3582501294

E. Działań ją.i twj.^

(!) Kjj. [/W    /W ± Km <7W

A * A()    X *X()    X *Xq

(2)    lim [k ■ f(x)] = k • lim f{x) dla k € E

X *X₀    ^ 'A.₀

(3)    M™ [/(*)' 9 W] = 1™ /(*) ' Mm a to

A *XQ    A * AQ    X ’Xq

(4) liDi

/m

Bm f(x)

X Xq

x—*xog[x) lim g[x) x—»XQ

dla

Hm g(x) * O

X—*Xq

g(x) * O

Stoso wan e ozna czcili a: ^s —>    — zbieżny do..., dążący do ...

' lim    - granica

_sn    - zmienna naturalna, n e W

_N x — zmienna rzeczywista, x e E /■(a:) -funkcja f : T>f '—> E Dj - dziedzina funkc ji f k - stała (liczba). k e E

r    i i

(S) lim [f{x)}9^= limf(x) ^v

x—*xo    L x—»xo    J

lim g(x)

—.V₀ ^a

lim

x *XQ

/(*)-

granica funkcji f(x) gdy x dąży do x₀

(7) lun [f(x)-g(x)] = 0 gdy lim /(*) = O A g{x) jest ograniczony x—‘*0    x—*Xq

l o

^lim

x—*xo f[x)

=—= O

+00

1 —

— = -foo dla f(x) $ O w sąsiedztwie x₀

X—>-X

(8) lim f{x) = lim f(x) = || t = x - x₀ A x = t + x₀\\ = lim /(t + x₀)

x-*X0    (jt-jcc)-* O    t—* o

(9) lim./(A;) =

_ 1	Xq • n + 1
	n

= liDi f(xo + -)

n—00 ⁷ V    nj

F. W y b.ra n eg r a ni c ę.. f u n k c j i

Stosowane oznaczenia: x - zmienna rzeczywista, x e E,

lim c = c	A	lim x = a
x—a		x—*a
lim - =	= 0	(a e e)
X-»+oo X I	f°	d^a a 6 (-1; 1)
lim a ^T = i	ll	dla a = 1
x—*00	100	dfa a > 1
I	l0	dla a < -1

n - zmienna naturalna, we N, e - podstawa logarytmów a, b, c, d, k - stałe (liczby ), e E , naturalnych, e~2J\ 82

n

lim \Ja = 1    (a > O)    lim — = oo (a,k > 1)

*—T»    u >oo n^fe

lim \fx = 1 (x > O

X—*00

lim —r = 0

n—*00 tl i

O

dla d > c

j. a_fx^f + a_c_₁x^{c 1} + ... + aiX + ao x-+?oo bdX^d + 7)_d_₁x^d_1 + ... + b_xx + b₀

K

+CO

dla d = c dla d < c

(!+?)'-In-*⁰

lnx

lim -= O

x— 00 X

(*> 0)

lim

x-*qFoo

SU1X

X

(-1.1)'

+0

= o

lim - = +00 (a > 0) x—*0+ %

liDi yfx = 0 (x > 0)

x—O

lim

x—*0+

, V5={®

+ (+00

lim (l+-V = [oo°] = 1

x—*0 v    X )

lim (1 + x )* = [ l“] = e^a Iim^{(1 + X)a}~¹ = łua

x—O

lim

x—o

log_a(x + 1)

1    lnx r brak

= ^rz (^a>°)

lii a

V—*0+ X

t -co

X—O    X

a^x — 1 lim-

x—o x

= Id a (a > 0)

smx

lim-= 1,

.. tgx lim — = 1

x—*0 X    x—*0 X

© Copyright by Iiwa Kędzi orczyk

.. arc smx lim-= 1

x—O    X

- 109 -

arc tgx

lim-— = 1

X—o    x

w w w. matę ni a tyka.s osnowiec.pl