszczalne na skręcanie
k
s
Rys. 7
3
Ä„ Å"
d
3
Wskaz
nik wytrzymaÅ‚oÅ›ci na skrÄ™canie dla przekroju koÅ‚owego: = H" 0,2 Å"
W d
o
16
ZGINANIE
Warunek wytrzymałościowy
M
g
= d"
à k
g max g
W
g
- max naprężenie gnące (normalne)
Ã
g max
zginanego elementu
- moment zginajÄ…cy
M
g
- wskaz
nik wytrzymałości na zginanie
W
g
- naprężenia dopuszczalne na zginanie
k
g
Rys. 8
Wskaz
niki wytrzymałości na zginanie wynoszą odpowiednio:
Ä„ Å"
d3 H" 0,1 Å" dla przekroju prostokÄ…tnego: = b Å" h2
dla przekroju kołowego: =
W d3 W
g g
32 6
Tabela 1. Orientacyjne wartości naprężeń dopuszczalnych w Mpa
Rozciąganie Zginanie Skręcanie
Materiał
kr kg ks
Stal węglowa St5 130-150 160-185 78-90
Stal niskostopowa 18G2 148-170 174-200 96-110
Stop aluminium PA6 104-120 113-130 61-70
Uwaga: naprężenia kr obliczone zostały dla współ. bezpiecz. xe o wartościach 2 i 2,3.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 5
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
WYTRZYMAA
OŚĆ ZA
OŻONA. OBCI
ŻENIA STATYCZNE.
ZGINANIE I ROZCI
GANIE, (ÅšCISKANIE)
Naprężenia zastępcze:
= (Ã ) +
à à Ã
red r c g
P M
g
= Ä… Ä…
Ã
red
A
W
g
gdzie: W g = - wskaz
nik
W
z
wytrzymałości na zginanie
d" ( )
à k k
red r c
Rys. 9
ZGINANIE I SKR
CANIE
W przekroju poprzecznym występuje
równocześnie:
moment zginajÄ…cy:
M
g
moment skręcający:
M
s
Ponieważ mamy do czynienia ze złożonym
stanem naprężeń, ocenę stopnia wytężenia
materiału należy oprzeć na odpowiedniej
hipotezie wytrzymałościowej.
Dla materiałów plastycznych np. stale
walcowane, kute stopy miedzi i aluminium
naprężenia zredukowane można obliczyć wg
wzorów:
1) hipoteza Ä max
2
= + 4 Å"Ä 2 d"
à à k
red g r
2) hipoteza Hubera
2
= + 3 Å"Ä 2 d"
à à k
red g r
Rys. 10
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 6
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
W przypadku zginania ze skręcaniem wzory na naprężenia zredukowane można wyrazić
jako funkcję momentów gnącego i skręcającego .
M M
g s
Przy zastosowaniu hipotezy Hubera:
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
Mg ëÅ‚ öÅ‚
Ms d"
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= + 3
à k
red r
ìÅ‚W ÷Å‚
ìÅ‚W z ÷Å‚
o
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla przekroju kołowego zachodzi : W o = 2W z (patrz strona 5), otrzymamy:
2 2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
Mg ëÅ‚ öÅ‚ Mg ÷Å‚ 3 ëÅ‚ öÅ‚ M2 + 0,75 M2
g s
Ms = ëÅ‚ öÅ‚ + ìÅ‚ Ms ÷Å‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
= + 3 d"
à k
red r
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚W ÷Å‚
ìÅ‚W z ÷Å‚ ìÅ‚W z ÷Å‚
4
2Å"W W
z
íÅ‚ z Å‚Å‚ íÅ‚ z Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
po wprowadzeniu pojęcia tzw. momentu zastępczego: = + 0,75 , naprężenia
M M2 M2
red g s
M
red
Ä„
= d"
à k
zredukowane: red r , ponieważ W z =
d3 ,
32
W
z
32
M
red
wymaganą średnicę wału pełnego obliczymy ze wzoru: d e" 3
Ä„
k
r
Przykład 1
Obliczyć średnicę pręta rozciąganego sił osiową P=20 kN.
Pręt wykonany jest ze stali St 5.
RozwiÄ…zanie
P 2
Ä„
d
= d" =
à Ã
Warunek wytrzymałościowy: k , przekrój pręta wynosi: A =
r dop r
A
4
4P 4P
Z warunku wytrzymałościowego otrzymamy: d" oraz d e"
k
r
2
Ä„ Å"
Ä„ Å"d k
r
Wartość dla stali St 5 obliczamy na podstawie lub zakładając współczynnik
k R R
r m e
bezpieczeństwa lub przyjmujemy gotowe wartości na podstawie tablic z Poradnika
Mechanika.
,Re - również znajdujemy w tablicach własności mechanicznych materiałów
R
m
w Poradniku Mechanika.
Przyjmując do obliczeń dolną wartość =130 MPa ( Tabl. 1 str. 5), obliczymy wymaganą
k
r
średnice rozciąganego pręta.
4 Å" 20 Å"103
d e" = 0,01399 E" 0,014m = 14mm
Ä„ Å"130 Å"106
Do wykonania konstrukcji można przyjąć pręt o średnicy 14 mm lub większej z tablic
wyrobów hutniczych.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 7
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Przykład 2
Sprawdzić naprężenia ścinające w połączeniu sworzniowym wykonanym ze stali St3,
jeżeli siła obciążająca złącze wynosi 10000 N, średnica sworznia wynosi 20 mm,
natomiast naprężenia dopuszczalne na ścinanie = 54 MPa .
k
t
Rys. 11
Naprężenia ścinające występują w dwóch przekrojach połączenia B-B oraz C-C.
Jeżeli założyć symetrię obciążenia to płaskownik górny i dolny przenoszą połowę siły
przyłożonej do złącza.
P
Zatem siła tnąca występująca w jednym przekroju wyniesie: T =
2
Zakładając równomierny rozkład naprężeń w każdym przekroju kołowym sworznia
otrzymamy naprężenia ścinające:
T 4P
Ä = = ,
2
A 2Ä„
d
po podstawieniu wartości liczbowych jest:
4 Å"10000
Ä = = 15915494,3Pa E" 16 MPa < = 54 MPa
k
t
2Ä„
0,022
Obliczenia wykazały, że złącze spełnia warunek wytrzymałości na ścinanie z dużym
zapasem bezpieczeństwa.
W celu uzyskania pewności bezpiecznej pracy połączenia należałoby ponadto sprawdzić
sworzeń na zginanie, naciski powierzchniowe oraz sprawdzić naprężenia rozrywające w
niebezpiecznych przekrojach płaskowników.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 8
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Przykład 3
Przeprowadzić analizę wytrzymałościową belki prostej dwupodporowej o jednorodnym
przekroju dwuteownika 140PE (wymiary na rys.12), wykonanej ze stali 18G2 , obciążonej
siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q jak na rys. 12.
Dane: l=6 m, a=2 m, b=4 m, P=10 kN, q=2 kN/m, Wz=77,3 cm3, kg=174 MPa
W ramach analizy wytrzymałościowej belki należy:
1. obliczyć reakcje w podporach A i B,
2. przebieg momentu gnÄ…cego ( x ) ,
M
g
3. określić przebieg siły tnącej T( x ) ,
4. wskazać wartość maksymalną momentu gnącego,
5. sprawdzić naprężenia gnÄ…ce à g .
Rys. 12
Ad 1). Reakcje w podporach ,R A wyznaczamy na podstawie warunków równowagi
R
A
belki.
q (l -b)2 = 0
- Å" b + P Å"(b - a)-
R
A
2
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy:
Å" b - P Å" a - q(l - b)l + b = 0
R
B
2
P Å" (b - a) q(l - b)2 = 0 RA = 4 kN
= -
R
A = 10 kN
R
B
b 2b
a q(l - b)(l + b)
= P + = 0
R
B
b 2b
Ad 2). Przebieg momentu gnącego określimy przesuwając się wraz z myślowym
przekrojem poprzecznym od lewego do prawego końca belki lub odwrotnie.
Moment gnący w dowolnym przekroju poprzecznym belki jest równy sumie
M
g
algebraicznej momentów wszystkich sił działających na część belki odciętą tym
przekrojem względem jego środka ciężkości.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 9
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Ad 3). Przebieg sił tnących określimy przesuwając się wraz z myślowym przekrojem
poprzecznym od lewego do prawego końca belki lub odwrotnie.
Siła tnąca T w dowolnym przekroju belki jest równa sumie współrzędnych wszystkich sił
działających na część belki odciętą tym przekrojem na kierunku prostopadłym do osi belki.
Między momentem gnącym, siłą tnącą i obciążeniem ciągłym zachodzą związki :
2
d d
M dT M
g g
= T , = -q , = -q
dx dx
dx2
Związki te można wykorzystać przy sprawdzeniu poprawności zapisu i wykresów
momentów gnących i sił tnących.
Tablica 2
Uwaga: W celu analitycznego zapisu
momentów gnących i sił tnących i
następnie ich prezentacji graficznej,
przyjęte zostały reguły określania
znaków momentów gnących, sił tnących.
Reguły te przedstawia Tablica 2.
Równania momentów gnących i sił tnących analizowanej belki zostały przedstawione w
Tablicy 3, natomiast wykresy momentów gnących i sił tnących przedstawia rys. 13.
Ad 4). Maksymalna wartość momentu zginajÄ…cego wynosi M g max = 8 kN Å" m = 8000 N Å" m
( na podstawie wykresu rys. 13)
Ad 5). Sprawdzenie naprężeń gnących w belce:
Wz=77,3 cm3 , kg=174 MPa
M 8000
g max
= = E" 103,5 Å"106 Pa = 103,5 MPa <
à k
g max g
Wz 77,3 Å"10-6
Przekrój belki spełnia warunek wytrzymałości na zginanie.
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 10
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
Tablica 3
Przedział x Moment gnący Siła tnąca
M T
g
= Å" x
0 d" x < a
M R T =R
g A A
a d" x < b = Å" x - P( x - a) - P
M R T =R
g A A
b d" x < l
- P + - q(x - b)
T =R R
q (x-b)2 A B
= Å" x - P(x - a)+ (x - b)-
M R R
g A B
2
Rys. 13
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 11
Zapis i Podstawy Konstrukcji Mechanicznych. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów
ZADANIA DO ROZWI
ZANIA NA ĆWICZENIACH
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski str. 12