Wyklad z analizy matematycznej
Wyklad dla studentów kierunku automatyka i robotyka - Studia Zaoczne
wersja robocza 4 lipiec 2003
1
Boguslaw Bożek
1
AGH Kraków, Wydzial Matematyki Stosowanej
2
Wstep
Tekst ten powstal poprzez przepisanie notatek do wykladu z Analizy Matema-
tycznej, który prowadze na kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektro-
techniki, Automatyki, Elektroniki i Informatyki. Zrobilem to na prośbe studentów
i mam nadzieje, że bedzie pomocny dla kolejnych ,,roczników . Pierwsza cześć jest
jeszcze bardzo niekompletna i bede ja stopniowo, w miare możliwości, uzupelnial.
3
4
Rozdzial 1
Podstawowe pojecia
1.1 Podstawowe pojecia logiczne - przypomnienie
Wszystkie pojecia matematyczne opisujemy jezykiem, który zbudowany jest ze
zdań logicznych. Nie wchodzac w szczególy, zdaniem logicznym nazywamy zda-
nie (w jezyku naturalnym), któremu możemy przyporzadkować ocene prawdy, badz

falszu. Zdania najcześciej oznaczamy malymi literami, falsz zerem, a prawde je-
dynka. Zdania możemy laczyć ze soba przy pomocy funktorów w zdania zlożone.
Wszystkich funktorów zdaniotwórczych dwuczlonowych f jest tyle ile możliwych
ukladów zero-jedynkowych tabelki.
p f q 0 1
0 x x
1 x x
Jednak wszystkie te funktory można wyrazić przez funktory alternatywy (("),
koniunkcji ('") i jednoargumentowy funktor negacji (<"), zdefiniowane poniżej
p (" q 0 1 p '" q 0 1 p <"p
0 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 0 1 1 0
W szczególnoÅ›ci funktor implikacji (Ò!) zdefiniowany tabelka
p Ò! q 0 1
0 1 1
1 0 1
można wyrazić za pomoca funktora alternatywy i negacji nastepujaco:
p Ò! q a" (<" p) (" q
Tautologie. W matematyce role szczególna ogrywaja tautologie.
Definicja 1 Tautologia nazywamy zdanie logiczne zawsze prawdziwe.
Znaczenie tautologii polega na tym, że na nich oparte sa dowody twierdzeń
matematycznych. Za ich pomoca można dokonywać operacji logicznych niezależnie
od treści zdań, które logicznie przeksztalcamy.
5
6 ROZDZIAL 1. PODSTAWOWE POJECIA
Twierdzenie 1 Nastepujace zdania sa tautologiami:
p Ô! p prawo tożsamoÅ›ci
(p '" p ) prawo sprzeczności
p (" p prawo wylaczonego środka
p Ô! (p ) prawo podwójnego przeczenia
[(p Ò! q) '" (q Ò! r)] Ò! (p Ò! r) prawo sylogizmu
(p Ò! p) Ò! p prawo sprowadzania do absurdu
(p '" q) = p (" q prawo de Morgana
(p (" q) = p '" q prawo de Morgana
(p Ò! q Ô! p '" q
(p Ô! q) Ô! [(p '" q ) (" (q '" p )]
p '" q Ô! (p (" q )
p (" q Ô! (p '" q )
p Ò! q Ô! p (" q
p Ô! q Ô! (p Ò! q) '" (q Ò! p)
p '" q Ô! q '" p prawo przemiennoÅ›ci
p (" q Ô! q (" p
(p '" q) '" r Ô! p '" (q '" r)
(p (" q) (" r Ô! p (" (q (" r) prawo lacznoÅ›ci
p '" (q (" r) Ô! (p '" q) (" (q '" r)
p (" (q '" r) Ô! (p (" q) '" (p (" r)
p '" p Ô! p prawa tautologii
p (" p Ô! p
p '" 0 Ô! 0 prawo pochlaniania
p (" 1 Ô! 1 prawo pochlaniania
p '" 1 Ô! p prawo neutralnoÅ›ci
p (" 0 Ô! p prawo neutralnoÅ›ci
Dowód. Wystarczy zastosować dowód ,,zero - jedynkowy .
1.2 Kwantyfikatory i kwantyfikatory warunkowe
Kwantyfikatory, duży (") i maly (") sa uogólnieniem odpowiednio koniunkcji i
alternatywy. Zdanie czytamy dla każdego x ..., a zdanie czytamy istnieje takie
" "
x x
x ....
1. Dwa kwantyfikatory duże i dwa kwantyfikatory male sa przemienne tj.
"1"2 a" "2"1, "1"2 a" "2"1.
2. Kwantyfikatory duży i maly nie sa przemienne, a dokladniej
"" Ò! "" oraz "" Ò! "".
Przyklad 1
" y" " Y " x " X : (x, y) " M
" x " X " y " Y : (x, y) " M
3. Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów.
4. Zmiana zakresu kwantyfikatorów - kwantyfikatory warunkowe
(p(x) Ò! q(x)) Ô! q(x)
" "
x
p(x)
(p(x) '" q(x)) Ô! q(x)
" "
x
p(x)
1.3. ZBIORY  RACHUNEK ZBIORÓW 7
1.3 Zbiory  rachunek zbiorów
1. Definicje sumy, iloczynu, różnicy zbiorów.
2. Kilka równości
A *" B = B *" A
(A *" B) *" C = A *" (B *" C)
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C)
A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C)
A *" A = A
A )" A = A
A *" " = A
A )" " = "
A \ B = A \ ((A )" B)
A )" (B \ C) = A )" B \ C = B )" (A \ C)
(A *" B) = A )" B
(A )" B) = A *" B
3. Udowodnić na wykladzie jaka ś równość np. A )" (B \ C) = A )" B \ C.
Sumy i iloczyny uogólnione
AÄ , AÄ
Ä"T Ä "T
" "
gdy T = N Ai, Ai
i=1 i=1
Pokazać że:
" "
A )" Ai = (A )" Ai)
i=1 i=1
" "
A *" Ai = (A *" Ai)
i=1 i=1
" "
Ai = A i
i=1 i=1
" "
Ai = A i
i=1 i=1
Pokazać przykladowo że:
1
0, 1 + = [0, 1]
n
n"N
1 1
1 + , 2 + = (1, 3]
n n
n"N
1.4 Produkt (iloczyn) kartezjański
Przyklady:
- odcinek ,,razy odcinek
- okrag ,,razy okrag, itp.
8 ROZDZIAL 1. PODSTAWOWE POJECIA
1.5 Funkcje
Definicje
Definicja 2 Niech X = ", Y = ". Zbiór f ‚" X × Y nazywamy funkcja, wtedy i

tylko wtedy gdy
1. (x, y) " f,
" "
x"Xy"Y
2. x1 = x2 =Ò! y1 = y2.
" "
(x1,y1)"f (x2,y2)"f
Z powyższej definicji wynika, że jeśli para (x, y) należy fo funkcji f, to nastepnik
tej pary, (czyli y) jest wyznaczony jednoznacznie. Oznaczamy go symbolem f(x)
i mówimy, że jest to wartość funkcji f w punkcie x. Sama funkcje f ‚" X × Y
zapisujemy też symbolicznie f : X Y , lub pelniej f : X x f(x) " Y .
Definicja 3 Mówimy, że funkcja f ‚" X × Y jest iniekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy y1 = y2 =Ò! x1 = x2.
" "
(x1,y1)"f (x2,y2)"f
Definicja 4 Mówimy, że funkcja f ‚" X × Y jest suriekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy (x, y) " f.
" "
y"Y x"X
Definicja 5 Mówimy, że funkcja f ‚" X × Y jest bijekcja, wtedy i tylko wtedy
gdy jest iniekcja i suriekcja.
Suriektywność, iniektywność, bijektywność - przyklady. Superpozycja funkcji -
definicja i przyklady, laczność skladania, brak przemienności
Twierdzenie 2 1) Zlożenie dwóch bijekcji jest bijekcja.
2) Jeśli f : R R silnie rosnaca, to f jest iniekcja.
Wyklad zacza ć od:
1) Zbiory liczbowe N, Z, Q, R, C.
k2 k2
2) ai, ai.
i=k1 i=k1
Rozdzial 2
Elementy analizy
funkcjonalnej
Zalóżmy, że X = ".

Definicja 6 Funcje Á : X ×X [0, ") nazywamy metryka, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. Á(x, y) = 0 Ð!Ò! x = y,
"
x,y"X
2. Á(x, y) = Á(y, x),
"
x,y"X
3. Á(x, z) d" Á(x, y) + Á(y, z).
"
x,y,z"X
Definicja 7 JeÅ›li X = " i Á : X × X R metryka, to pare (X, Á) nazywamy

przestrzenia metryczna.
Przyklady:
1) Rn z metrykami:
1
2
n
Á(x, y) = (xi - yi)2 ,
i=1
n
Á(x, y) = |xi - yi|,
i=1
Á(x, y) = max1d"id"n |xi - yi|.
2) Każda przestrzeń izomorficzna z Rn np. przestrzeń wielomianów stopnia d"
n - 1.
"
3) lp := {x = (¾1, . . . , ¾n, . . .) : |¾i|p < "} z metryka
i=1
1
"
p
Á(x, y) = ( |¾i - ·i|p)
i=1
4) C[0, 1] z metrykami:
Á(x, y) = maxt"[0,1] |x(t) - y(t)|,
1
Á(x, y) = |x(t) - y(t)| dt.
0
1
5) L2[0, 1] = x : [0, 1] R : x2(t)dt < " z metryka
0
1
2
1
Á(x, y) = (x(t) - y(t))2 dt
0
9
10 ROZDZIAL 2. ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ
6) JeÅ›li (X1, Á1), (X2, Á2) sa przestrzeniami metrycznymi, to (X1 × X2, d) jest
przestrzenia metryczna, gdzie d jest metryka określona wzorem
1
2
d ((x1, x2), (x1, x2)) := Á2(x1, x1) + Á2(x2, x2) .
1 2
7) ,,Amazonka .
Twierdzenie 3 Jeżeli (X, Á) jest przestrzenia metryczna, to
Á
1. X, jest przestrzenia metryczna.
1+Á
2. "Ä…"R (X, Ä…Á) jest przestrzenia metryczna.
+
3. JeÅ›li f : X X jest iniekcja, to Á(x, y) := Á(f(x), f(y)) jest metryka, zatem
(X, Á) jest przestrzenia metryczna.
Stad np. Á(x, y) := |arctan x - arctan y| jest metryka w R.
Definicja 8 Niech (X, Á) bedzie przestrzenia metryczna. Kula otwarta o Å›rodku
w punkcie x0 i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K (x0, r) := {x " X : Á (x0, x) < r} ,
a kula domknieta zbiór
K (x0, r) := {x " X : Á (x0, x) d" r} .
a kuli otwartej i domknietej
Niech X bedzie przestrzenia wektorowa nad cialem K (K = R, lub K = C).
Definicja 9 Funkcje · : X [0, ") nazywamay norma, wtedy i tylko wtedy,
gdy
1. x = 0 Ð!Ò! x = 0,
2.
" " Ä…x = |Ä…| x ,
Ä…"K x"X
3. x + y d" x + y .
"
x,y"X
Definicja 10 Pare (X, · ) nazywamy przestrzenia unormowana.
Uwaga 1 Każda norma indukuje metryke wedlug wzoru
Á(x, y) := x - y ,
toteż każda przestrzeń unormowana jest przestrzenia metryczna.
Definicja 11 Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna. Ciag x(n) ‚" X nazy-
n"N
wamy ciagiem Cauchy ego (ciagiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
Á x(m), x(n) < µ.
" " " "
µ>0 k"N m>k n>k
Definicja 12 Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna. Mówimy, że ciag x(n) ‚"
n"N
X jest zbieżny do granicy g " X wtedy i tylko wtedy, gdy ciag liczbowy Á x(n), g
ma granice równa 0, tj.
lim x(n) = g Ð!Ò! lim Á x(n), g = 0 Ð!Ò! Á x(n), g < µ
" " "
n" n"
µ>0 k"N N n>k
11
Definicja 13 Mówimy, że ciag x(n) ‚" X jest zbieżny w przestrzeni me-
n"N
trycznej (X, Á) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g " X, takie że limn" x(n) = g.
Twierdzenie 4 Każdy ciag zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, Á) jest ciagiem
Cauchy ego.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
1
Przyklad 2 Ciag jest zbieżny do zera w przestrzeni metrycznej (R, ÁE),
n
n"N
gdzie ÁE jest metryka euklidesowa. Jest on zatem w myÅ›l poprzedniego twierdzenia
ciagiem Cauchy ego. Niech X := (0, 1) i niech d bedzie restrykcja metryki ÁE do
X × X. PrzestrzeÅ„ (X, d) jest przestrzenia metryczna, a rozważany ciag w tej prze-
strzeni nie jest zbieżny, gdyż 0 " X.
Definicja 14 Niech (X, Á1), (X, Á2) beda przestrzeniami metrycznymi. Mówimy
że metryki Á1 i Á2 sa równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy
n" n"
Á1(x(n), g) - 0 Ô! Á2(x(n), g) - 0.
" "
g"X
x(n) ‚"X
{ }
n"N
Definicja 15 Niech (X, Á) przestrzeÅ„ metryczna, x(n) ‚" X. Niech N0 ‚"
n"N
N bedzie dowolnym podzbiorem, który nie jest ograniczony od góry tzn.
"n"N "m"N : m > n.
0
Wówczas x(m) nazywamy podciagiem ciagu x(n)
m"N0 n"N
Definicja 16 Niech (X, Á) przestrzeÅ„ metryczna, A ‚" X. Zbiór A nazywamy
ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy "s"X "r>0 : A ‚" K(s, r).
Twierdzenie 5 Jeśli limn"x(n) = g1 i limn"x(n) = g2 w przestrzeni me-
trycznej (X, Á), to g1 = g2.
Twierdzenie 6 Niech (X, Á) przestrzeÅ„ metryczna, x(n) ‚" X. JeÅ›li ciag
n"N
x(n) jest zbieżny w (X, Á), to x(n) ograniczony w (X, Á).
n"N n"N
Definicja 17 PrzestrzeÅ„ metryczna (X, Á) nazywamy zupelna, wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy ciag Cauchy ego x(n) ‚" X jest zbieżny (do elementu prze-
n"N
strzeni X).
Definicja 18 Przestrzeń unormowana zupelna nazywamy przestrzenia Bana-
cha.
Twierdzenie 7 (Banacha o odwzorowaniach zweżajacych)
Jeśli
 (X, · ) przestrzeÅ„ Banacha,
 T : X X q-zweżajace tzn.
T (x) - T (y) d" q x - y ,
" "
q"[0,1) x,y"X
to
" T ma jedyny punkt staly tzn. "! x " X : T (x ) = x .
" Ponadto, jeśli x0 " X, xn+1 := T (xn), to
qp
Á (x , xp) d" Á (x1, xp) dla p " N.
1 - q
12 ROZDZIAL 2. ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ
Definicja 19 Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna, A ‚" X. Mówimy, że zbiór
A jest otwarty w przestzeni (X, Á) wtedy i tylko wtedy, gdy
: K(a, r) ‚" A,
" "
a"A r>0
a domkniety, gdy X \ A  otwarty.
Rozdzial 3
Ciagi liczbowe
W przypadku ciagów liczbowych bedziemy konsekwentnie używać dolnych in-
deksów.
Twierdzenie 8 Jeśli {an}n"N i {bn}n"N sa ciagami zbieżnymi, przy czym limn" an =
a oraz limn" bn = b, to ciagi {an + bn}n"N, {an - bn}n"N, {anbn}n"N sa zbieżne.
Ponadto limn" (an + bn) = a+b, limn" (an - bn) = a-b, limn" (anbn) = ab.
an a
Jeśli dodatkowo bn = 0 i b = 0, to ciag jest zbieżny i limn" an = .

bn n"N bn b
Definicja 20 Niech A ‚" R. Liczbe M " R nazywamy kresem górnym zbioru A
(supremum A), co zapisujemy M = sup A, wtedy i tylko wtedy, gdy
1) a d" M,
"
a"A
2) : M
" " - µ < a.
µ>0 a"A
Liczbe m " R nazywamy kresem dolnym zbioru A (infimum A), co zapisujemy
m = inf A, wtedy i tylko wtedy, gdy liczba -m jest kresem górnym zbioru -A :=
{-a : a " A}, czyli
1) m d" a,
"
a"A
2) : a < m + µ.
" "
µ>0 a"A
Twierdzenie 9 Zbiór A ‚" R niepusty i ograniczony od góry ma kres górny, a
ograniczony od dolu ma kres dolny
Definicja 21 Mówimy, że ciag {an}n"N ‚" R jest monotonicznie rosnacy wtedy
i tylko wtedy, gdy an+1 e" an.
"
n"N
Twierdzenie 10 Każdy ciag liczbowy monotoniczny i ograniczony jest zbieżny,
przy czym jeśli ciag {an}n"N jest rosnacy, co krótko bedziemy notować , to
limn"an = sup {an}n"N, natomiast jeśli ciag {an}n"N jest malejacy, co krótko
bedziemy notować , to limn"an = inf {an}n"N.
Twierdzenie 11 (Twierdzenie o zachowaniu nierówności w granicy). Jeśni
ciagi {an}n"N, {bn}n"N sa zbieżne, limn" an = a, limn" bn = b oraz an d"
"
n"N
bn, to a d" b.
13
14 ROZDZIAL 3. CIAGI LICZBOWE
Twierdzenie 12 (Twierdzenie o trzech ciagach) Zalóżmy, że dane sa trzy ciagi
{an}n"N, {bn}n"N, {cn}n"N. Jeśli an d" bn d" cn oraz limn" an = limn" cn =:
"
n"
g, to ciag {bn}n"N jest zbieżny i limn" bn = g.
3n
Przyklad an = .
n!
" "
n n
Twierdzenie 13 Ciag { n}n"N jest zbieżny, oraz limn" n = 1.
"
n
Dowód. Zauważmy, że n = 1 + µn, gdzie µn e" 0. Zatem
n
n n
n = (1 + µn)n = µk e" 1 + µ2 ,
n n
k 2
k=0
a stad
n-1 2
0 d" µ2 d" =
n
n
n
( )
2
“! “! “!
0 0 0
c.k.d
"
n
Twierdzenie 14 Niech a > 0. Wówczas limn" a = 1.
1
Dowód. Zauważmy, że dla dostatecznie dużych n " N: d" a d" n. Zatem
n
" "
1
n n
"
d" a d" n
n
n
“! “! “!
0 0 0
c.k.d
Twierdzenie 15 Jeśli |q| < 1, to limn" qn = 0.
Dowód. Wystarczy pokazać że limn" |q|n = 0. Zauważmy, że |q|n+1 =
|q| |q|n < |q|n, zatem ciag |q|n jest malejacy. Ponadto |q|n jest ograniczony z dolu
przez 0. Tak wiec ciag ma granice ą = inf {|q|n , n " N}. Należy wykluczyć przypa-
dek ą > 0. Przyjmijmy dla dowodu nie wprost hipoteze, że limn" |q|n = ą > 0.
" "
n n
Tak wiec ą d" |q|n, skad ą d" |q|. Ponieważ lim ą = 1, zatem z twierdzenia o
zachowaniu nierówności w granicy 1 d" |q|, co stanowi sprzeczność z zalożeniem.
c.k.d.
n
1
Twierdzenie 16 Ciag 1 + jest zbieżny. Jego granice oznaczamy symbo-
n
lem e.
Dowód. Pokażemy, że rozważany ciag jest rosnacy i ograniczony.
1 n 1 n 1 n 1 n 1
an = (1 + )n = 1 + + + . . . + + . . . + =
n 1 n 2 n2 k nk n nn
1 1 2 1 2 k-1
1 - (1 - )(1 - ) (1 - )(1 - ) . . . (1 - )
n n n n n n
= 1 + 1 + + + . . . + +
2! 3! k!
1 n-1
(1 - ) . . . (1 - )
1 1
n n
+ . . . + d" 1 + 1 + + +
n! 2! 3!
1
1 -
1 1 1 1 1
2n
+ . . . + d" 1 + 1 + + + . . . + + . . . + = 1 + < 3.
1
n! 2 22 2k 2n 1 -
2
Z kolei
1 2 1
1 - (1 - )(1 - )
n+1 n+1 n+1
an+1 = 1 + 1 + + +
2! 3!
1 2 n-1 1 2 n
(1 - )(1 - ) . . . (1 - ) (1 - )(1 - ) . . . (1 - )
n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
+ . . . + +
n! (n + 1)!
15
Porównujac odpowiadajace sobie skladniki otrzymujemy an < an+1 dla n e" 1.
Zatem ciag jako rosnacy i ograniczony jest zbieżny.
c.k.d.
"
1
Można też pokazać że e = := limk" k 1 .
n=0 n! n=0 n!
n
1 1
Wniosek 1 limn" 1 - =
n e
n n
1 n-1 1 1 1
Dowód. 1 - = = = = .
n
n-1+1 n-1
n n-1+1
n n 1 1
( ) 1+ 1+
( ) ( ) ( )
n-1
n-1 n-1 n-1
c.k.d.
Można udowodnić bardzej ogólne
Twierdzenie 17 Jeśli limxx ą(x) = 0, to
0
1
Ä…(x)
1) " limxx (1 + Ä…(x)) ,
0
1
Ä…(x)
2) limxx (1 + Ä…(x)) = e.
0
16 ROZDZIAL 3. CIAGI LICZBOWE
Rozdzial 4
Ciag fundamentalny
Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna, x(n) .
n"N
Definicja 22 Ciag x(n) nazywamy fundamentalnym (lub inaczej ciagiem
n"N
Cauchy ego, ciagiem podstawowym, ciagiem spelniajacym warunek Cauchy ego) w
(X, Á) wtedy i tylko wtedy, gdy
Á(x(m), x(n)) < µ
" " "
µ>0 k"N m,n"N;me"k;ne"k
Twierdzenie 18 JeÅ›li x(n) ‚" X jest zbieżny w (X, Á), to x(n) spelnia
n"N
warunek Cauchy ego.
µ
Dowód. Niech µ > 0 i niech limn" x(n) = g w (X, Á). Do liczby > 0
2
µ
można dobrać k " N takie, że Á x(n), g < . Niech n, m  dowolne
"
2
N ne"k
µ
liczby naturalne takie że n e" k, m e" k. W takim razie jednoczeÅ›nie Á x (n), g <
2
µ
i Á x(m), g < . Na mocy nierównoÅ›ci trójkata Á x(n), x(m) d" Á x(n), g +
2
µ µ
Á x(m), g < + = µ.
2 2
c.k.d.
Przyklad: Niech Z := (0, 1), d := Á1|Z×Z. Para (Z, d) jest przestrzenia metryczna.
1
Ciag jest w (Z, d) ciagiem fundamentalnym, ale nie jest zbieżny w (Z, d),
n
n"N\{0}
bo 0 " Z.
Definicja 23 PrzestrzeÅ„ metryczna (X, Á) nazywamy zupelna wtedy i tylko
wtedy, gdy x(n) ‚" X fundamentalny w (X, Á) Ò! x(n) zbieżny w (X, Á) .
n"N n"N
Przyklad:
1. (Rn, ÁE) - przestrzeÅ„ metryczna zupelna,
2. (C[a, b], dC) - przestrzeń metryczna zupelna.
Definicja 24 Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna, A ‚" X. Zbiór A nazywamy
otwartym w (X, Á) wtedy i tylko wtedy, gdy K(x, r) ‚" A
" "
x"A r>0
Definicja 25 Niech (X, Á)  przestrzeÅ„ metryczna, A ‚" X. Zbiór A nazywamy
domknietym w (X, Á) wtedy i tylko wtedy, gdy zbi iór X \ A jest otwarty w (X, Á).
17
18 ROZDZIAL 4. CIAG FUNDAMENTALNY
Rozdzial 5
Szeregi liczbowe
" k
Definicja 26 Szeregiem an nazywamy ciag sk := an . Jeśli
n=0 n=0
k"N
"
ciag ten, zwany ciagiem sum cześciowych szeregu an, jest zbieżny, to jego
n=0
granice nazywamy suma szeregu i oznaczamy ja tym samym symbolem co sam szereg.
"
Liczby an (n " N) nazywamy wyrazami szeregu an.
n=0
Przyklad:
"
1
JeÅ›li |¸| < 1, to ¸n = limk" k ¸n = limk" 1-¸k =
n=0 n=0 1-¸ 1-¸
Przyklad:
Zbieżność dowolnego ciagu można sprowadzić do zbieżności pewnego szeregu. Niech
{sn}n"N bedzie zadanym ciagiem. Zdefiniujmy śk := s0 +(s1 -s0)+(s2 -s1)+. . .+
(sk - sk-1) przy czym s-1 := 0. Zauważmy, że limk" sk = limk" k (sn -
n=0
"
sn-1) = (sn - sn-1).
n=0
Twierdzenie 19 (Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego) Na to, aby
"
szereg an byl zbieżny potrzeba aby limn" an = 0. Innymi slowy jeśli szereg
n=0
"
an jest zbieżny, to limn" an = 0.
n=0
Twierdzenie 20 (Warunek konieczny i wystarczajacy zbieżności szeregu) Sze-
" q
reg an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy an < µ.
" " "
n=0 n=p
µ>0 k"N p,qe"k, qe"p
"
Twierdzenie 21 Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny tzn. jeśli szereg |an|
n=0
"
jest zbieżny, to jest zbieżny szereg an.
n=0
Twierdzenie 22 Jeśli an > 0, an+1 - an < 0, limn" an = 0,
" "
n"N\{0} n"N\{0}
" "
n
to szereg an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg 2na2 jest
n=1 n=0
zbieżny.
Dowód. Oznaczmy tk := a1 + 2a2 + 4a4 + . . . + 2ka2k, sn := a1 + . . . + an.
(Ð!) Zauważmy, że a1 + (a2 + a3) + (a4 + . . . + a7) + . . . + (a2k + . . . + a2k+1 ) d"
-1
d" a1 + 2a2 + 22a22 + . . . + 2ka2k = tk. Ustalmy n i wez
my dowolne k spelniajace
nierówność n < 2k. Wtedy na mocy powyższego rachunku, wobec monotoniczności
ciagu {tk}k"N mamy: sn d" tk d" limk" tk = sup {tk : k " N} zatem ciag
{ss}n"N\{0} jest ograniczony. Z drugiej strony ciag {ss}n"N\{0} jako ciag sum
cześciowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciagiem rosnacym. Z tych dwóch
faktów wynika, że {ss}n"N\{0} jest ciagiem zbieżnym.
(Ò!) Niech n > 2k. Wówczas sn e" a1 + a2 + (a3 + a4) + (a5 + a6 + a7 + a8) + . . . +
1 1
(a2k-1 + . . . + a2k) e" a1 + a2 + 2a4 + 4a8 + . . . + 2k-1a2k = tk. Zatem tk d" 2sn.
+1
2 2
19
20 ROZDZIAL 5. SZEREGI LICZBOWE
Przeprowadzajac rozumowanie podobne do tego z pierwszej cześci dowodu otrzy-
mujemy w rezultacie zbieżność ciagu {tk}k"N.
c.k.d.
" " "
1 1 1
Twierdzenie 23 Szeregi , , , . . . sa
n=1 n=2 n(ln n)Ä… n=2 n ln n(ln ln n)Ä…
nÄ…
zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy ą > 1.
Definicja 27 Niech ciag {an}n"N\{0} bedzie ciagiem liczbowym takim, że a1 e"
"
a2 e" a3 e" . . . > 0 oraz limn" an = 0. Wtedy szereg postaci (-1)n+1an
n=1
nazywamy zeregiem naprzemiennym.
Twierdzenie 24 (Kryterium Leibnitza) Jeśli ciag {an}n"N\{0} spelnia warunki:
"
a1 e" a2 e" a3 e" . . . > 0 oraz limn" an = 0, to szereg (-1)n+1an jest zbieżny.
n=1
Czyli krótko: Szereg naprzemienny jest zbieżny.
Dowód. Niech sn := a1 - a2 + . . . + (-1)n+1an. Wówczas s2n+2 = s2n +
(a2n+1 - a2n+2) e" s2n. Tak wiec ciag {s2n}n"N\{0} jest ciagiem monotonicznie
rosnacym. Ponadto s2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - . . . - (a2n-2 - a2n-1) -
a2n d" a1, a zatem {s2n}n"N\{0} jest ciagiem ograniczonym od góry. Tak wiec
{s2n}n"N\{0} jest ciagiem zbieżnym. Oznaczmy symbolem g jego granice. Za-
uważmy, że limn" s2n+1 = limn" (s2n + a2n+1) = limn" s2n+limn" a2n+1 =
g + 0 = g, zatem również ciag {s2n+1}n"N\{0} jest ciagiem zbieżnym do granicy g.
Lacznie limn" sn = g.
c.k.d.
Twierdzenie 25 (Twierdzenie Abela) JeÅ›li ciag an 0, Ãn := b1 +. . .+bn jest
"
ciagiem ograniczonymoraz an > 0, bn > 0, to szereg anbn jest zbieżny.
"
n=1
n"N
Dowód. Niech sn := a1b1 +a2b2 +. . .+anbn. Wez
my n, m " N, n > m. Mamy
sn - sm = am+1bm+1 + . . . + anbn = am+1(Ãm+1 - Ãm) + am+2(Ãm+2 - Ãm+1) +
. . . + an(Ãn - Ãn-1) = -am+1Ãm + (am+1 - am+2)Ãm+1 + (am+2 - am+1)Ãm+2 +
. . . + (an-1 - an)Ãn-1 + anÃn, zatem
|sn - sm| d" |Ãm| am+1 +|Ãm+1| (am+1 -am+2)+. . .+|Ãn-1| (an-1 -an)+|Ãn| an d"
M {am+1 + am+1 - am+2 + am+2 + . . . + (an-1 - an) + an} = 2Mam+1, gdzie M
jest stala ograniczajaca ciag {Ãn}. Do µ > 0 można dobrać k " N takie, że
2Mam+1 < µ dla m > k. Tak wiec |sn - sm| < µ, gdy n > m > k. To ozna-
cza, że ciag {sn}n"N spelnia warunek Cauchy ego, a zatem jest zbieżny.
c.k.d.
Twierdzenie 26 (Kryterium Raabego) Jeśli {an}n"N jest ciagiem o wyrazach
"
an
dodatnich takim, że limn" n - 1 > 1, to szereg an jest zbieżny.
an+1 n=1
Twierdzenie 27 (Kryterium porównawcze) Przyjmijmy, że 0 d" an d" bn.
"
n"N
Wówczas
" "
1. Jeśli szereg bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=0 n=0
" "
2. Jeśli szereg an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=0 n=0
" "
Dowód. Niech sn := aj, Ãn := bj. Jak latwo zauważyć sn d" Ãn.
j=1 j=1
c.k.d.
"
1
Przyklad: .
1 n2+1
"
Wniosek 2 Jeśli |an| d" bn oraz szereg bn jest zbieżny, to szereg
"
n=0
n"N
"
an jest zbieżny.
n=0
21
Twierdzenie 28 (Kryterium Cauchy ego) Jeśli {an}n"N\{0} jest ciagiem o wy-
"
"
n
razach nieujemnych takim, że limn" an =: ł < 1, to szereg an jest
n=1
"
zbieżny. Jeśli ł > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Twierdzenie 29 (Kryterium d Alemberta) Jeśli {an}n"N\{0} jest ciagiem o wy-
"
razach dodatnich takim, że limn" an+1 =: ł < 1, to szereg an jest zbieżny.
an n=1
"
Jeśli ł > 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
nn n! an
Przyklady: , , .
n! nn n!
Definicja 28 Jeśli {mn}n"N jest permutacja ciagu 1, 2, 3, . . ., to mówimy że
szeregi an, am różnia sie co najwyżej porzadkiem skladników.
n
Twierdzenie 30 (O permutacji szeregów bezwzglednie zbieżnych) Jeśli {mn}n"N
jest ciagiem, którego wyrazami sa liczby naturalne 1, 2, 3, . . ., przy czym każda liczba
wystepuje w tym ciagu dokladnie jeden raz (czyli ciag {mn}n"N jest permutacja
"
zbioru liczb naturalnych N) oraz szereg an jest bezwzglednie zbieżny, to szereg
n=0
" " "
am jest zbieżny i am = an.
n n
n=0 n=0 n=0
Dowód. Zdefiniujmy sn := a1 + a2 + . . . + an, tn := am + am + . . . + am .
1 2 n
Oczywiście tn = sn + (tn - sn). Zatem wystarczy pokazać że limn" (tn - sn) = 0.
"
Wez
my µ > 0. Istnieje l " N takie że |aj| < µ. Wez
my k tak duże że liczby
j=l+1
a1, . . . , al znajduja sie wśród liczb am , am , . . . , am , co jest równoważne, że liczby
1 2 k
"
1, . . . , l znajduja sie wÅ›ród liczb m1, . . . , mk. Wtedy |sn - tn| d" |aj| < µ
j=l+1
dla n > k, czyli |sn - tn| < µ dla n > k.
c.k.d.
"
Twierdzenie 31 (Twierdzenie Riemanna) Jeśli szereg an jest warun-
n=0
kowo zbieżny, to do każdej liczby s " [-", "] istnieje permutacja {mn}n"N ciagu
"
1, 2, 3, . . ., taka, że am jest szeregiem zbieżnym do sumy s.
n
n=0
" "
Definicja 29 Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy sze-
n=0 n=0
" " " n
reg ( an) ( bn) = cn, gdzie cn := akbn-k.
n=0 n=0 n=0 k=0
"
Twierdzenie 32 (Twierdzenie Mertensa) Jeżeli szereg an jest bezwzglednie
n=0
"
zbieżny, szereg bn zbieżny, to iloczyn Cauchy ego tych szeregów jest szeregiem
n=0
zbieżnym.
Przyklad:
"
xn
Niech ex := . Dla każdego ustalonego x " R szereg ten jest bezwzglednie
n=0 n!
" |x|n
zbieżny. Stosujac kryterium d Alemberta do szeregu mamy bowiem
n=0 n!
|x|n+1
|x|
(n+1)!
lim = lim = 0,
|x|n n"
n"
n + 1
n!
zatem szereg ten jest zbieżny. Na mocy twierdzenia Mertensa dla dowolnych a, b " R
szereg ea · eb jest zbieżny. Z drugiej strony
" " "
an bn a0bn a1bn-1 anb0
ea · eb = = + + . . . + =
n! n! 0!n! 1!(n - 1)! n!0!
n=0 n=0 0
" "
1 n n n (a + b)n
= a0bn + a1bn-1 + . . . + anb0 = = ea+b,
n! 0 1 n n!
n=0 n=0
zatem
ea · eb = ea+b.
22 ROZDZIAL 5. SZEREGI LICZBOWE
Bezpośrednio z definicji wynika, że ex > 1 dla x > 0. Poniewaz
ex · e-x = ex-x =
1
e0 = 1 zatem e-x = . To z kolei daje nierówność ex < 1 dla x < 0 z jednej strony
ex
i oszacowanie ex > 0 z drugiej.
Pokażemy, że ex jest silnie rosnaca.
Warunek x1 < x2 jest równoważny nierówności x2 - x1 > 0. Mamy wiec 1 <
2-x1 ex2
1 1 2
ex = , skad wobec nierówności ex > 0 dostajemy ex < ex .
ex1
Funkcja R x ex " R+ jako silnie rosnaca jest iniektywna, a zatem odwracalna
na swojej przeciwdziedzinie. Jeśli oznaczymy f(x) = ex, to
ln x := f-1(x).
-1
Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że f(f (x)) = eln x = x dla x > 0, jak również
f-1(f(x)) = ln ex = x dla x " R. Definiujemy
ln x
ax := ex ln a, loga x := .
ln a
Rozdzial 6
Wlasności funkcji ciaglych
Niech (X, Á), (Y, d) przestrzenie metryczne, f : X Y funkcja , A ‚" X.
Definicja 30 Mówimy, że f jest funkcja ciagla w punkcie a " X wtedy i tylko
wtedy, gdy
(Á(x, a) < ´ Ò! d(f(x), f(a)) < µ) ,
" " "
µ>0 ´>0 x"X
co jest równoważne warunkowi
x " K(a, ´) ‚" X Ò! f(x) " K(f(a), µ) ‚" Y.
" " "
µ>0 x"X
´>0
Definicja 31 Mówimy, że funkcja f jest ciagla w zbiorze A ‚" X wtedy i tylko
wtedy, gdy funkcja f jest ciagla w a.
"
a"A
Przyklady:
1. JeÅ›li (X, Á) jest przestrzenia metryczna, x " X, to funkcja X x - Á(x, x) "
Å»
R jest ciagla w X.
2. Niech rozważana przestrzenia metryczna bedzie (Rn, ÁE). Niech i " {1, . . . , n}.
Funkcja pri : Rn x = (x1, . . . , xn) - pri(x) = xi " R zwana projekcja na
i ta oÅ›, jest ciagla w Rn.
Twierdzenie 33 Niech X = Rs, Á = ÁE (bedziemy czas jakiÅ› rozważać tylko
taki przypadek), f, g : X - R ciagle w punkcie a (w zbiorze A). Wówczas
f
f + g, f - g, f · g, (g = 0)

g
ciagle w a (w zbiorze A).
Twierdzenie 34 JeÅ›li A ‚" Rs zbiór domkniety i ograniczony, f : A R
funkcja ciagla w A, to
|f(x)| d" M.
" "
M>0 x"A
Krótko: Funkcja ciagla na zbiorze domknietym i ograniczonym jest ograniczona.
Twierdzenie 35 (Weierstrassa) JeÅ›li A ‚" Rs zbiór domkniety i ograniczony,
f : A R funkcja ciagla w A, to
: f(x1) = inf f(x),
"
x"A
x1"A
: f(x2) = sup f(x).
"
x2"A
x"A
Krótko: Funkcja ciagla na zbiorze domknietym i ograniczonym osiaga swoje kresy.
23
24 ROZDZIAL 6. WLASNOÅšCI FUNKCJI CIAGLYCH
Twierdzenie 36 (Darboux) Zalóżmy, że f : R ƒ" I R ciagla , I przedzial,
[Ä…, ²] ‚" I, f(Ä…) = f(²), c leży miedzy f(Ä…) i f(²). Wówczas

: f(¾) = c.
"
¾"(Ä…,²)
Twierdzenie 37 (Boltzano) Zalóżmy, że f : R ƒ" I R ciagla , I przedzial,
[Ä…, ²] ‚" I, f(Ä…)f(²) < 0. Wówczas
: f(¾) = 0.
"
¾"(Ä…,²)
Dowód. Konstrukcja prowadzaca do metody polowienia przedzialu.
c.k.d.
Wniosek 3 Każdy wielomian zmiennej rzeczywistej stopnia nieparzystego ma
co najmniej jedno miejsce zerowe.
Twierdzenie 38 JeÅ›li f : Rs ƒ" A R jest ciagla w x0 " A oraz f(x0) <
c (f(x0) > c), to istnieje takie otoczenie Ux punktu x0, że f(x) < c (f(x) > c),
0
gdy x " A )" Ux .
0
Dowód. Zalóżmy, że f(x0) < c. Zdefiniujmy µ := c - f(x0) > 0. Z ciagloÅ›ci f
w x0 wynika istnienie otoczenia Ux punktu x0 takiego, że
0
|f(x) - f(x0)| < µ = c - f(x0) dla x " A )" Ux .
0
W szczególności f(x) - f(x0) < c - f(x0) skad f(x) < c dla x " A )" Ux .
0
c.k.d.
Twierdzenie 39 Funkcje elementarne
R x xÄ… " R, Ä… " N,
R x ex " R,
R x sin x " R,
R x cos x " R,
.
.
.
sa ciagle.
Twierdzenie 40 JeÅ›li f : R ƒ" I R, I  przedzial, f ciagla i Å›ciÅ›le monoto-
niczna w I, to f-1 jest ciagla w f(I).
"
Ä…
Wniosek 4 Funkcje x x, x loga x sa ciagle.
Twierdzenie 41 Jeżeli (X, Á), (Y, d), (Z, µ) przestrzenie metryczne, f : X ƒ"
A Y , g : Y ƒ" B Z  funkcje ciagle, f(A) ‚" B, wówczas g ć% f : X ƒ" A Z
jest funkcja ciagla.
Niech (X, Á), (Y, d)  przestrzenie metryczne i niech f : X ƒ" D Y  funkcja.
Definicja 32 Mówimy że g " Y jest granica funkcji f w punkcie x0, co zapisu-
f(x), dla x = x0,

jemy limxx f(x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy f : X ƒ" D x
0
g, dla x = x0,
jest ciagla w x0.
25
Wniosek 5 Niech X = Rn, Y = R, f : X - Y , g : X - Y , x0 " X. Jeśli
limxx f(x) = º1, limxx g(x) = º2, to istnieje granica sumy, różnicy, iloczynu
0 0
funkcji f i g w punkcie x0, a przy dodatkowym zalożeniu º2 = 0 i g(x) = 0 w

sasiedztwie x0 również granica ilorazu tych funkcji. Ponadto
lim (f(x) + g(x)) = º1 + º2,
xx0
lim (f(x) - g(x)) = º1 - º2,
xx0
lim (f(x) · g(x)) = º1 · º2,
xx0
f(x) º1
lim = .
xx0
g(x) º2
Twierdzenie 42 Prawdziwe sa granice:
1. limx0 sin x = 1,
x
Å„Å‚
+" gdy a > 1
òÅ‚
2. limx" ax = 1 gdy a = 1
ół
0 gdy 0 d" a < 1
x x
1 1
3. limx" 1 + = limx-" 1 + = e.
x x
Ä„
Dowód. Dla dowodu pierwszej z granic rozważmy na wstepie x " 0, .
2
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.
D
1
C
x
0 A B
| OBC| < |OBC| < | OBD|
1 x 1
AC < < BD
2 2 2
AC < x < BD
sin x
sin x < x < tan x =
cos x
x 1
1 < <
sin x cos x
.
sin x
1 > > cos x
x
“! “! “!
1 1 1
                
0 < sin x < x Ò! limx0 sin x = 0
OC < OA + AC OC - AC < OA
1 - sin x < cos X < 1
limx0 cos x = 1
limx0 sin x = 1; limx0 sin x = lim-x0 sin(-x) = lim-x0 sin(-x) = 1
+ - x
+ -x
+ -x
x
26 ROZDZIAL 6. WLASNOÅšCI FUNKCJI CIAGLYCH
Rozdzial 7
Rachunek różniczkowy
funkcji jednej zmiennej
7.1 Podstawowe definicje i twierdzenia
Niech f : R ƒ" A R bedzie funkcja okreÅ›lona na zbiorze A o niepustym
o o
wnetrzu . Niech x0 " , x " A, x = x0.

A A
Definicja 33 Jeśli istnieje granica limxx f (x)-f (x0) , to nazywamy ja pochodna
0
x-x0
funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f (x0).
" Interpretacja geometryczna pochodnej: Równanie
f(x ) - f(x0)
y = f(x0) + (x - x0)
x - x0
jest równaniem siecznej przechodzacej przez punkty Ao = (x0, y0), A =
(x , y ), gdzie y0 = f(x0), y = f(x ). Gdy punkt x da ży do x0, to sieczna
o
zmierza do prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie :
A
y = f(x0) + f (x0)(x - x0).
Pochodna f (x0) jest zatem równa tangensowi kata nachylenia prostej stycznej
o
do wykresu funkcji w punkcie .
A
" Interpretacja fizyczna: Zmienna x bedziemy teraz interpretowali jako czas, a
f (x)-f (x0)
f(x) jako droge przebyta przez punkt w czasie x. W tym przypadku
x-x0
możemy interpretować jako predkość średnia, a f (x0) predkość chwilowa w
chwili x0.
o
Twierdzenie 43 Niech f : A R, x0 " . Jeśli istnieje pochodna f (x0), to f
A
jest ciagla w x0.
f (x)-f (x0)
Dowód. Ponieważ f(x) = f(x0) + (x - x0), zatem
x-x0
f(x) - f(x0)
lim f(x) = lim f(x0) + (x - x0) = f(x0) + f (x0) · 0 = f(x0).
xx0 xx0
x - x0
c.k.d
o
Twierdzenie 44 Niechf : A R, x0 " . Nastepujace warunki sa równoważne
A
27
28ROZDZIAL 7. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
1) Funkcja f ma pochodna w punkcie x0,
2) :
" "
c"R Á:Ux0 R
a) f(x) = f(x0) + c(x - x0) + Á(x)(x - x0),
b) lim Á(x) = 0.
xx0
f (x)-f (x0)
Dowód. (Ò!) Wystarczy przyja ć c := f (x0), Á(x) := - f (x0).
x-x0
f (x)-f (x0)
(Ð!) Wobec a): = c+Á(x). Na mocy b) granica prawej strony przy x 0
x-x0
istnieje i jest równa c. Wobec tego istnieje granica lewej strony, ale jeśli tak to jest
to z definicji pochodna funkcji f w punkcie x0.
c.k.d.
Twierdzenie 45 Jeśli funkcje f, g sa określone w otoczeniu Ux punktu x0 oraz
0
istnieja pochodne f (x0), g (x0), to:
1) Istnieja pochodne (f +g) (x0), (f -g) (x0), (f ·g) (x0). JeÅ›li ponadto g (x) = 0

f
w Ux oraz g (x0) = 0, to istnieje pochodna (x0).

0
g
2) Ponadto:
(f Ä… g) (x0) = f (x0) Ä… g (x0),
(f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0),
f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
(x0) = .
g [g(x0)]2
Twierdzenie 46 (Twierdzenie o pochodnej funkcji zlożonej) Niech g : A R,
o o
f : B R, x0 " , g(x0) " , y0 := g(x0). JeÅ›li g(A) ‚" B oraz istnieja pochodne
A B
f (y0), g (x0), to istnieje pochodna funkcji zlożonej (f ć% g) (x0) oraz
(f ć% g) (x0) = f (g(x0)) · g (x0).
Dowód. Ponieważ z zalożenia funkcja f ma pochodna w punkcie y0, zatem
wobec twierdzenia (44) istnieje funkcja Á, taka że limyy Á(y) = 0 oraz
0
f(y) = f(y0) + f (y0)(y - y0) + Á(y)(y - y0), y " B.
Podstawiajac w tym wzorzy g(x) w miejsce y dostajemy:
f(g(x)) = f(g(x0)) + f (g(x0))(g(x) - g(x0)) + Á(g(x))(g(x) - g(x0))),
skad
f(g(x)) - f(g(x0)) g(x) - g(x0) g(x) - g(x0)
= f (g(x0)) + Á(g(x)) .
x - x0 x - x0 x - x0
Dalej wystarczy przejść w granicy z x do x0.
Twierdzenie 47 (Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeśli f jest funkcja
różnowartościowa i ciagla w [a, b], punkt x0 " (a, b), istnieje f (x0) oraz f (x0) = 0,

wtedy funkcja odwrotna f-1 ma w punkcie f(x0) pochodna oraz
1 1
(f-1) (f(x0)) = , (f-1) (y0) = , gdzie y0 = f(x0).
f (x0) f (f-1(y0))
7.2. POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH 29
7.2 Pochodne funkcji elementarnych
Zauważmy, że jeśli f(x) := x, to f (x0) = limh0 (x0+h)-x0 = 1. Dla funkcji
h
f(x) := x2 mamy z kolei f (x0) = limh0 (x0+h)2-(x0)2 = limh0 2x0h+h2 = 2x0.
h h
Wzory te daja sie uogólnić, i dla f(x) := xą dostajemy f (x0) = ą(x0)ą-1. Ko-
rzystajac ze znanych wzorów trygonometrycznych oraz faktu, że limh0 sinh = 1
h
możemy wyprowadzić wzory na pochodna funkcji sinus i cosinus. Mamy bowiem
h
h
2
limh0 sin(x+h)-sin x = limh0 sin cos x + = cos x, zatem (sin x) = cos x.
h
h 2
2
Podobnie postepujac dostajemy wzór: (cos x) = - sin x. Wzór na pochodna funk-
cji tangens i cotangens mo żemy otrzymać ze wzoru na pochodna ilorazu funkcji.
(sin x) (cos x)-(sin x)(cos x) 1
sin x
Mamy bowiem (tan x) = = = . Podobnie
cos x cos2 x
(cos x)2
1
(cot x) = -sin x. Wyprowadzenie wzoru na pochodna funkcji ekspotencjalnej wy-
2
maga znajomości wartości granicy limh0 eh-1 . Dowodzi sie, że granica ta jest
h
równa 1. Stad (ex) = limh0 ex+h-ex = ex limh0 eh-1 = ex. Aby wyprowadzić
h h
wzór na pochodna funkcji arcsin x, arctan x, log x trzeba skorzystać z twierdzenia o
1 1 1
pochodnej funkcji zlożonej. Przykladowo jeśli y = ex, to (log y) = = = .
(ex) ex y
1
Podstawiajac w tym wzorze x w miejsce y dostajemy ostatecznie (log x) = . Po-
x
dobnie znajduje sie wzory na pochodne pozostalych funkcji elementarnych. Wzory
te prezentuje poniższa tabela: wstawić
7.3 Ekstrema lokalne
Definicja 34 Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie x0 minimum
(maksimum) lokalne, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie Ux punktu
0
x0, że f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)) dla x " Ux \ {x0}.
0
Definicja 35 Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie x0 ekstremum lo-
kalne, wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie minimum, lub maksimum lokalne.
Twierdzenie 48 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : A R,
o
x0 " . Jeśli istnieje pochodna f (x0) oraz funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum
A
lokalne, to f (x0) = 0.
Dowód. trywialny!
Twierdzenie 49 (Twierdzenie Lagrange a) Jeśli funkcja f jest ciagla w prze-
dziale domknietym [a, b] i różniczkowalna w przedziale otwartym (a, b), tzn w każdym
punkcie tego przedzialu ma pochodna, to istnieje punkt x " (a, b), taki, że
f(b) - f(a)
= f (¾).
b - a
Wnioski z twierdzenia Lagrange a:
Wniosek 6 Jeśli funkcja f jest określona i różniczkowalna w przedziale (a, b)
oraz f (x) = 0 dla x " (a, b), to funkcja f jest stala na przedziale (a, b).
Wniosek 7 Niech f bedzie funkcja określona i różniczkowalna w przedziale
(a, b). Wówczas, jeśli f (x) e" 0 (f (x) > 0) dla x " (a, b), to funkcja f jest
rosnaca (ściśle rosnaca) w (a, b). Jeśli z kolei f (x) d" 0 (f (x) < 0) dla x " (a, b),
to funkcja f jest malej aca (ściśle malejaca) w (a, b).
30ROZDZIAL 7. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Twierdzenie 50 Niech f bedzie funkcja określona i różniczkowalna w prze-
dziale (a, b). Jeśli w punkcie x0 " (a, b) pochodna f (x) zeruje sie i zmienia znak w
otoczeniu tego punktu, to w x0 ma ekstremum lokalne i to maksimum, jeśli zmienia
znak z dodatniego na ujemny, a minimum lokalne w przeciwnym przypadku.
Przyklady: Dwa rysunki poniżej przedstawiaja wykresy funkcji f : x x2 -
ln x2, f : x x - sin x:
15
10
10
8
5
6
-15 -10 -5 5 10 15
4
-5
2
-10
-2 -1 1 2
-15
7.4 Pochodne wyższych rzedów
Niech f określona w A = (a, b), różniczkowalna w (a, b) tzn. w każdym punkcie
x " (a, b) istnieje pochodna f (x). Niech x0 " (a, b).
Definicja 36 Pochodna rzedu drugiego funkcji f w punkcie x0 nazywamy gra-
nice
f (x) - f (x0)
lim
xx0 - x0
x
o ile ta istnieje. i oznaczamy ja symbolem f (x0).
(n-1)
Pochodne wyższych rzedów definiujemy rekurencyjnie. Jeśli zalożymy, że f
o
istnieje w zbiorze An-1 ‚" A, x0 " , to
A
n-1
f(n-1)(x) - f(n-1)(x0)
f(n)(x0) := f(n-1) (x0) := lim ,
xx0
x - x0
jeśli ta granica istnieje. Przyklady.:
7.5 Twierdzenie o wzorze Taylora
Twierdzenie 51 (Twierdzenie Taylora) Niech I ‚" R bedzie przedzialem otwar-
tym, a f funkcja określona na tym przedziale o wartościach rzeczywistych. Zakladamy,
że f ma pochodne f , . . . , f(n) w I. Przy tych zalożeniach
:
" " "
x, x0 k"N\{0} Ń"(0,1)
n-1
f(k)(x0)
f(x) = (x - x0)k + Rnk, (7.1)
k!
k=0
(n)
f (x0+¸(x-x0))
gdzie Rnk := (1-¸)n-k(x-x0)n nazywamy reszta w postaci Szchlomilcha
(n-1)!k
Roche a. Reszte Rn1 nazywamy reszta Cauchy ego, a reszte Rnn reszta Lagrange a.
7.5. TWIERDZENIE O WZORZE TAYLORA 31
Wzór (7.1) nazywamy wzorem Taylora. Jeśli x0 = 0, to wzór Taylora przybiera
postać
n-1
f(k)(0)
f(x) = xk + Rnk, (7.2)
k!
k=0
i jest nazywany wzorem Maclaurina.
Przyklady:
1. Niech f(x) = ex, x0 = 0.
x xn-1 e¸x
ex = 1 + + . . . + + xn.
1! (n - 1)! n!
(n)
2. Niech f(x) = sin x, x0 = 0. Latwo sprawdzić, że f (x) = sin(n) x = sin(x +
Ä„
n ). Tak wiec
2
x3 x5 x2k-1 sin(2k)(¸x)
sin x = x - + - . . . (-1)k-1 + x2k.
3! 5! (2k - 1)! (2k)!
Ponieważ limk" R2k,2k = 0 zatem
"
x2k-1
sin x = (-1)k-1
(2k - 1)!
k=1
3. Niech f(x) = sin x, x0 = 0.
"
x2k
cos x = (-1)k .
(2k)!
k=0
4. Niech f(x) = ln(1 + x), x0 = 0.
"
(-1)n-1
ln(1 + x) = xn, |x| < 1
n
n=1
i podobnie
"
xn
ln(1 - x) = - , |x| < 1,
n
n=1
oraz
"
1 + x x2n+1
ln = 2 , |x| < 1.
1 - x 2n + 1
n=0
5. Niech f(x) = (1 + x)Ä…, x0 = 0.
Ä…
Ä… Ä… Ä… n! (1 + ¸x)Ä…-n
n
(1+x)Ä… = 1+ x+ x2 +. . .+ + (1-¸)n-1xn
1 2 n - 1 (n - 1)!
dla x > -1.
Definicja 37 Mówimy, że funkcja f : R ƒ" A R jest wypukla na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
{(x, y) : x " A, y e" f(x)}
jest wypukly.
32ROZDZIAL 7. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Definicja 38 Mówimy, że funkcja f : R ƒ" A R jest wklesla na zbiorze A
wtedy i tylko wtedy, funkcja -f jest wypukla na A.
Uwaga 2 JeÅ›li funkcja f : R ƒ" [a, b] R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b), to f jest wypukla w (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x0 " (a, b)
funkcja Õ(x) := f(x) - [f(x0) + f (x0)(x - x0)] jest nieujemna tj. Õ(x) e" 0, a
wklesla gdy Õ(x) d" 0.
Definicja 39 JeÅ›li dla x0 " (a, b) funkcja Õ jest nieujemna, to mówimy , że f
jest wypukla w punkcie x0, a gdy Õ jest niedodatnia, to mówimy, że f jest wklesla
w punkcie x0.
Twierdzenie 52 Jeśli f (x0) > 0 (f (x0) < 0), to f jest w punkcie x0 wypukla
(wklesla).
Algorytm badania funkcji.
Definicja 40 Mówimy, że f ma w x0 punkt przegiecia wtedy i tylko wtedy, gdy
"´ > 0 : f wklesla w (x0 - ´, x0) i f wypukla w (x0, x0 + ´) lub na odwrót.
Twierdzenie 53 (warunek konieczny) Jeśli funkcja f ma w x0 punkt przegiecia,
to f (x0) = 0.
(j)
Twierdzenie 54 Jeżeli f " Cn, gdzie n = 2k oraz f (x0) = 0 dla j =
1, . . . , n - 1 oraz f(n)(x0) < 0 (f(n)(x0) < 0), to w x0 funkcja f ma maksimum
(minimum) lokalne.
(j)
Twierdzenie 55 Jeżeli f " Cn, gdzie n = 2k + 1 oraz f (x0) = 0 dla j =
1, . . . , n - 1 oraz f(n)(x0) = 0, to w x0 funkcja f ma punkt przegiecia.

7.6 Symbole nieoznaczone i regula de L Hospitala
u(x)
0 "
Definicja 41 Mówimy, że jest symbolem nieoznaczonym ( ) w punkcie
v(x) 0 "
x0 jeśli v(x) = 0 dla x " A, x = x0 oraz limxx u(x) = limxx v(x) = 0.

0 0
Podobnie definiujemy inne symbole nieoznaczone:
" - ", 0 · ", 00, 1", "0.
Nazwa bierze sie stad, że dla dowolnego g " R można dobrać takie funkcje u(x) i
v(x), które tworza jeden z wymienionych symboli, tak że cale wyrażenie ma granice
g. Każdy z tych symboli daje sie sprowadzić do innego:
1
01 02 "
= = ,
1
02 01 "
1
"1 "2 0
= = ,
1
"2 "1 0
1 1
-
0
"2 "1
"1 - "2 = = ,
1
0
"1"2
0 0 " "
0 · " = = , lub 0 · " = = ,
1 1
0 "
" 0
00 = e0 ln 0 = e0·",
1" = e" ln 1 = e"·0,
"0 = e0 ln " = e0·".
7.6. SYMBOLE NIEOZNACZONE I REGULA DE L HOSPITALA 33
Twierdzenie 56 (Regula de L Hospitala) Jeśli x0 jest końcem przedzialu I,
funkcje u, v sa różniczkowalne w I, limxx u(x) = limxx v(x) = 0 (= "),
0 0
(x)
istnieje limxx u (x) , to
0
v
1. istnieje granica limxx u(x) ,
0
v(x)
(x)
2. limxx u(x) = limxx u (x) .
0 0
v(x) v
sin x
Przyklad: Obliczenie wartości granicy w zerze.
x
Definicja 42 Mówimy, że prosta x ax + b jest asymptota ukośna prawo-
stronna (lewostronna) funkcji R x f(x) " R, jeśli limx"(f(x) - ax - b) = 0
(limx-"(f(x) - ax - b) = 0).
34ROZDZIAL 7. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Rozdzial 8
Rachunek różniczkowy
funkcji wielu zmiennych
Definicja 43 JeÅ›li c " Rn, A = AT " Rn×n, to odwzorowanie l : Rn x
cT x " R nazywamy forma liniowa, a : Rn × Rn (x, y) xT Ay " R nazywamy
forma dwuliniowa, a odwzorowanie Rn x xT Ax = a(x, x) " R forma kwadra-
towa.
Definicja 44 Mówimy, że forma kwadratowa Rn x a(x, x) = xT Ax " R
indukowana przez macierz symetryczna A jest dodatnio (ujemnie) określona, wtedy
i tylko wtedy, gdy a(x, x) > 0 (a(x, x) < 0)
"
x =0
Twierdzenie 57 (Twierdzenie Sylwestera) Forma kwadratowa Rn x a(x, x) =
xT Ax " R indukowana przez macierz symetryczna A jest dodatnio określona, wtedy
i tylko wtedy, gdy wszystkie minory glówne Mi (i = 1, . . . , n) macierzy A sa dodat-
nie, a ujemnie określona, gdy (-1)iMi > 0 dla i = 1, . . . , n. Minorem glównym Mi
nazywany
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1i
ìÅ‚ ÷Å‚
. .
. .
Mi := det .
íÅ‚ Å‚Å‚
. .
ai1 . . . aii
Definicja 45 Pochodna czastkowa funkcji f : Rn R w punkcie x0 wzgledem
i tej zmiennej nazywamy granice
f(x0 + hei) - f(x0)
lim ,
h0 h
gdzie ei jest wersorem i tej osi, o ile ta granica istnieje. W tym wypadku oznaczamy
"f
ja symbolem (x0)
"xi
Jak sie okazuje istnienie wszystkich pochodnych czastkowych funkcji f w punkcie
x0 nie gwarantuje ciaglości tej funkji w tym punkcie. Świadczy o tym przyklad:
x1x2
, x = (0, 0),

x2+x2
1 2
f : R2 x = (x1, x2)
0, x = (0, 0).
35
36ROZDZIAL 8. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
0.5
0.25
2
0
1
-0.25
-0.5
-2
-2 0
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2-2
Definicja 46 Mówimy, że funkcja f : Rn R ma w punkcie x0 pochodna
kierunkowa w kierunku wektora v " Rn \ {0} jeśli istnieje granica
f(x0 + tv) - f(x0)
lim .
t0+
t
W tym wypadku oznaczamy ja symbolem "vf(x0)
Istnienie nawet wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie x0 nie może
zapewnić jeszcze ciaglości funkcji w tym punkcie. Świadczy o tym przyklad funkcji:
x1x2
2
, x = (0, 0),

x2+x4
f : R2 x = (x1, x2) 1 2
0, x = (0, 0).
0.5
0.25
2
0
1
-0.25
-0.5
-2
-2 0
-1
-1
-1
0
0
1
1
2
2-2
Definicja 47 Niech &! ‚" Rn bedzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja
f : Rn ƒ" &! R jest różniczkowalna w punkcie x0 " &! wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje wektor D " Rn oraz funkcja µ : Rn R takie, że
1. f(x0 + h) - f(x0) = DT h + µ(h) h dla wszystkich h takich, że x0 + h " &!,
2. limh0 µ(h) = 0.
Twierdzenie 58 Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, to f ma
w x0 wszystkie pochodne kierunkowe i czastkowe. Ponadto wektor D z definicji
"f
różniczkowalności funkcji jest równy D = gradf(x0) := (x0) . Wektor
"xi i=1,...,n
ten nazywamy gradientem funkcji f w punkcie x0.
37
Uwaga 3 Jeśli f jest funkcja różniczkowalna w punkcie x0, v " Rn \ {0}, to
n
1 vi "f
"vf(x0) = vT · grad(x0) = (x0).
n
v 2
vi "xi
i=1
j=1
Definicja 48 Odwzorowanie dx f : Rn h dx f(h) := (gradf(x0))T h " R
0 0
nazywamy różniczka funkcji f w punkcie x0.
Definicja 49 Odwzorowanie f : Rn x dxf " L(Rn, R) nazywamy po-
chodna funkcji f.
n
"f
Zauważmy, że f (x)(h) = dxf(h) = (x)hi.
i=1 "xi
Pochodne czastkowe rzedu drugiego i wyższych definiujemy rekurencyjnie. Mia-
nowicie:
"2f " "
(x0) = x (x) .
"xi"xj "xi "xj |x=x0
Pochodne mieszane nie musza być równe. Świadczy o tym przyklad funkcji:
1 2
x1x2 x2-x2 , x2 + x2 > 0,
x2+x2 1 2
f : R2 x = (x1, x2) 1 2
0, x2 + x2 = 0.
1 2
2
1
1
2
0
0
1
-1
-2
-2 0
-1
-1
-1
-1
0
0
1
1
-2
2
2-2 -2 -1 0 1 2
Twierdzenie 59 JeÅ›li &! ‚" Rn zbiór otwarty, f : Rn ƒ" &! R ma wszystkie
pochodne czastkowe w pewnym otoczeniu x0 " &! i sa one w tym otoczeniu ciagle,
to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0.
Twierdzenie 60 Niech &! ‚" Rn zbiór otwarty, f : Rn ƒ" &! R. JeÅ›li istnieje
otoczenie Ux punktu x0, w którym istnieja pochodne mieszane funkcji f i w punkcie
0
x0 pochodne te sa ciagle, wówczas
"2f "2f
(x0) = (x0) dla i, j " {1, . . . , n} , i = j.

"xi"xj "xj"xi
Niech f : Rn ƒ" &! x f(x) " R ma pochodne czastkowe rzedu drugiego ciagle
w otoczeniu x0. Druga różniczke funkci f w punkcie a określamy nastepujaco:
d2 f : Rn h hT Hf (x0)h,
x0
"2f
gdzie Hf (x0) = (x0) , czyli d2 f(h) = hT Hf (x0)h.
"xi"xj i,j=1,...,n x0
(m)
n "f
Z kolei dm f(h) := hi
x0 i=1 "xi |x=x0
przy zalożeniu, że f ma w otoczeniu punktu x = x0 pochodne czastkowe ciagle.
38ROZDZIAL 8. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Twierdzenie 61 (Taylora) Niech &! ‚" Rn otwarty i wypukly, x0 " &!, h " Rn,
x0 + h " &!. JeÅ›li f : Rn ƒ" &! R klasy C(k)(&!), to istnieje ¸ " (0, 1) takie, że
k-1
1 1
f(x0 + h) = dł f(h) + dk f(h)
x0 x0+¸h
Å‚! k!
Å‚=0
Twierdzenie 62 JeÅ›li funkcja f : Rn ƒ" &! R klasy C2(&!) na zbiorze otwar-
tym &! ma w x0 ekstremum lokalne, to gradf(x0) = 0.
Twierdzenie 63 JeÅ›li f : Rn ƒ" &! R klasy C2(&!), gdzie &! otwarty, gradf(x0) =
0, Hf (x0) > 0 (Hf (x0) < 0), to f ma w x0 minimum lokalne (maksimum lokalne).
Algorytm badania istnienia ekstremum funkcji f wielu zmiennych:
1. Wyznaczamy gradf(x).
2. Rozwiazujemy równanie gradf(x) = 0. Symbolem R oznaczamy zbiór rozwiazań
tego równania, czyli zbiór punktów stacjonarnych.
3. Badamy określoność formy kwadratowej indukowanej przez macierz Hessego
Hf (x") dla x" " R. Jeśli forma jest dodatnio określona to w x" funkcja
f osiaga minimum lokalne, jeśli jest ujemnie określona to w x" funkcja f
osiaga maksimum lokalne, a jeśli jest nieokreślona to w x" funkcja f nie ma
ekstremum lokalnego.
Rozdzial 9
Rachunek calkowy  funkcja
pierwotna
9.1 Podstawowe definicje i twierdzenia
Definicja 50 Niech f : R ƒ" I R, I  przedzial. Mówimy, że funkcja F
różniczkowalna w I jest funkcja pierwotna (calka nieoznaczona) funkcji f jeśli:
F (x) = f(x).
"
x"I
Twierdzenie 64 Każda funkcja f ciagla w przedziale I ma w nim funkcje pier-
wotna F (x) = f(x)dx (F = f).
Twierdzenie 65 Niech f bedzie funkcja ciagla na przedziale I. Wówczas
a) Jeśli F i G sa calkami funkcji f to istnieje takie c = const " R, że F = G + c.
b) Jeśli F jest calka funkcji f to F + c też jest calka f.
"
c"R
Twierdzenie 66 JeÅ›li f, g : R ƒ" I R sa funkcjami ciaglymi na przedziele I,
Ä…, ² " R, to
(Ä…f + ²g) = Ä… f + ² g
co oznacza, że calka nieoznaczona jest operatorem liniowym.
Twierdzenie 67 (Twierdzenie o calkowaniu przez czeÅ›ci) JeÅ›li f, g : R ƒ" I
R sa funkcjami klasy C1 na przedziale I, to
f(x)g (x)dx = f(x)g(x) - f (x)g(x)dx. (9.1)
Można to zapisać krótko:
fg = fg - f g, f dg = fg - g df.
Dowód. Zauważmy, że wobec definicji funkcji pierwotnej mamy: fg =
fg . Z kolei stosujac twierdzenie o pochodnej sumy, pochodnej iloczynu wobec
definicji funkcji pierwotnej dostajemy: fg - f g = f g + fg - f g = fg .
Zatem pochodne lewej i prawej strony wzoru (9.1).
c.k.d.
Przyklady: ln xdx, xn ln xdx, xnexdx, xn sin xdx.
39
40 ROZDZIAL 9. RACHUNEK CALKOWY  FUNKCJA PIERWOTNA
Twierdzenie 68 (Twierdzenie o calkowaniu przez podstawienie) JeÅ›li f : R ƒ"
I R jest ciagla w przedziale I, Õ : R ƒ" J I funkcja klasy C1 w przedziale J, to
(f ć% Õ)Õ = f ć% Õ. (9.2)
Wzór ten można zapisać również w postaci:
f(Õ(t))Õ (t) dt = f(x)dx .
x=Õ(t)
Dowód. Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji zlożonej:
f ć% Õ = (f ć% Õ) · Õ .
c.k.d.
Przyklady:
Õ (x) dy
1. dx = = ln |Õ(x)|.
Õ(x) y
y=Õ(x)
ÕÄ…+1(x)
2. [Õ(x)]Ä…Õ (x)dx = yÄ…dy = dla Ä… = -1.

y=Õ(x) Ä…+1
9.2 Wzory rekurencyjne
Niech An oznacza calke
dx
An := .
(1 + x2)n
Zauważmy, że A0 = dx = x. Pokażemy, że
1 1 x
An = An-1 1 - + .
2(n - 1) 2(n - 1) (1 + x2)n-1
Zauważmy bowiem, że
d(1 + x2) 2x
1 + x2 = t
= dx = =
2xdx = dt
(1 + x2)n (1 + x2)n
dt t-n+1 (1 + x2)-n+1
= = = .
tn -n + 1 -n + 1
Dalej
1 (1 + x2) - x2 1 d(1 + x2)
An = dx = dx = An-1 - x =
(1 + x2)n (1 + x2)n 2 (1 + x2)n
1 1
= An-1 - x d(1 + x2)-n+1 =
2 -n + 1
1 1 dx
= An-1 + x(1 + x2)-n+1 - =
2(n - 1) 2(n - 1) (1 + x2)n-1
1 1
= An-1 + x(1 + x2)-n+1 - An-1.
2(n - 1) 2(n - 1)
Niech
Bn := sinn x dx.
9.3. PODSTAWOWE CALKI 41
Można pokazać, że
B0 = x,
B1 = sin xdx = - cos x,
n - 1 1
Bn = Bn-2 - sinn-1 x cos x.
n n
Podobnie, jeśli
Cn := cosn x dx,
to
C0 = x,
C1 = sin x,
n - 1 1
Cn = Cn-2 + sin x cosn-1 x.
n n
9.3 Podstawowe calki
Korzystajac ze wzorów na pochodne funkcji elementarnych otrzymujemy nastepujace
wzory calkowe:
f f
xÄ…+1
xÄ…, Ä… = -1

Ä…+1
x-1 ln |x|
ax
ax
ln a
sin x - cos x
cos x sin x
1
tan x
cos2 x
1
- cot x
sin2 x
1
arctan
1+x2
1
"
arcsin x
1-x2
Można udowodnić wzory:
L.p. f f
1 tan x - ln |cos x|
2 cot x ln |sin x|
"
3 arcsin x x arcsin x + 1" x2
-
4 arctan x x arctan x - ln 1 + x2
1 x
"
5 arcsin
|a|
a2-x2
"
1
"
6 ln x + a2 + x2
2
"a +x2 "
a2 x
7 a2 - x2 x a2 - x2 + arcsin
2 2 |a|
" " "
a2
8 a2 + x2 x a2 + x2 + ln x + a2 + x2
2 2
3. przez czeÅ›ci , a potem Õ(x) = 1 - x2
4. przez cześci, potem sprowadzić do pochodnej z funkcji logarytmicznej
6. podstawienie t = x + a2 + x2
9.4 Calkowanie funkcji wymiernych
Ü
L(x)
Każda funkcje wymierna R(x) = , gdzie L i M wielomiany o wspólczynnikach
M(x)
L(x)
rzeczywistych, po wydzieleniu można przedstawić w postaci R(x) = W (x) + ,
M(x)
42 ROZDZIAL 9. RACHUNEK CALKOWY  FUNKCJA PIERWOTNA
gdzie W wielomian i stopien wielomianu L silnie mniejszy od stopnia wielomianu
L(x)
M. Dalej, zgodnie ze stosownym twierdzeniem z algebry, funkcje wymierna M(x)
można jednoznacznie rozlożyć na sume ulamków prostych pierwszego i drugiego
rodzaju.
Definicja 51 Ulamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy wyrażenie po-
A Bx+C
staci , a ulamkiem prostym drugiego rodzaju wyrażenie postaci ,
(x-a)m (x2+Ä…x+²)m
przy czym Ä…2 - 4² < 0, A, B, C " R, m " N.
Uwaga 4 Calka z ulamka prostego pierwszego rodzaju jest równa:
A
A (x - a)1-m dla m = 1,

1-m
dx =
(x - a)m A ln |x - a| dla m = 1.
Calkujac ulamek prosty drugiego rodzaju dostajemy:
Bx + C B d(x2 + Ä…x + ²) BÄ… dx
dx = + C - =
(x2 + Ä…x + ²)m 2 (x2 + Ä…x + ²)m 2 (x2 + Ä…x + ²)m
B
(x2 + Ä…x + ²)1-m , m = 1

1-m
= +
B
ln x2 + Ä…x + ² , m = 1
2
BÄ… dx
+ C +
2 (x2 + Ä…x + ²)m
îÅ‚ 2 Å‚Å‚
4²-Ä…2 x+ Ä…
2
ðÅ‚
Ponieważ x2 + Ä…x + ² = + 1ûÅ‚, tak wiec stosujac podstawienie
4
4²-Ä…2
4
Ä…
x+
dx
2
t = w calce możemy ja sprowadzić do postaci:
(x2+Ä…x+²)m
4²-Ä…2
4
1
4²-Ä…2
2
dt
dx 4² - Ä…2 -m dt
4
= n = ,
(x2 + Ä…x + ²)m 4²-Ä…2 4 (t2 + 1)m
(t2 - 1)n
4
w której ostatnia calke można obliczyć rekurencyjnie.
9.5 Calkowanie pewnych klas funkcji
Funkcje R2 (x, y) axpyq " R nazywamy jednomianem stopnia p + q, a
sume jednomianów W (x, y) = aijxiyj - wielomian stopnia d" m. Jeśli
i+jd"m
L(x,y)
L i M sa wielomianami, to funkcje R(x, y) = nazywamy funkcja wymierna.
M(x,y)
Wiele typów calek przez stosowne podstawienie można sprowadzić do calki z funkcji
wymiernej.
n ax+b
1. Calke A = R x, dx, gdzie ad - cb = 0 obliczamy stosujac pod-

cx+d
n ax+b b-tnd
stawienie t = . Wtedy x = wyraża sie wymiernie przez t oraz
cx+d tnc-a
różniczka dx także.
"
2. W celu obliczenia calki B = R x, ax2 + bx + c dx, gdzie " = 0, rozważymy

trzy przypadki:
i) Jeśli a < 0 to musi być " > 0. Wtedy ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) =
"
ax-ax2 ax-ax2
(x - x1)2, skad, jeśli x1 < x2, ax2 + bx + c = (x - x1) .
x-x1 x-x1
Mamy wówczas do czynienia z calka rozważana w poprzednim punkcie.
9.5. CALKOWANIE PEWNYCH KLAS FUNKCJI 43
ii) Jeśli a > 0 i " > 0 postepujemy jak wyżej.
"
"
iii) a > 0 i " < 0 to podstawiamy ax2 + bx + c = (t - x) a. Wówczas
at2-c
x = wyraża sie wymiernie przez t.
2t+b
3. Calke C = R(ecx)dx, gdzie c = 0 obliczamy przez podstawienie t = ecx.

4. W calce postaci D = R(sin x, cos x)dx stosujemy standardowo podstawienie
x 2 2t 1-t2
t = tan . Wtedy x = 2 arctan x, dx = dt, sin x = , cos x = .
2 1+t2 1+t2 1+t2
44 ROZDZIAL 9. RACHUNEK CALKOWY  FUNKCJA PIERWOTNA
Rozdzial 10
Calka oznaczona
b
Definicja 52 Calke oznaczona a f(x)dx z funkcji ciaglej f po przedziale [a, b]
definiujemy wzorem
b
f(x)dx := F (b) - F (a), (10.1)
a
gdzie F jest dowolna pierwotna funkcji f.
Wlasności calek oznaczonych.
Twierdzenie 69 Niech f, g beda funkcjami ciaglymi na przedziale I, a, b, c " I,
Ä…, ² " R. Prawdziwe sa wzory:
a
f(x)dx = 0,
a
a b
f(x)dx = - f(x)dx,
b a
b b b
(Ä…f + ²g)dx = Ä… f dx + ² g dx,
a a a
b c b
f dx = f dx + f dx,
a a c
b b
cf(x)dx = c f(x)dx,
a a
b b
f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] |b - f (x)g(x)dx,
a
a a
b f (b)
g(f(x))f (x)dx = g(y)dy,
a f (a)
Uwaga 5 Jeśli f jest funkcja ciagla na odcinku [a, b], a < b oraz f(x) e" 0 dla
b
x " [a, b], to f(x)dx e" 0.
a
Uwaga 6 Jeśli f : [a, b] R jest funkcja ciagla, to
b b
f(x)dx d" |f(x)| dx d" M(b - a),
a a
gdzie M = supx"[a,b] |f(x)|.
45
46 ROZDZIAL 10. CALKA OZNACZONA
Dowód. Ponieważ -M d" - |f(x)| d" f(x) d" |f(x)| d" M, zatem wobec Uwagi
5 mamy:
b b b b b
(-M)dx d" (- |f(x)|)dx d" f(x)dx d" |f(x)| dx d" Mdx
a a a a a
skad bezpośrednio wynika teza uwagi.
c.k.d.
10.1 Obliczanie pól i objetości figur
Jednym z zastosowań calki oznaczonej sa wzory na obliczanie pól i objetości
figur geometrycznych.
1. Jeżeli Õ, È : [a, b] R sa funkcjami ciaglymi takimi, że Õ(x) d" È(x),
"
x"[a,b]
to
b
|D| = (È - Õ)(x)dx,
a
gdzie
D := {(x, y) : a d" x d" b, Õ(x) d" y d" È(x)} .
È(x)
a b Õ(x)
2. Niech k bedzie krzywa o równaniu parametrycznym x = x(t), y = y(t), ą d"
t d" ², przy czym funkcje x, y sa klasy C1[Ä…, ²] oraz y(t) e" 0, x (t) > 0 w
[Ä…, ²]. Wówczas pole zawartego miedzy ta krzywa , osia Ox i rzednymi w
punktach końcowych wyraża se wzorem:
²
|D| = y(t)x (t)dt.
Ä…
3. Zalóżmy, że f : [Ä…, ²] Õ f(Õ) " R+ jest funkcja ciagla. Wówczas
²
1
|D| = [f(Õ)]2dÕ,
2
Ä…
gdzie
D := {(x, y) = (r cos Õ, r sin Õ) : Õ " [Ä…, ²], 0 d" r d" f(Õ)} .
10.2. OBLICZANIE DLUGOÅšCI KRZYWYCH 47
f(Õ)
²
Ä…
4. Niech V bedzie bryla obrotowa powstala przez obrót funkcji f : [a, b]
R+\ {0} klasy C1[a, b] dookola osi Ox. Tu rysunek
Wówczas wzory
b b
|V | = Ä„ f2(x)dx, |S| = 2Ä„ f(x) 1 + [f (x)]2dx
a a
wyrażaja odpowiednio objetość V i pole powierzchni bocznej tej bryly obro-
towej.
10.2 Obliczanie dlugości krzywych
Innym zastosowaniem calki oznaczonej sa wzory na obliczanie dLugości krzy-
wych.
1. Jeśli f : [a, b] x f(x) " R jest funkcja klasy C1, to dlugość krzywej f
leżacej miedzy punktami (a, f(a)) i (b, f(b)) wyraża sie wzorem:
b
d = 1 + [f (x)]2dx.
a
2. JeÅ›li x : [Ä…, ²] t x(t) " R+, y : [Ä…, ²] t y(t) " R+ sa funkcjami klasy
C1, to d ugość krzywej k okreÅ›lonej parametrycznie (x(t), y(t)) (t " [Ä…, ²])
wyraża sie wzorem:
²
d = x 2(t) + y 2(t)dt
Ä…
Policzyć kilka przykladów np:
a) Pole kola
b) Objetość odcinka kuli
c) Dlugość fragmentu paraboli
d) Objetość fragmentu paraboloidy
48 ROZDZIAL 10. CALKA OZNACZONA
Rozdzial 11
Calka podwójna
Nie podamy, miedzy innymi z braku czasu, precyzyjnej definicji calki podwójnej.
Ograniczymy sie jedynie do definicji calki podwójnej z funkcji ciaglej na zbiorze
regularnym.
Definicja 53 Ograniczony zbiór &! ‚" R2 nazywamy regularnym, jeÅ›li wtedy i
tylko wtedy, gdy jego brzeg daje sie podzielić na skończona ilość krzywych, z których
każda daje sie przedstawić równaniem: y = y(x) x " [a, b], lub x = x(y) y "
[c, d], przy czym funkcje y(x) oraz x(y) sa ciagle.
Definicja 54 Zbiór regularny &! ‚" R2 nazywamy normalnym wzgledem osi Ox
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja stale a, b i ciagle funkcje Õ, È, takie że
&! = {(x, y) : a d" x d" b, Õ(x) d" y d" È(x)} ,
a nazywamy normalnym wzgledem osi Oy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja stale c,
d i ciagle funkcje º, Ç, takie że
&! = {(x, y) : c d" y d" d, º(y) d" x d" Ç(y)} .
Definicja 55 JeÅ›li &! ‚" R2 jest normalny wzgledem osi Ox, a f : &! R jest
funkcja ciagla, to
b È(x)
f(x, y) dx dy := f(x, y) dy dx,
a Õ(x)
&!
a jeÅ›li &! ‚" R2 jest normalny wzgledem osi Oy, to
d Ç(y)
f(x, y) dx dy := f(x, y) dx dy.
c º(y)
&!
Definicja 56 Niech &! ‚" R2 bedzie zbiorem regularnym, a f : &! (x, y)
n
f(x, y) " R funkcja ciagla. Jeśli &! = &!i przy czym &!i (i = 1, . . . , n) normalny
i=1
wzgledem osi Ox lub normalny wzgledem osi Oy oraz, jeśli i = j, to (&!i )" &!j)ć% = ",

wówczas
n
f(x, y) dx dy := f(x, y) dx dy
i=1
&! &!i
49
50 ROZDZIAL 11. CALKA PODWÓJNA
11.1 Zastosowania geometryczne calek podwójnych
1. Niech D ‚" R2 bedzie zbiorem regularnym, a Õ, È : D R funkcjami ciaglymi
takimi, że Õ(x, y) d" È(x, y) w zbiorze D. Definiujemy zbiór
V := (x, y, z) " R3 : (x, y) " D, Õ(x, y) d" z d" È(x, y) .
Objetość V wyraża sie wzorem
|V | = (È - Õ)(x, y) dx dy.
D
2. Niech D ‚" R2 bedzie zbiorem regularnym, f : D R funkcja klasy C1, a S
platem powierzchniowym
S := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) " D} .
Pole tego plata jest równe
2 2
|S| = 1 + fx + fy dx dy
D
Twierdzenie 70 Jeżeli
a) funkcje Õ i È sa ciagle wraz z pochodnymi w obszarze obejmujacym obszar
regularny " i jego brzeg "",
b) (Õ, È) : "ć% D iniekcja,
"(Õ,È)
c) = 0 wewnatrz ", to

"(u,v)
"(Õ, È)
f(x, y) dx dy = f(Õ(u, v), È(u, v)) du dv,
"(u, v)
D "
gdzie "ć% oznacza wnetrze zbioru ", a
"Õ "È
"(Õ, È)
(u, v) (u, v)
"u "u
:= det .
"Õ "È
"(u, v) (u, v) (u, v)
"v "v
Przyklad 3
a) Niech x = r cos ¸, y = r sin ¸, dla (r, ¸) " R+ × [0, Ä„). Wówczas
"(x, y)
cos ¸ -r sin ¸
= = r
sin ¸ r cos ¸
"(r, ¸)
¾ ·
b) Niech x = , y = dla (¾, ·) = (0, 0). Prosty rachunek pokazuje, że

¾2+·2 ¾2+·2
"(x,y)
= -1.
"(¾,·)
1 x y
c) x2 + y2 = = dla ¾ = 0 i · = 0.

¾2+·2 ¾ ·
Rozdzial 12
Calka potrójna
Niech
&! = (x, y, z) " R3 : a d" x d" b, Õ(x) d" y d" È(x), º(x, y) d" z d" Ç(x, y) .
Wówczas definiujemy
b È(x) Ç(x,y)
f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dx
a Õ(x) º(x,y)
&!
Twierdzenie 71 Jeżeli
a) funkcje Õi (i = 1, 2, 3) sa ciagle wraz z pochodnymi w obszarze obejmujacym
obszar regularny " i jego brzeg "",
b) (Õ1, Õ2, Õ3) : "ć% D iniekcja,
"(Õ1,Õ2,Õ3)
c) = 0 wewnatrz ", to

"(u1,u2,u3)
"(Õ1, Õ2, Õ3)
f(x1, x2, x3)dx1 dx2 dx3 = f(Õ1, Õ2, Õ3) du1 du2 du3,
"(u1, u2, u3)
D "
gdzie
"Õj
"(Õ1, Õ2, Õ3)
:= det (u1, u2, u3) .
"(u1, u2, u3) "ui j=1,2,3
i=1,2,3
Przyklad 4
a) Niech x = Á cos ¸, y = Á sin ¸, z = z, gdzie ¸ " [0, 2Ä„), Á " R+, z " R.
Wówczas
cos ¸ sin ¸ 0
"(x, y, z)
cos ¸ sin ¸
= -Á sin ¸ Á cos ¸ 0 = Á = Á
- sin ¸ cos ¸
"(Á, ¸, z)
0 0 1
b) Niech x = r sin Õ cos ¸, y = r sin Õ sin ¸, z = r cos Õ dla 0 d" r < +", 0 d" Õ d"
Ä„, 0 d" ¸ < 2Ä„. Wówczas
sin Õ cos ¸ sin Õ sin ¸ cos Õ
"(x, y, z)
= r cos Õ cos ¸ r cos Õ sin ¸ -r sin Õ = r2 sin Õ.
"(r, Õ, ¸)
-r sin Õ sin ¸ r sin Õ cos ¸ 0
51
52 ROZDZIAL 12. CALKA POTRÓJNA
Przyklad 5
Podamy teraz kilka przykladów obliczania calek.
a) Obliczyć objetość bryly ograniczonej powierzchnia (x2 + y2 + z2)2 = a3z.
We wspólrzednych sferycznych x = r sin Õ cos ¸, y = r sin Õ sin ¸, z = r cos Õ
"
1
3
równanie powierzchni przyjmuje postać: r = a cos Õ dla 0 d" Õ d" Ä„, 0 d"
2
1
¸ d" Ä„. Zatem
2
"
 Ä„ Ä„
3
a cos Õ
2 2 2
2 1
|V | = 4 d¸ dÕ r2 sin Õdr = Ä„a3 sin Õ cos ÕdÕ = Ä„a3.
3 3
0 0 0 0
2
x2 y2 xy
b) Obliczyć pole figury ograniczonej krzywa + = . Rusunek poniżej
a2 b2 c2
przedstawia badana krzywa dla a = 3, b = 2 i c = 4: Zmieniajac zmienne
0.6
0.4
0.2
-1 -0.5 0.5 1
-0.2
-0.4
-0.6
zgodnie z wzorami x = ar cos ¸, y = br sin ¸ równanie tej krzywej przyjmuje
ab
postać r2 = sin ¸ cos ¸. Tak wiec
c2
Ä„ ab Ä„
sin ¸ cos ¸
2 2
c2
a2b2 a2b2
|D| = 2 d¸ abrdr = sin ¸ cos ¸d¸ = .
c2 0 2c2
0 0
c) Aby obliczyć pole ograniczone petla krzywej (x + y)4 = ax2y (na rysunku
poniżej przyjeto a = 5)
53
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
warto zastosować zmiane zmiennych postaci x = r cos2 ¸, y = r sin2 ¸. Równanie
krzywej przyjmuje postać r = a cos4 ¸ sin2 ¸. W tym wypadku jakobian jest
równy
cos2 ¸ -2r sin ¸ cos ¸
J = = 2r sin ¸ cos ¸.
sin2 ¸ 2r sin ¸ cos ¸
54 ROZDZIAL 12. CALKA POTRÓJNA
Rozdzial 13
Przykladowe zestawy zadań
egzaminacyjnych
Pisemny egzamin z analizy matematycznej jest dwucześciowy. Cześć pierwsza
ma na celu sprawdzenie bieglości rachunkowej, a cześć druga, umownie zwana jest
cześcia ,,teoretyczna i nie ma ona charakteru wylacznie rachunkowego. Czas trwa-
nia egzaminu z cześci zadaniowej: 90 - 110 minut. Czas trwania egzaminu z cześci
teoretycznej: 30 -45 minut. Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10 punktów.
Poniżej zaprezentowane sa zestawy zadań egzaminacyjnych z jednej sesji. Sa one
reprezentatywne, jeśli chodzi o poziom trudności tematów. W poszczególnych la-
tach zmienia sie jednak czesciowo zakres wykladanego materialu materialu, a wiec
i tematyczny zakres zadań.
28 styczeń 2001 Cześć zadaniowa:
1. Na danej kuli opisz stożek o najmniejszej objetości.
2. W stożku o wysokości h = 10cm i promieniu podstawy r = 30cm zwiekszono
wysokość o 2mm i jednocześnie zmniejszono promień o 3mm. Korzystajac ze
wzoru f(x) - f (x0) H" dx f (x - x0) oszacować o ile zmieni sie objetość tego
0
stożka.
x+3
"
3. Oblicz calke dx.
x2 2x+3
4. Korzystajac ze wspólrzednych biegunowych oblicz objetość bryly ograniczonej
walcami x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 4, plasczyznami y = x, y = 0, z = 0 i
paraboloida obrotowa z = x2 + y2.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
" sin
n=1 n2
"
1
"
n=1 (n+1)2+1
Cześć teoretyczna:
1. Podaj definicje pochodnej kierunkowej funkcji. Oblicz "vf (x0), gdzie
x1x2
f : R2 (x1, x2) " R, v = (1, 2), x0 = (2, -1).
x2+x2
1
2. Sformuluj twierdzenie Taylora dla funkcji k zmiennych rzeczywistych o wartościach
rzeczywistych. Rozwiń wedlug wzoru Taylora z n = 2 funkcje f : R
(x1, x2) x1 cos x2 " R w otoczeniu punktu (1, 0).
3. Sformuluj znane Ci wlasności funkcji ciaglych.
55
56ROZDZIAL 13. PRZYKLADOWE ZESTAWY ZADAC
EGZAMINACYJNYCH
27 styczeń 2002 Cześć zadaniowa:
1. W odcinek paraboli y = 2x2 ograniczony prosta y = 2 wpisz prostokat o
najwiekszym polu.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 - xy + x - 2z " R.
x
"
3. Oblicz calke dx.
5x2-2x+1
4. Korzystajac ze wspólrzednych biegunowych x = Á cos Õ, y = Á sin Õ oblicz
2
pole figury ograniczonej petla krzywej o równaniu x2 + y2 = xy leżaca w
pierwszej ćwiartce ukladu wspólrzednych (x e" 0, y e" 0).
0.4
0.2
-0.4 -0.2 0.2 0.4
-0.2
-0.4
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
" "
,
n=1
n(n+1)
"
2n-1
"
" .
n=1
( 2)n
Cześć teoretyczna:
1. Udowodnij twierdzenie:
"
Twierdzenie 72 Jeśli ai > 0 dla i " N oraz szereg a2 jest rozbieżny,
i=0 i
"
to rozbieżny jest także szereg ai.
i=0
Wskazówka: Wykorzystaj kryterium porównawcze Weierstrassa oraz ksztalt
funkcji R+ t t i R+ t t2 w otoczeniu punktu 0.
2. Sformuluj warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-
zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych (n > 1).
3. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybliżonej wartości wyrażenia
(1.04)2.02.
17 luty 2002 Cześć zadaniowa:
1. W trójkat prostokatny o dlugościach przyprostokatnych równych a i b wpisano
prostokat, którego bok leży na przeciwprostokatnej trójkata. Jakie powinny
być wymiary prostokata, żeby jego pole bylo najwieksze.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z " R.
57
3. Stosujac twierdzenie o calkowaniu przez cześci oblicz calke x2 sin 5x dx.
"
1 1
4. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = , y = x, y = x2 (x e" 0).
x 8
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
" ,
n=1 (3n-2)(3n+1)
" 2+(-1)n
" .
n=1 2n
Cześć teoretyczna:
1. Udowodnij twierdzenie:
"
Twierdzenie 73 Jeśli szereg ai o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to
i=0
"
zbieżny jest również szereg a2.
i=0 i
Wskazówka: Wykorzystaj warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego,
kryterium porównawcze Weierstrassa oraz ksztalt funkcji R+ t t i R+
t t2 w otoczeniu punktu 0.
2. Sformuluj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-zmiennych
rzeczywistych o wartościach rzeczywistych. Podaj przyklad funkcji ilustrujacy,
że nie jest to warunek wystarczajacy.
3. Podaj trzy przyklady zastosowania calki oznaczonej w geometrii.
8 styczeń 2003 Cześć zadaniowa:
1. Koszt wynajecia statku towarowego wynosi 3000 zlotych na godzine. Przy
predkości x km/godz koszt paliwa wynosi 3x2 zlotych na godzine. Statek
może plyna ć z maksymalna predkościa 32 km/godz. Jaka jest najbardziej
ekonomiczna predkość? Jaka bedzie odpowiedz
przy wynajeciu statku na
dluższy okres, gdy udziela sie rabatu 10% rabatu za wynajecie?
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
1 8
f : R2 (x, y) xy + + " R.
x y
dx
"
3. Oblicz calke .
4x2+x
4. Oblicz objetość bryly powstalej przez obrót krzywej y = sin x dla x " [0, Ą]
dookola osi Ox.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
n
3
" ,
n=1 2n5-1
" 2+(-1)n
" .
n=1 2n
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj warunek wystarczajacy istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-
zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych (n > 1).
2. Zastosuj twierdzenie Taylora do obliczenia przybliżonej wartości wyrażenia
"
1.02 dokladnościa do 0.001.
58ROZDZIAL 13. PRZYKLADOWE ZESTAWY ZADAC
EGZAMINACYJNYCH
3. Sformuluj twierdzenie o zmianie zmiennych w calce podwójnej i dokonaj za-
miany zmiennych przechodzac do wspólrzednych biegunowych w calce
sin x2 + y2 dxdy,
K
gdzie K = (x, y) : x2 + (y - 1)2 d" 1 .
8 luty 2003 Cześć zadaniowa:
1
1. Koszt przejazdu cieżarówki wynosi 60 + x groszy za kilometr, gdzie x ozna-
10
cza szybkość w kilometrach na godzine. Kierowca otrzymuje 10 zlotych za
godzine pracy. Jaka bedzie najbardziej ekonomiczna predkość cieżarówki:
" na szosie, gdzie predkość nie może przekraczać 90 km/godz,
" na autostradzie, gdzie predkość nie może przekraczać 110 km/godz.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) 2x2 + 8xy + ln y " R.
3. Oblicz objetość bryly obrotowej powstalej prze obrót figury zawartej miedzy
1
krzywymi y = , y = 1, x = 1, x = 3 dookola osi Ox.
x
5x-7
4. Oblicz calke dx.
4x2-8x+13
5. Stosujac kryteria Cauchy ego i d Alemberta zbadaj zbieżność szeregów:
n
"
1-n
" ,
n=1 n2
"
n3
" .
n=1 n!
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj twierdzenie Taylora dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o wartościach
rzeczywistych.
"
1 x
2. Zmień kolejność calkowania w calce f(x, y)dy dx.
0 0
3. Zdefiniuj pojecie granicy funkcji f : Rn ƒ" &! R w punkcie x0 " &!ć%.
Wiedzac, że limx0 sin x = 1 oblicz limx0 tan 2x.
x tan x
28 luty 2003 Cześć zadaniowa:
1. Jakie powinny być wymiary szklanki o grubości ścianek d = 2 mm i po-
jemności V = 0.2 dcm3, aby ilość szkla potrzebnego do jej wytworzenia byla
najmniejsza?
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R2 (x, y) x3 + 3xy2 - 51x - 24y " R.
3. Oblicz pole obszaru &! ograniczonego krzywymi: y = x2, y = 3x2 - 1, x = 1.
x+2
4. Oblicz calke dx.
x2+2x+10
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
100n
" ,
n=1 n!
59
"
n+1
" .
n=1 n2+1
Cześć teoretyczna:
1. Sformuluj twierdzenie Maclaurina dla funkcji jednej zmiennej rzeczywistej o
wartościach rzeczywistych. Z dokladnościa do 0.0001 oblicz wartość wyrażenia
e-0.07.
"
1 5 x
2. Zmień kolejność calkowania w calce f(x, y)dy dx.
0 0
3. Zdefiniuj pojecie granicy funkcji f : Rn ƒ" &! R w punkcie x0 " &!ć%.
Wiedzac, że limx0 sin x = 1 oblicz limx0 tan 2x.
x tan x
29 marzec 2003
1. W trójkat prostokatny o dlugościach przyprostokatnych równych a i b wpisano
prostokat, którego bok leży na przeciwprostokatnej trójkata. Jakie powinny
być wymiary prostokata, żeby jego pole bylo najwieksze.
2. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f : R3 (x, y, z) x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z " R.
3. Oblicz calke x sin 2x dx.
Ä„ Ä„
4. Oblicz objetość bryly powstalej przez obrót krzywej y = cos x dla x " - ,
2 2
dookola osi Ox.
5. Zbadaj zbieżność szeregów:
"
1
" ,
n=1 3n(3n+1)
n
1
2+
(- )
"
2
" .
n=1 2n