3582308539

1)    Wstęp

Interpolacja - oszacowanie wartości (zwł. funkcji mat.)

znajdujących się między dwiema znanymi wartościami.

łac. interpolatio 'przekształcenie' od interpolare ‘przekształcać; fałszować za

pomocą wstawek'; od inter- łac. 'między; przy; na; wpośród'; polare- od

polire ‘polerować; oczyszczać'

Najogólniej rzecz biorąc, interpolacja polega na przybliżaniu funkcji. Aby jednak dokładnie zrozumieć czym jest, a czym nie jest interpolacja, należy powiedzieć kilka słów więcej. Owszem, ona przybliża funkcję - jednak robi to w szczególny sposób -zachowuje bowiem równość wartości w wybranych punktach (zwanych węzłami) pomiędzy funkcją którą chcemy przybliżyć (interpolowaną), a funkcją przybliżającą

(interpolującą) ⁽    :

f(x_x)=y_s n =0,1,.. ,n

t

Zazwyczaj zależy nam dodatkowo, aby w punktach które nie są węzłami przybliżenie było również jak najlepsze. Jako funkcje interpolujące najczęściej wykorzystuje się wielomiany algebraiczne, trygonometryczne lub funkcje wymierne.

2)    Interpolacja Lagrange"a

Jedną z najpopularniejszych i najprostszych metod interpolacyjnych jest metoda Lag rangę‘a. Jest to metoda, która zawsze pozwala nam na znalezienie jednoznacznie określonej funkcji interpolującej będącej wielomianem.

Mając dane n+1 węzłów wraz z ich wartościami, szukamy wielomianu W_n(x) stopnia co najwyżej n, który przyjmuje zadane wartości dla zadanych węzłów.

Oznaczając przez w(x) = (x -x₀)(x - x_l)...(ss-x_n)

Wzór interpolacyjny Langrange‘a możemy zapisać jako:

S-0

O - *o)(* - *l) •••(*- %-])(* - *Jfc4.1 )"•(*-    )

(** - *o)(*JŁ - *l) - (% -    - ^.₊l) ■■■ (Jt*. - ^ )

«

fc-0

(x-?;_k)w'(x_k)

Obie zapisane powyżej postacie wzoru Lagrange'a są równoważne, stosujemy je jednak w różnych przypadkach.