1109145630

Metody numeryczne - 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych

Etap 1. Podobnie jak w przypadku metody Gaussa bez straty ogólności możemy założyć, że a_n =£ 0. Dzielimy pierwsze równanie przez a_n oraz eliminujemy zmienną x_x z pozostałych równań. Uzyskujemy układ równań:

^xl + ^ai2^X2 + '	■■ + ^a<£^x»	h" ^k. '“ćT n
C$2 ^x2 + •	■+	= <4S+i
°S^X2 + -	+

gdzie:

„w _ “w ^11	a = u,	, ...,n+ 1)
^ail - — Oy (1 “11	= 2,3.....	n; j = 2,3,

Etap k (1 < k < n). Niech teraz ^ =£ 0. Podobnie jak w kroku pierwszym eliminujemy teraz niewiadomą x_k z kolejnych n — 1 równań uzyskanych w poprzednim etapie (k — 1). Otrzymujemy układ równań:

gdzie:

' xx +	^+a2+i**+i +••	+ ^aln^xn	= 45„
	^xk “b "b " (k) ^ak+l,k+l*k+l ^+ "	+ ■2?* , (*) + «fc+i,n*	= 45« -„<*> ~ ^Mfc+1,71+1
	(k) ^an,k+l^xk+l "b '	, (fe) •+ a„„xn	= a^(k) un,n+l
1) ^aik	fl(^k_1) (j — 1 ls _	L fc + 1	n; ; = k + 1,
a^(k-1) ^akk	^akj U--L,
	4? = ^ o = fc ^akfc	...,n + 1)
L krokach uzyskujemy układ równań w postaci:
	C*i+ -+^aiS^1)* 1 x2 + - +	= a^(n-1) ^Ml,n+1 = a^(n-1) ^u2,n+l
	i ^a£r^1>x	= a^(n_1) ^wn,n+l

który przekształcamy podobnie jak w kroku k-tym do układu:

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie 24