Untitled Scanned 11 (12)

14 CIĄGI

50. R

Liczby A = log₂(<J-4), y= log₂2«. z = log₂«r sąlr/.cma początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu i sumę dwudziestu początkowych jego wyrazów.

51.

Iloczyn pierwszego i szóstego wyrazu malejącego ciągu arytmetycznego o wyrazach całkowitych jest równy 100. Przy dzieleniu wyrazu drugiego przez wyraz szósty otrzymujemy 3 i resztę 2. Oblicz, o ile jest mniejsza suma dwustu początkowych wyrazów o numerach parzystych od sumy dwustu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

52. R

Liczby .v + y. 3.v + 2y+ I, .r -i-5.v t 4 v tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te wartości v. dla których ciąg ten jest rosnący.

53. R

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (ii„) dla każdej liczby całkowitej n > I wyraża się wzorem S„=n~- 2n.

a)    Oblicz piąty wyraz ciągu (</„).

b)    Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu (a„) o numerach nieparzystych: a\ i m +... +a|.>.>.

54.

Suma n początkowych wyrazów ciągu («„) dla każdego /i<= N, określona jest wzorem S„ = 2n² — 14n.

a)    R Wykaż, że («„) jest ciągiem arytmetycznym.

b)    Wykaż, że jeżeli suma n początkowych wyrazów ciągu dla każdego n ~ N₊ określona jest wzorem .V„=2w²- I4;j+ I. to ciąg ten nie jest arytmetyczny.

55.

Wykaż, że dla dowolnego ciągu arytmetycznego zachodzi równość S_}n = 3(S_2/1    S„), gdzie S\ oznacza

sumę k początkowych wyrazów ciągu.

56.

Ciąg (a„) jest arytmetyczny. I’_IK oznacza sumę ni początkowych wyrazów o parzystych numerach tego ciągu. Znajdź wzór na n-ty wyraz ciągu ia„), jeśli P„, = 2nr- 3ni.

57.'W

Wy znacz wszystkie wartości parametru m, dla których istnieje takie a, żc liczby 5¹'' -l-5¹ \ ~, 25 ' -f 25 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

58.*W

Wszystkie wyrazy skończonego malejącego ciągu arytmetycznego («„) są liczbami naturalnymi. Wybrano pewne dwa kolejne wyrazy ciągu («„). Znajdź te wyrazy wiedząc, że różnica ich kwadratów jest równa 11.

59.* R

Każda z liczb k, m. n. a jest dodatnia i różna od I. zaś liczby log/ A. log,_;r.v, log„.v są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że n² =(kn)^Ui>"

60.* R

Wykaż, że jeżeli liczby n\ b'~. <r tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby ^—.-^-7.^-również tworzą ciąg arytmetyczny.