1109145114

(tarcie o podłoże, rozpraszanie fal w gruntach itp.). W modelowaniu liniowym zakłada się zwykle, że mają one potencjał, tzn. odpowiednia siła P„ jest określona związkiem

P„

dą

ł = iq^T • Cq,

(24)

gdzie <f> jest funkcją tłumienia (fukcja dysypacji Rayleigha), C macierzą tłumienia.

Zakładając, że siły zewnętrzne P,,_cf posiadają pseudopotencjał 'I' (praca wirtualna sił zewnętrznych)

^ = Pext • q    (25)

możemy uogólnić zlinearyzowane równania Lagrange’a-Eulera do następującej postaci

d dE_k    dU_ _ d$

dt dą    dą dą dą

Bq + Cq + Kq = P_ext,

(26)

Do konstrukcji tych równań będziemy wielokrotnie powracać w dalszym ciągu tych notatek. Zauważmy jedynie, że macierze bezwładności B, tłumienia C i sztywności K są dla układów liniowych stałe i niezależne od dynamiki i deformacji układu.

1.4 Przykład układu nieliniowego — wahadło

Rozpatrzmy prosty przykład zastosowania zasady zachowania energii do analizy ruchu układu odosobnionego. Przede wszystkim, jest oczywiste, że energia potencjalna U nie może być większa od energii całkowitej w takim układzie. Przedstawiono to schematycznie na Rys. 4 dla przypadku układu, którego konfigurację opisuje jedna zmienna r.

Rys. 4: Energia potencjalna układu odosobnionego o jednym stopniu swobody (schematycznie).

Układ ten może się znajdować jedynie w stanach r z przedziału [rą,^] lub też r > r^. Wyjście układu poza te przedziały jest możliwe tylko wtedy, gdy naruszymy jego izolację. Oznacza to, praktycznie, że ruchy okresowe, jeśli wogóle istnieją, muszą być dla tego układu ograniczone do przedziału [r_l5 r^]. Punkty końcowe takich ruchów, rą i r2, są punktami, w których U = E, energia kinetyczna jest zero, a prędkość jednowymiarowa przechodzi przez zero, tzn. zmienia kierunek.

Rozważmy praktycznie ważne rozwiązanie takiego problemu dla wahadła matematycznego. Oznaczenia są przedstawione na Rys. 5.