5038598785

Geometria algebraiczna

wykład prof. Mariusza Kor asa, spisał Przemysław Ohrysko 20 lutego 2015

1 Geometria afiniczna

Oznaczenia 1. H’ czasie całego wykładu Uterą k bodziemy oznaczać ciało, zaś A-|ti, ..., J*,,) będzie oznaczać pierścień wielomianów n zmiennych o współczynnikach z k.

Definicja 2. Niech /, € A[xi____,x_n], i fc S będzie zbiorem wielomianów.

Wprowadźmy podzbiór V przestrzeni kⁿ

V = {(*,.....*„) € kⁿ : /,(*,.....x_n) = 0 dla i € 5}.

Zbiorem aiinicznym l>ędziemy nazywać każdy podzbiór przestrzeni fc", który jest powyższej postaci. Niech J — (f,)_tcs będzie ideałem generowanym w A-{x,,... ,x„] przez wszystkie wielomiany Wówczas będziemy pisać

V = V(J) = {[x......*»)€*": V /(*!.....*n) = 0}.

ftJ

Z klasycznego twierdzenia Hilhertao bazie otrzymujemy poniższy fakt.

Fhkt 3. Wszystkie ideały w Ajxi......r„] są skończenie generowane.

Wniosek 4. Każdy zbiór afiniczny można opisać przy pomocy skończenie wielu równań.

Definicja 5. Niech -V C kⁿ. Określmy /(A') = {/ A-|xi.....x_u : f\x - 0}.

Jest to oczywiście ideał w A"(xi.....x„).

Wprost z definicji wynika ./ C /(!•'(./)) dla dowolnego ideału ./ Aby sformułować dokładniej relację między tymi dwoma zbiorami wprowadzimy jeszcze jedną definicję.

Definicja 6. Niech J będzie ideałem w pewnym pierścieniu przemiennym R. Określamy radykał ideału J (oznaczenie: \fj)

\fl = {a € R : 3 aⁿ ę J).

nfcN

Możemy już podać słynne twierdzenie.

I