9414913076

Zadania z analizy i algebry.

(wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadanie 1

Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów ei i e₂, gdzie

	1		4'		7'
V =	2	» ^ei =	5	, e2 =	8
	3		6		9

T		1		-T
2	, ei =	1	, e2 =	1
3		-1		1

Odp. i) tak: v = 2ei — e₂, ii) nie.

Zadanie 2

Czy wektory

r 1 + 2*1	r7-*i
^Wl = [ i J*	^W2 [3 + *J

są liniowo zależne? Zbadać sprawę nad ciałem R¹ i nad ciałem C¹. Odp. Pytamy, czy równanie

XiWx + x₂w₂ = 0 ,

ma rozwiązanie dla £* € R¹, gdy nad R¹ oraz Xi € C¹ gdy nad C¹. Rozwiążmy:

:ri(l + 2i) + x₂(7 — i) = 0 , x\i + x₂(3 + *) = 0 ,

Z drugiego X\ = (—1 + 3i)x₂ i to do pierwszego, co da: [(l + 2i)(—l + 3ż) + 7 — i\x₂ — 0. To istotnie jest zero. Rozwiązaniemi są więc dowolne x₂\ X\ = (—1 + 3i)x₂. Widać jednak, że jeśli x₂ £ R¹ to x₂ jest zespolone. Zatem nad R¹ wektory wj i w₂ są liniowo niezależne, a nad C¹ zależne.

Zadanie 3

Zbadać liniową niezależność nad ciałem R^l i nad C¹ wektorów

ei =

1		0'		T'		T
1	, e2 =	1	, e3 =	1	, e4 =	0
0		1		1		1

0

1