1109145209

Ekonomia matematyczna -1.2

6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa.

Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji (X,^), gdzie X = /?" i ^ jest relacją preferencji, która jest:

a)    rosnąca (tzn. x < y A x * y => x < y, dla x,y e X),

b)    ciągła,

c)    ściśle wypukła (tzn. xiy^x <X\ +(1 - A)y, dla x,y e X, x * y, A e (0,1)).

Jeśli na takim polu preferencji określimy funkcję popytu konsumenta (agenta) ę, to z twierdzenia 5.1 wynika, że przyporządkowuje ona każdej parze (p,/), gdzie p »0, / > 0, dokładnie jeden najlepszy koszyk <p(p,/) spełniający ograniczenia budżetowe.

Pośrednia użyteczność

Oprócz funkcji użyteczności, rozważa się tzw. funkcję pośredniej użyteczności v : R'ix R -> R zdefiniowaną wzorem

v(p,/) = max{w(x) : (x,p) < /,x e Rl},

przyporządkowującą cenom p i dochodowi I maksymalną użyteczność koszyka dostępnego przy tych cenach i dochodzie. Odpowiada ona wyborowi optymalnego koszyka czyli popytowi, tzn.

V(p.i) = u(ę( P,/)).

Twierdzenie 6.1

Jeśli funkcja użyteczności u jest ciągła i ściśle rosnąca, to funkcja pośredniej użyteczności v : Rl * R -> R ma następujące własności:

1)    jest ciągła w /?!!_ x R

2)    jest jednorodna stopnia 0, tzn. v(tp,tl) = v(p,/) dla t > 0,(p,7) e R'i x R

3)    jest ściśle rosnąca ze względu na /,

4)    jest malejąca ze względu na p.

5)    jest quasi-wypukła ze względu na (p,/),

6)    jeśli v jest różniczkowalna w (p,/) / -^-(p,/) * 0, to zachodzi tożsamość Roy’a:

dla j = 1,2

,D = -§-(P’V