3582320460

67. Fonony: fale sprężyste w krysztale w zakresie fal krótkich. Napisz równanie ruchu fal sprężystych w krysztale. Zdefiniuj strefy Briiiouina dla fononów.

Fonony to kwanty energii fali sprężystej. Fale dźwiękowe w kryształach złożone są z fononów. Drgania termiczne w kryształach są to termicznie wzbudzone fonony. Fonony są bozonami i podlegają statystyce Bosego - Einsteina.

Długość fal sprężystych w krysztale w zakresie fal krótkich jest porównywalna ze stałą sieci. Rozważmy fale rozchodzące się w kierunkach, dla których są one spolaryzowane poprzecznie lub podłużnie. Podczas rozchodzenia się fali, cała płaszczyzna zostaje przesunięta prostopadle lub równolegle do wektora falowego k, wówczas przesunięcie z położenia równowagi jest opisane współrzędną u.

Zakładamy, że siła działająca na płaszczyznę s wywołana przez przesunięcie płaszczyzny oznaczonej przez s+p jest proporcjonalna do różnicy ich przesunięć i wówczas całkowitą siłę działającą na płaszczyznę s można zgodnie z prawem Hooka wyrazić:

^Fs=£^Cp(^Us_+p-^Us)

p

gdzie: C_p jest współczynnikiem siły działającej między płaszczyznami przesuniętymi o p

F oraz C_p są przyporządkowane jednemu atomowi w płaszczyźnie.

Równanie ruchu ma więc postać:

^m^t=L^cp(^u~p-^u*)

Rozwiązaniem tego równania jest fala bieżąca: u_sfp=u(0)e^i[(s+p)ak^^wl

gdzie a jest odległością między płaszczyznami, k wektorem falowym Pd podstawieniu (IV-8) do (IV-7) otrzymamy:

-Ma/ =C[(e^0a -1) — (1—e'^)] = 2C[cos(fea) — 1] =—4Csin²[~-ka]

Z równana (IV-9) wynika specyficzna zależność częstości fali (fononu) od wektora falowego, która nosi nazwę dyspersji:

® = ²>/|-|^Sill(2^ka)|

Wykres tej zależności przedstawiony jest na rysunku poniżej. Przedstawiono tu dwie krzywe dyspersji obliczone przy założeniu, że stała sprężystości dla fotonu podłużnego Cj| jest dwa razy większa niż stała sprężystości dla drgań poprzecznych, ^c_i_.

2

-4    -3    -2    -1

3    4