1109145618

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Jak się przekonamy w rozdziale 4, liczbę A w takiej sytuacji nazywamy wartością własną, a wektor w - wektorem własnym macierzy P, o ile w ^ 0.

Obliczenie wektora w na podstawie układu równań (2.7) napotyka na pewne problemy. Przede wszystkim rozwiązanie zależy od A, które na razie jest nieznane. Ponadto, z kursu algebry i analizy wiemy, że dla tego typu równań zachodzi jeden z dwóch przypadków: albo jedynym rozwiązaniem jest w = 0, albo układ równań (2.7) ma nieskończenie wiele rozwiązań. W pierwszym przypadku, rozwiązanie zerowe nie przybliża nas do celu, którym jest ustalenie wag poszczególnych stron. W drugim, bez dodatkowych informacji, moglibyśmy nie wiedzieć, które z rozwiązań tworzy właściwy ranking stron.

By pokonać te trudności, skorzystamy z elementów teorii wartości własnych, które szerzej omówimy w rozdziale 4. Przede wszystkim, aby otrzymać rozwiązanie niezerowe, musimy założyć, że A istotnie jest wartością własną, a więc spełnia tzw. równanie charakterystyczne:

det(P - A/) = 0,

gdzie / jest macierzą jednostkową odpowiedniego wymiaru. W ten sposób zapewnimy sobie istnienie nieskończenie wielu rozwiązań układu (2.7).

Pewnego rodzaju jednoznaczność rozwiązania zapewnia nam poniższe twierdzenie:

Twierdzenie 2.1. (Szczególny przypadek twierdzenia Frobeniusa-Perrona)

Dla uproszczonej macierzy Google P lub dla uogólnionej macierzy Googla G (którą za chwilę zdefiniujemy):

a)    A = 1 zawsze jest wartością własną.

b)    Z dokładnością do przemnożenia przez dodatni skalar, wektor własny w odpowiadający wartości własnej 1 jest wyznaczony jednoznacznie i ma wszystkie współrzędne tego samego znaku. W konsekwencji, uporządkowanie wag Wi, z których ten wektor się składa, jest zadane jednoznacznie.

Zatem, po pierwsze, w układzie równań (2.7) możemy podstawić A = 1 (wybór A zależy od początkowego wyboru współczynnika proporcjonalności C, więc nie jesteśmy tu w żaden sposób ograniczani), otrzymując układ równań:

(P - I)w = 0.    (2.8)

Po drugie, jako, że rozwiązanie układu (2.8) jest jednoznaczne z dokładnością do przemnożenia przez dodatni skalar, za jedną ze współrzędnych wektora w można podstawić dowolną, dodatnią liczbę i odrzucić jedno równanie z układu, w którym ta współrzędna występuje z niezerowym współczynnikiem. Podstawienie innej liczby prowadzi do innego rozwiązania, ale rozwiązanie to zadaje to samo uporządkowanie wag w_t.

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 28