3582445222

4725 = 312-15 + 45 i iii

w = p • q + r 45 < 312 1 1 r < p

Przykład 3. w    p    q

i    i    i

4725:312 = 15 -312 1605 -1560 45 -> r

W(z)    P(z)    Q(z)

t    T    T

( —6z³ + z² +15z —5):(2z² + 3z —2) = -3z+5 6z³+ 9z²— 6z 10z²+ 9z—5 — 10z² — 15z+10

— 6z + 5-+jR(z)

— 6z³ + z² + 15z—5 = (2z² + 3z-2)(-3z + 5)+(-6z + 5)

i    i I    i

W(z)    = P(z) • Q(ź) + R(z)

(st. R(z) = 1 i st. P(z) = 2) => (st. R(z) < st. P(z)).

Stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika. Przykład 3 wyjaśnia treść następujących twierdzeń:

Twierdzenie 20.

a) Dla dowolnych całkowitych liczb w i p, gdzie p # 0, istnieją liczby całkowite q i r takie, że 0 < r < \p\ i w = p • q + r.

b) Dla dowolnych wielomianów W{x) i P(x), gdzie P(x) nie jest wielomianem zerowym i st. W(x) ^ st. P(x), istnieją wielomiany Q(x) i R(x) takie, że W(x) = P(x)-g(x) + P(x) i (st. R(x) < st. P(x) lub R(x) jest wielomianem zerowym).

W ćwiczeniach 1-3 znajdowaliśmy miejsca zerowe, czyli pierwiastki podanych wielomianów.

Określenie 11. Pierwiastkiem wielomianu

W(x) = a₀ + a_lx + a₂x² + ... +a_n-₁xⁿ~¹.+a_nxⁿ

nazywamy jego miejsce zerowe, tzn. każdą taką liczbę rzeczywistą r, że W(r) = 0.

W niektórych zadaniach poszukujemy tylko pierwiastków należących do pewnego podzbioru zbioru R.

Przykład 4.

W{x) = (x — 5) (2x — 3) (x + 4) (x — n)

a)    x₁ = 5; wielomian W{x) ma tylko jeden pierwiastek, który jest liczbą naturalną.

b)    = 5, x₂ = -4; wielomian W{x) ma dwa pierwiastki całkowite;

c)    x₁ = 5, x₂ = — 4, x₃ = ^; wielomian W(x) ma trzy pierwiastki wymierne;

d)    Xi = 5, x₂ = -4, x₃ = ?, x₄ = n; wielomian W[x) ma cztery pierwiastki rzeczywiste.

Przykład 5.

a)    Sprawdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x):

W(x) = x³—x² —5x —3;    W{3) = 3³ —3² —5*3—3 = 0.

b)    Sprawdzamy, że wielomian W[x) jest podzielny przez dwumian x —3. (Wykonajcie dzielenie!)

(x³ — x² — 5x — 3): (x — 3) = x² + 2x +1, x³ —x² —5x —3 = (x—3) (x² + 2x +1).

1 i 1

Wx) =(x-r₁)Q_i{x)

Podobnie możemy sprawdzić, że liczba —2 jest pierwiastkiem wielo

mianu F(i) = 2i⁴+i³-8i²-it6 i, żc ten wielomian jest podzielny

przez dwumian (x+2).

85