ÿþG o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
K e n n y ' s O v e r v i e w o f H o f s t a d t e r ' s E x p l a n a t i o n o f G ö d e l ' s T h e o r e m
C o p y r i g h t ( c ) 1 9 9 6 b y K e n n y F e l d e r
I n t h e n i n e t e e n t h a n d e a r l y t w e n t i e t h c e n t u r i e s , o n e o f t h e b i g m a t h e m a t i c a l g o a l s w a s t o r e d u c e a l l o f n u m b e r t h e o r y t o
a f o r m a l a x i o m a t i c s y s t e m . L i k e E u c l i d ' s G e o m e t r y , s u c h a s y s t e m w o u l d s t a r t o f f w i t h a f e w s i m p l e a x i o m s t h a t a r e
a l m o s t i n d i s p u t a b l e , a n d w o u l d p r o v i d e a m e c h a n i c a l w a y o f d e r i v i n g t h e o r e m s f r o m t h o s e a x i o m s .
I t w a s a v e r y l o f t y g o a l . T h e i d e a w a s t h a t t h i s s y s t e m w o u l d r e p r e s e n t e v e r y s t a t e m e n t y o u c o u l d p o s s i b l y m a k e a b o u t
n a t u r a l n u m b e r s . S o i f y o u m a d e t h e s t a t e m e n t " e v e r y e v e n n u m b e r g r e a t e r t h a n t w o i s t h e s u m o f t w o p r i m e s , " y o u
w o u l d b e a b l e t o p r o v e s t r i c t l y a n d m e c h a n i c a l l y , f r o m t h e a x i o m s , t h a t i t i s e i t h e r t r u e o r f a l s e . F o r r e a l , d i e - h a r d
m a t h e m a t i c i a n s , t h e w o r d s " t r u e " a n d " f a l s e " w o u l d b e c o m e s h o r t h a n d f o r " p r o v a b l e " o r " d i s p r o v a b l e " w i t h i n t h e
s y s t e m . R u s s e l l a n d W h i t e h e a d ' s P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a w a s t h e m o s t f a m o u s a t t e m p t t o f i n d s u c h a s y s t e m , a n d
s e e m e d f o r a w h i l e t o b e t h e p i n n a c l e o f m a t h e m a t i c a l r i g o r .
G ö d e l ' s t h e o r e m d a s h e d t h i s h o p e c o m p l e t e l y . I t d i d n ' t j u s t f i n d a h o l e i n R u s s e l l a n d W h i t e h e a d ' s r e a s o n i n g , w h i c h
w o u l d p r e s u m a b l y h a v e b e e n p a t c h e d : i t s h o w e d t h a t t h e e n t i r e g o a l i s u n a c h i e v a b l e . M o r e s p e c i f i c a l l y , G ö d e l s h o w e d
t h a t f o r a n y f o r m a l a x i o m a t i c s y s t e m , t h e r e i s a l w a y s a s t a t e m e n t a b o u t n a t u r a l n u m b e r s w h i c h i s t r u e , b u t w h i c h
c a n n o t b e p r o v e n i n t h e s y s t e m . I n o t h e r w o r d s , m a t h e m a t i c s w i l l a l w a y s h a v e a l i t t l e f u z z i n e s s a r o u n d t h e e d g e s : i t
w i l l n e v e r b e t h e r i g o r o u s u n s h a k a b l e s y s t e m t h a t m a t h e m a t i c i a n s d r e a m e d o f f o r m i l l e n n i a .
I n G ö d e l , E s c h e r , B a c h , D o u g l a s H o f s t a d t e r p r e s e n t s h i s o w n v e r s i o n o f G ö d e l ' s p r o o f . T h i s p a p e r i s m y s u m m a r y o f
H o f s t a d t e r ' s v e r s i o n o f G ö d e l ' s t h e o r e m .
A R o a d M a p o f W h e r e W e ' r e A b o u t t o G o
B e f o r e I j u m p i n t o t h e p r o o f , I w a n t t o g i v e a n o u t l i n e o f w h e r e w e ' r e h e a d e d , a n d w h y .
A c o m m o n t r i c k i n m a t h e m a t i c s i s t o p r o v e s o m e t h i n g b y a s s u m i n g t h e o p p o s i t e , a n d t h e n f i n d i n g a c o n t r a d i c t i o n . F o r
i n s t a n c e , s u p p o s e I w a n t t o p r o v e t h a t t h e r e i s a n i n f i n i t e n u m b e r o f p r i m e n u m b e r s . S o I a s s e r t t h e o p p o s i t e : t h e r e i s a
f i n i t e n u m b e r o f p r i m e s , a n d n i s t h e b i g g e s t o n e . T h e n I s t a r t r e a s o n i n g l o g i c a l l y f r o m t h a t p r e m i s e . A t t h e e n d o f m y
t r a i n o f l o g i c , I f i n d a p a r a d o x : I p r o v e t h a t 1 = 2 , o r f i n d a p r i m e n u m b e r b i g g e r t h a n n , o r s o m e s u c h . T h i s m e a n s m y
o r i g i n a l a s s e r t i o n m u s t b e f a l s e , s o t h e r e i s a n i n f i n i t e n u m b e r o f p r i m e s .
T h i s i s t h e f o r m o f p r o o f w e ' r e g o i n g t o f o l l o w . I ' m g o i n g t o s t a r t b y e x p l a i n i n g a s y s t e m c a l l e d T y p o g r a p h i c a l N u m b e r
T h e o r y , o r T N T , w h i c h i s o n e a t t e m p t t o r e p r e s e n t a l l o f m a t h i n a n a x i o m a t i c w a y . I ' m g o i n g t o a s s u m e t h a t T N T
w o r k s t h a t i s , a s s u m e t h a t i t r e a l l y d o e s e n c a p s u l a t e a l l o f m a t h e m a t i c s p e r f e c t l y . ( Y o u w i l l s e e m e m a k i n g r e f e r e n c e
t o t h i s a s s u m p t i o n o n a n u m b e r o f o c c a s i o n s . ) A n d e v e n t u a l l y , I ' m g o i n g t o b e l e d t o a c o n t r a d i c t i o n .
T h e w h o l e k e y t o t h e p r o o f i s t h a t i t d o e s n ' t h a v e a n y t h i n g t o d o w i t h T N T p e r s e . I t s i m p l y a s s u m e s t h a t T N T i s
p e r f e c t , a n d p r o c e e d s f r o m t h e r e t o a p a r a d o x . I n d o i n g s o , i t c r u s h e s a n y s y s t e m w h i c h m a k e s s i m i l a r c l a i m s o f
p e r f e c t i o n .
T y p o g r a p h i c a l N u m b e r T h e o r y ( T N T )
R a t h e r t h a n u s i n g R u s s e l l a n d W h i t e h e a d ' s P r i n c i p i a M a t h e m a t i c a a s h i s a x i o m a t i c s t r a w m a n , H o f s t a d t e r i n v e n t s h i s
o w n , c a l l e d " T y p o g r a p h i c a l N u m b e r T h e o r y " o r T N T f o r s h o r t .
T N T e x p r e s s e s e v e r y t h i n g i n t e r m s o f a f e w s i m p l e s y m b o l s . T h e r e a r e s t a n d a r d m a t h e m a t i c a l s y m b o l s s u c h a s
+ ( p l u s ) , * ( t i m e s ) , a n d = ( e q u a l s ) . T h e r e a r e v a r i a b l e s , r e p r e s e n t e d b y t h e l e t t e r a f o l l o w e d b y p r i m e s : a , a ' , a ' ' , e t c .
T h e r e a r e s t a n d a r d l o g i c a l s y m b o l s s u c h a s ~ ( n o t ) , V ( o r ) , E ( t h e r e e x i s t s ) a n d A ( f o r a l l ) . F i n a l l y , t h e r e a r e n u m b e r s ,
w h i c h a r e r e p r e s e n t e d b y t h e t w o s y m b o l s 0 ( m e a n i n g z e r o ) a n d S ( m e a n i n g " t h e s u c c e s s o r o f " ) ; s o w e c o u n t 0 , S 0 ,
S S 0 , S S S 0 , a n d s o o n . N o t e t h a t w e c a n n o t e x p r e s s n e g a t i v e n u m b e r s o r f r a c t i o n s , b u t t h a t ' s o k a y , b e c a u s e w e o n l y
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
c a r e a b o u t n a t u r a l n u m b e r s . ( T h e " n a t u r a l n u m b e r s " a r e a l l t h e i n t e g e r s a b o v e z e r o : T N T o n l y a t t e m p t s t o a d d r e s s
t h e m . )
I n T N T , w h a t w e w o u l d n o r m a l l y c a l l " s t a t e m e n t s " a r e w r i t t e n a s " s t r i n g s " ; t h a t i s , s i m p l e c o m b i n a t i o n s o f o u r a l l o w e d
s y m b o l s . F o r i n s t a n c e ,
~ E a : a * a = S S 0
i s a T N T s t r i n g . I t t r a n s l a t e s a s " t h e r e d o e s n o t e x i s t a n y n u m b e r a , s u c h t h a t a t i m e s a i s t w o " ; o r , m o r e c o n c i s e l y ,
" t h e r e i s n o s q u a r e r o o t o f t w o . " S i n c e w e a r e l i m i t i n g o u r s c o p e t o n a t u r a l n u m b e r s , t h i s h a p p e n s t o b e a t r u e
s t a t e m e n t . I f w e r e p l a c e t h e S S 0 w i t h S S S S 0 , w e s t i l l h a v e a p e r f e c t l y f i n e T N T s t r i n g , a l t h o u g h i t n o w h a p p e n s t o
s t a n d f o r a f a l s e s t a t e m e n t .
S o m u c h f o r t h e l a n g u a g e . N o w , a s a f o r m a l s y s t e m , i t n e e d s t w o t h i n g s : a x i o m s , a n d w a y s o f d e r i v i n g t h e o r e m s f r o m
a x i o m s . A n a x i o m i n T N T i s s i m p l y a s t r i n g ; s i n c e t h e r e a r e o n l y f i v e , I w i l l r e p r o d u c e t h e m a l l h e r e .
A x i o m 1 : A a : ~ S a = 0
A x i o m 2 : A a : ( a + 0 ) = a
A x i o m 3 : A a : A a ' : ( a + S a ' ) = S ( a + a ' )
A x i o m 4 : A a : ( a * 0 ) = 0
A x i o m 5 : A a : A a ' : ( a * S a ' ) = ( ( a * a ' ) + a )
A l l T N T d e r i v a t i o n s m u s t s t a r t w i t h t h o s e f i v e s t r i n g s , a n d o n l y t h o s e f i v e s t r i n g s ! I f y o u w a n t t o t e s t y o u r
u n d e r s t a n d i n g o f T N T , y o u c a n a t t e m p t t o f i g u r e o u t w h a t m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t s t h e s e f i v e s t r i n g s r e p r e s e n t : c l i c k
h e r e t o v e r i f y y o u r a n s w e r s .
T h e p r o o f m e t h o d s a r e r u l e s t h a t a l l o w y o u t o t r a n s f o r m o n e s t r i n g i n t o a n o t h e r . H o f s t a d t e r g i v e s j u s t o v e r a d o z e n
r u l e s , s u c h a s t h e f o l l o w i n g .
R u l e : T h e s t r i n g ~ ~ c a n b e d e l e t e d w h e r e v e r i t a p p e a r s i n a n y s t r i n g .
R u l e : F o r a n y v a r i a b l e u , t h e s t r i n g s A u : ~ a n d ~ E u : a r e i n t e r c h a n g e a b l e a n y w h e r e i n s i d e a s t r i n g .
T h e w a y y o u u s e T N T i s v e r y w e l l d e f i n e d . Y o u s t a r t o f f w i t h t h e a x i o m s t r i n g s . Y o u t h e n c r e a t e n e w s t r i n g s , b y
a p p l y i n g t h e a l l o w e d s t r i n g m a n i p u l a t i o n r u l e s . A n y s t r i n g w h i c h y o u p r o d u c e i n t h i s m a n n e r i s c a l l e d a t h e o r e m o f
T N T . S o a s a m p l e d e r i v a t i o n m i g h t l o o k l i k e :
A a : ~ S a = 0 ( A x i o m 1 )
~ E a : S a = 0 ( B y t h e s e c o n d r u l e I p r i n t e d a b o v e )
T h i s i s a v a l i d d e r i v a t i o n o f t h e s t r i n g ~ E a : S a = 0 . O f c o u r s e , i t i s n ' t t h e m o s t t r i c k y o r i n t e r e s t i n g t h i n g i n t h e w o r l d .
B u t I c o u l d p r e s u m a b l y f i n d a n o t h e r r u l e t o a p p l y t o t h a t s e c o n d s t r i n g , a n d y e t a n o t h e r r u l e t o a p p l y t o t h e r e s u l t i n g
s t r i n g , d e r i v i n g s t r i n g s w h i c h a r e f u r t h e r a n d f u r t h e r f r o m a x i o m 1 . I n f a c t , H o f s t a d t e r s h o w s s o m e r e l a t i v e l y l o n g
d e r i v a t i o n s t h a t p r o d u c e s t r i n g s s u c h a s :
T h e o r e m : S 0 + S 0 = S S 0
T h e o r e m : A a : A a ' : ( a + a ' ) = ( a ' + a )
I t i s i m p o r t a n t t o u n d e r s t a n d t h a t T N T , i n a n d o f i t s e l f , i s n o t " a b o u t " n u m b e r s : i t i s s i m p l y a g a m e i n v o l v i n g s y m b o l
s t r i n g s . Y o u c o u l d p r o g r a m i n t o a c o m p u t e r t h e s e t o f a x i o m s t r i n g s , a n d t h e s e t o f s t r i n g m a n i p u l a t i o n r u l e s , a n d i t
c o u l d g e n e r a t e n e w t h e o r e m s t r i n g s a l l d a y .
H o w e v e r , a t a h i g h e r l e v e l , w e d o i n t e r p r e t t h e s y m b o l s . W e r e c o g n i z e a x i o m 1 a s " t h e r e a r e n o n e g a t i v e n u m b e r s , "
a n d t h e f i r s t t h e o r e m a b o v e a s " 1 + 1 = 2 . " S o i n t h a t a l l - i m p o r t a n t s e n s e , T N T i s a b o u t n u m b e r s . E a c h a x i o m s t r i n g , a n d
e a c h r u l e , m a k e s a s t a t e m e n t w h i c h m o s t p e o p l e w o u l d a g r e e i s o b v i o u s l y t r u e . S o w h e n e v e r w e d e r i v e a t h e o r e m , w e
a r e i n c l i n e d t o b e l i e v e t h a t t h e s t a t e m e n t i t m a k e s a b o u t n u m b e r s i s a l s o t r u e . I n t h a t s e n s e , w e c a n l e g i t i m a t e l y s a y t h a t
d e r i v i n g t h e s t r i n g S 0 + S 0 = S S 0 " p r o v e s " t h a t 1 + 1 i s 2 .
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
T h e A w e s o m e P o w e r o f T N T
T N T h a s a v e r y s m a l l s e t o f m a t h e m a t i c a l a n d l o g i c a l s y m b o l s . I t h a s a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n : b u t i t h a s n o
e x p o n e n t s , n o r o o t s , n o t e v e n s u b t r a c t i o n o r d i v i s i o n ! N o n e t h e l e s s , a " T N T p r o p o n e n t " w o u l d c l a i m t h a t y o u c a n
t r a n s l a t e a n y n u m e r i c a l s t a t e m e n t i n t o a T N T s t r i n g . T h e r e a s o n i s t h a t a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l c o n s t r u c t s a r e a l w a y s
b u i l t o u t o f t h e b a s i c o p e r a t i o n s o f a d d i t i o n a n d m u l t i p l i c a t i o n .
F o r i n s t a n c e , t h e r e i s n o T N T s y m b o l f o r " p e r f e c t s q u a r e " o r " p r i m e n u m b e r . " H o w e v e r , w e c a n t r a n s l a t e t h e
s t a t e m e n t s " 4 i s a p e r f e c t s q u a r e " a n d " 5 i s a p r i m e n u m b e r " i n t o T N T , a s f o l l o w s .
E a : ( a * a ) = S S S S 0
~ E a : E a ' : ( S S a * S S a ' ) = S S S S S 0
T h e f i r s t s t a t e m e n t s a y s , l i t e r a l l y , t h a t t h e r e i s s o m e n u m b e r t h a t m u l t i p l i e s b y i t s e l f t o c r e a t e f o u r . ( I t d o e s n o t s p e c i f y
t h a t t h e n u m b e r i s 2 ; j u s t t h a t s o m e n u m b e r e x i s t s w i t h t h i s p r o p e r t y . ) T h e s e c o n d s a y s t h a t t h e r e a r e n o t w o n u m b e r s ,
s u c h t h a t i f y o u a d d t w o t o e a c h o f t h e m a n d t h e n m u l t i p l y t h e m , y o u g e t f i v e . ( R e c a l l t h a t S m e a n s " t h e s u c c e s s o r o f , "
s o S S a m e a n s " t h e s u c c e s s o r o f t h e s u c c e s s o r o f a , " o r a + 2 . ) S i n c e t h e s m a l l e s t n u m b e r i s 0 , t h i s i s e q u i v a l e n t t o
s a y i n g " t h e r e a r e n o t w o n u m b e r s g r e a t e r t h a n 1 , w h i c h c a n b e m u l t i p l i e d t o g i v e t h e a n s w e r 5 . "
N o w , t h o s e a r e r e l a t i v e l y e a s y : i t c a n g e t a l o t t r i c k i e r . I f y o u t h i n k a b o u t i t f o r a w h i l e , y o u m a y b e a b l e t o w r i t e " 8 i s
a p o w e r o f 2 " i n T N T , e v e n t h o u g h T N T h a s n o e x p o n e n t s . I f y o u t h i n k a b o u t i t f o r a r e a l l y l o n g w h i l e , a n d k n o w a l o t
m o r e a b o u t n u m b e r t h e o r y t h a n I d o , y o u m a y b e a b l e t o w r i t e " 1 0 0 i s a p o w e r o f 1 0 " i n T N T . B u t w h e t h e r o r n o t y o u
c a n p e r s o n a l l y t r a n s l a t e t h o s e s t a t e m e n t s , y o u c a n s e e t h a t i t m i g h t b e p o s s i b l e . I n f a c t , f o r t h e p u r p o s e s o f t h i s p a p e r ,
w e a r e g o i n g t o b e c o m e " T N T p r o p o n e n t s " o u r s e l v e s , a n d a s s u m e w i t h o u t a n y p r o o f t h a t t h e f o l l o w i n g t w o s t a t e m e n t s
a r e t r u e .
1 . A n y s t a t e m e n t y o u c a n m a k e a b o u t n a t u r a l n u m b e r s n o m a t t e r h o w c o m p l e x , n o m a t t e r h o w l o n g , n o m a t t e r h o w
b i z a r r e c a n b e w r i t t e n i n a T N T s t r i n g .
2 . I f s u c h a s t a t e m e n t i s t r u e , i t s T N T s t r i n g c a n b e d e r i v e d a s a t h e o r e m f r o m t h e a x i o m s . I f t h e s t a t e m e n t i s f a l s e , w e
c a n d e r i v e i t s c o n v e r s e f r o m t h e a x i o m s . ( M e a n i n g , t h e s a m e s t r i n g w i t h a ~ s y m b o l i n f r o n t o f i t . )
H o f s t a d t e r c a l l s t h e s e t w o c l a i m s " T N T e x p r e s s e s n u m b e r t h e o r y " a n d " T N T r e p r e s e n t s n u m b e r t h e o r y , " r e s p e c t i v e l y .
A s s u m i n g t h e s e t w o s t a t e m e n t s a r e t r u e , i s e q u i v a l e n t t o a s s u m i n g t h a t T N T s u c c e e d s i n i t s l o f t y g o a l o f s y m b o l i c a l l y
r e p r e s e n t i n g a l l o f n u m b e r t h e o r y i n a c o h e s i v e s y s t e m . A n d b a s e d o n t h i s a s s u m p t i o n , w e a r e g o i n g t o l e a d o u r s e l v e s
t o a n i n e v i t a b l e c o n t r a d i c t i o n , a n d t h u s p r o v e w e w e r e w r o n g t o a s s u m e t h a t a n y s y s t e m c o u l d m a k e t h e s e c l a i m s .
G ö d e l ' s T h e o r e m : T h e V e r y E n d o f t h e P r o o f
A t t h i s p o i n t , I ' m g o i n g t o j u m p a l l t h e w a y t o t h e e n d o f G ö d e l ' s p r o o f , a n d f i l l i n t h e m i d d l e l a t e r . ( T h o u g h t a l l m a t h
w a s l i n e a r , d i d n ' t y o u ? ) T h e c r i t i c a l s t e p i s t o t a k e t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t , w h i c h H o f s t a d t e r c a l l s " s e n t e n c e G , " a n d
t r a n s l a t e i t i n t o a T N T - s t r i n g .
S e n t e n c e G : T h i s s t a t e m e n t i s n o t a t h e o r e m o f T N T .
N o w , a s k y o u r s e l f t h i s q u e s t i o n : i s s e n t e n c e G t r u e o r f a l s e ?
I f s e n t e n c e G i s f a l s e , t h e n i t i s a t h e o r e m o f T N T . T h e n w e h a v e a v a l i d t h e o r e m w h i c h i s f a l s e , a n d t h e w h o l e s y s t e m
f a l l s a p a r t .
S o i t m u s t b e t r u e . B u t i f i t i s t r u e , t h e n i t i s n o t a t h e o r e m o f T N T . W h i c h m e a n s t h a t s e n t e n c e G i s t r u e , b u t i t i s n o t
p r o v a b l e w i t h i n T N T . T h a t i s G ö d e l ' s " i n c o m p l e t e n e s s . " H e s h o w e d t h a t T N T , a l t h o u g h i t m a y b e p e r f e c t l y c o n s i s t e n t
a n d a l w a y s c o r r e c t , c a n n o t p o s s i b l y p r o v e e v e r y t r u e s t a t e m e n t a b o u t n u m b e r t h e o r y ; t h e r e i s a l w a y s s o m e t h i n g w h i c h
i s t r u e , w h i c h t h e s y s t e m c a n n o t p r o v e . S o w e ' r e d o n e !
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
E x c e p t t h a t , a s y o u m a y h a v e n o t i c e d , t h i s i s t o t a l l y l u d i c r o u s . A f t e r a l l , T N T m a k e s s t a t e m e n t s a b o u t n u m b e r s , a n d
s e n t e n c e G i s a s t a t e m e n t a b o u t a s t a t e m e n t ( i t s e l f ) . S o w h i l e w r i t i n g a T N T - s t r i n g f o r " 1 0 0 i s a p o w e r o f 1 0 " m i g h t b e
v e r y d i f f i c u l t , i t s e e m s r e a s o n a b l e t o g r a n t t h a t i t ' s p o s s i b l e ; b u t t r a n s l a t i n g s e n t e n c e G i n t o T N T s e e m s a b o u t a s l i k e l y
a s y o d e l i n g i n s i g n l a n g u a g e .
T a k e a m o m e n t t o m a k e s u r e t h a t y o u b u y b o t h o f t h e f o l l o w i n g f a c t s . F i r s t , i f w e c o u l d t r a n s l a t e s e n t e n c e G i n t o T N T ,
w e w o u l d h a v e d e f e a t e d T N T . S e c o n d , t h e r e i s n o w a y t o t r a n s l a t e s e n t e n c e G i n t o T N T a s w e h a v e f o r m u l a t e d i t .
O n c e b o t h o f t h o s e s e e m o b v i o u s , y o u w i l l b e r e a d y f o r w h a t i s p r o b a b l y t h e m o s t b r i l l i a n t p a r t o f G ö d e l ' s p r o o f , w h i c h
i s t h a t h e f o u n d a w a y t o t a l k a b o u t s t a t e m e n t s i n a l a n g u a g e t h a t w a s o n l y m e a n t t o d i s c u s s n u m b e r s . A n d w h a t
e n a b l e d h i m t o d o t h i s w a s n o t h i n g m o r e p r o f o u n d t h a n a s l i g h t c h a n g e i n n o t a t i o n .
A S l i g h t C h a n g e i n N o t a t i o n
T h e c h a n g e w e ' r e g o i n g t o m a k e t o T N T i s t h e s i m p l e s t c h a n g e p o s s i b l e , i n a l o t o f w a y s . W e a r e n ' t g o i n g t o c h a n g e
t h e a x i o m s . W e a r e n ' t g o i n g t o c h a n g e t h e r u l e s . W e ' r e j u s t g o i n g t o c h a n g e t h e s y m b o l s .
S p e c i f i c a l l y , w e ' r e g o i n g t o r e p l a c e e a c h s y m b o l w i t h a t h r e e - d i g i t n u m b e r . S o i n s t e a d o f 0 , w e w i l l w r i t e 6 6 6 ; i n s t e a d
o f S , 1 2 3 ; i n s t e a d o f = , 1 1 1 ; a n d s o o n . T h e n u m b e r s a r e c h o s e n c o m p l e t e l y a r b i t r a r i l y , f o l l o w i n g o n l y t w o r u l e s : e v e r y
n u m b e r h a s t h r e e d i g i t s , a n d n o t w o n u m b e r s a r e t h e s a m e . S o T N T n o w s t a r t s t o l o o k m u c h u g l i e r . F o r i n s t a n c e , h e r e
a r e a f e w o f t h e s t a t e m e n t s I g a v e i n T N T e a r l i e r , t r a n s l a t e d i n t o t h e G ö d e l i z e d v e r s i o n .
T N T s t a t e m e n t : ~ E a : a * a = S S 0
G ö d e l i z e d : 2 2 3 3 3 3 2 6 2 6 3 6 2 6 2 2 3 6 2 6 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 6 6 6
T N T r u l e : T h e s t r i n g ~ ~ c a n b e d e l e t e d w h e r e v e r i t a p p e a r s i n a n y s t r i n g .
G ö d e l i z e d : T h e s t r i n g 2 2 3 2 2 3 c a n b e d e l e t e d w h e r e v e r i t a p p e a r s i n a n y s t r i n g .
Y o u m a y o r m a y n o t s e e w h y I ' m b o t h e r i n g t o c h a n g e t h e n o t a t i o n i n t h i s w a y , b u t c o n c e n t r a t e f o r t h e m o m e n t o n
c o n v i n c i n g y o u r s e l f o f t h e f o l l o w i n g f a c t : n o t h i n g h a s c h a n g e d . I f T N T w a s v a l i d , t h e G ö d e l i z e d v e r s i o n i s e x a c t l y a s
v a l i d . T h e t w o s y s t e m s a r e c o m p l e t e l y i n t e r c h a n g e a b l e .
I f y o u ' v e t a k e n t h a t s m a l l l e a p w i t h m e , I w i l l n o w a s k y o u t o m a k e o n e t h a t i s o n l y s l i g h t l y l a r g e r . N o t e t h a t i n o u r
n e w n o t a t i o n , e v e r y s t r i n g i s a n u m b e r . B e c a u s e o f t h i s , w e c a n c h a n g e t h e f o r m o f o u r r u l e s , f r o m t y p o g r a p h i c a l
m a n i p u l a t i o n s t o m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s . I ' l l g i v e y o u a n e x a m p l e , u s i n g a r u l e w h i c h i s n o t a c t u a l l y a r e a l r u l e , j u s t t o
k e e p t h i n g s s i m p l e .
F a k e r u l e : W h e n e v e r a s t r i n g e n d s i n t h e s y m b o l " 0 0 0 " , y o u c a n r e p l a c e t h a t s y m b o l w i t h " 0 0 5 " .
T h e s a m e f a k e r u l e , w r i t t e n d i f f e r e n t l y : W h e n e v e r a n u m b e r i s a m u l t i p l e o f 1 0 0 0 , y o u c a n a d d 5 t o i t .
I c h o s e t h i s " f a k e r u l e " b e c a u s e i t t r a n s l a t e s v e r y s i m p l y . T h e r u l e a b o u t r e m o v i n g 2 2 3 2 2 3 f r o m a s t r i n g w o u l d b e
t r i c k i e r t o w r i t e a s a f u n c t i o n , b u t i t c o u l d c e r t a i n l y b e d o n e . A n d s o , i n t h i s m a n n e r , w e a r e g o i n g t o c h a n g e a l l o u r
r u l e s f r o m t y p o g r a p h i c a l , t o m a t h e m a t i c a l , m a n i p u l a t i o n s o f n u m b e r - s t r i n g s .
O n c e a g a i n , I u r g e y o u t o t a k e a m o m e n t t o c o n v i n c e y o u r s e l f t h a t w e h a v e n ' t c h a n g e d a n y t h i n g : o u r o r i g i n a l T N T
s t r i n g - m a n i p u l a t i o n r u l e s h a v e b e e n t u r n e d i n t o m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n s , b u t o u r n e w s y s t e m i s s t i l l e x a c t l y t h e s a m e a s
t h e o l d , j u s t w r i t t e n d i f f e r e n t l y .
B e c a u s e , a l t h o u g h n o t h i n g f u n d a m e n t a l h a s c h a n g e d , s o m e t h i n g v e r y i n t e r e s t i n g h a s h a p p e n e d . O u r o r i g i n a l T N T
s t r i n g s w e r e i n t e r p r e t e d a s b e i n g " s t r i n g s a b o u t n u m b e r s . " T h a t w a s a v e r y f a m i l i a r i d e a : a f t e r a l l , w e a l l l e a r n e d i n
f i r s t g r a d e t o t r e a t " 1 + 1 = 2 " a s a s t r i n g a b o u t n u m b e r s ! B u t i n t h e G ö d e l i z e d v e r s i o n , w e h a v e s o m e t h i n g s l i g h t l y
d i f f e r e n t : n u m b e r s a b o u t n u m b e r s . I n t h i s s y s t e m , t h e n u m b e r 1 2 3 6 6 6 1 1 2 6 6 6 1 1 1 1 2 3 6 6 6 m e a n s " 1 + 0 = 1 " ; a n d t h e
n u m b e r 1 2 3 6 6 6 1 1 1 6 6 6 m e a n s " 1 = 0 " .
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
N o w , y o u m a y r e c a l l t h a t G ö d e l ' s p r o o f r e q u i r e d u s t o w r i t e a T N T s t r i n g a b o u t a T N T s t r i n g ; a n d w e s a i d t h a t w a s
i m p o s s i b l e , b e c a u s e T N T s t r i n g s a r e o n l y a b o u t n u m b e r s . A l t h o u g h w e ' v e s t i l l g o t a w a y t o g o , y o u m i g h t s u s p e c t t h a t
t h e G ö d e l n o t a t i o n i s a s t e p i n t h e r i g h t d i r e c t i o n , s i n c e i t b l u r s t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n n u m b e r s a n d s t a t e m e n t s . A n d
b e c a u s e t h i s i s t h e s t e p w h e r e t h i n g s b l u r , i t i s t h e m o s t i m p o r t a n t t i m e f o r y o u t o k e e p y o u r u n d e r s t a n d i n g a s c l e a r a n d
u n b l u r r e d a s p o s s i b l e , a n d t o m a k e s u r e t h a t t h e i d e a o f G ö d e l i z e d T N T i s a s s t r a i g h t f o r w a r d a n d i n c o n t r o v e r t i b l e a s
y o u c a n m a k e i t .
A C l o s e r L o o k a t G ö d e l i z e d T N T
O n e g o o d c l a r i f i c a t i o n t e c h n i q u e i s t o n o t e t h a t w e h a v e t h r e e d i f f e r e n t w a y s n o w o f t a l k i n g a b o u t e x a c t l y t h e s a m e
i n f o r m a t i o n : n u m b e r t h e o r y , T N T , a n d G ö d e l - n u m b e r e d T N T . A l l t h r e e s y s t e m s h a v e a x i o m s , a n d r u l e s o f p r o d u c t i o n
f o r t u r n i n g t h o s e a x i o m s i n t o t h e o r e m s ; b u t t h e s e e l e m e n t s l o o k v e r y d i f f e r e n t i n t h e d i f f e r e n t s y s t e m s . I ' v e t r i e d t o
s u m m a r i z e t h e e n t i r e t h i n g i n t h e f o l l o w i n g c h a r t .
M a t h e m a t i c a l L o g i c T N T G ö d e l - n u m b e r e d T N T
A n a x i o m i s a n " o b v i o u s " s t a t e m e n t
A n a x i o m i s a s t a t e m e n t s t r i n g A n a x i o m i s a n u m b e r
a b o u t n a t u r a l n u m b e r s .
A r u l e o f p r o d u c t i o n i s a l o g i c a l w a y t o A r u l e o f p r o d u c t i o n i s a n a l l o w e d A r u l e o f p r o d u c t i o n i s a n a l l o w e d
w o r k w i t h a x i o m s . s t r i n g - m a n i p u l a t i o n m e c h a n i s m . m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n .
T h e t h e o r e m s y o u p r o d u c e a r e n e w T h e t h e o r e m s y o u p r o d u c e a r e n e w T h e t h e o r e m s y o u p r o d u c e a r e
s t a t e m e n t s a b o u t n a t u r a l n u m b e r s . s t r i n g s . n e w n u m b e r s .
N o w , I m a d e t h e p o i n t a b o v e t h a t i n t h e G ö d e l i z e d v e r s i o n o f T N T , w e a c t u a l l y h a v e n u m b e r s t h a t a r e a b o u t n u m b e r s .
O f c o u r s e , a l l s u c h n u m b e r s a r e n o t " t r u e . " I g a v e t h e e x a m p l e s e a r l i e r o f 1 2 3 6 6 6 1 1 2 6 6 6 1 1 1 1 2 3 6 6 6 , w h i c h m e a n s
" 1 + 0 = 1 " , a n d 1 2 3 6 6 6 1 1 1 6 6 6 , w h i c h m e a n s " 1 = 0 " . W e r e c o g n i z e i m m e d i a t e l y , o n t h e m a t h e m a t i c a l l e v e l , t h a t t h e f i r s t
s t a t e m e n t i s t r u e a n d t h e s e c o n d i s n o t . I n G ö d e l i z e d T N T , w e w o u l d s a y t h e s a m e t h i n g b y s a y i n g t h a t t h e f i r s t n u m b e r
i s a v a l i d t h e o r e m , a n d t h e s e c o n d i s n o t .
T h i s m e a n s w e h a v e d e f i n e d a n e w p r o p e r t y o f n a t u r a l n u m b e r s . I t i s a p r o p e r t y w h i c h w e c a n c a l l " t h e o r e m h o o d , " a n d
e v e r y n u m b e r e i t h e r h a s i t , o r d o e s n ' t . T h e p r o p e r t y c a n b e d e f i n e d a s f o l l o w s .
D e f i n i t i o n : A n u m b e r h a s t h e o r e m h o o d i f i t c o r r e s p o n d s t o a v a l i d t h e o r e m o f T N T o r , i n o t h e r w o r d s , t o a t r u e
s t a t e m e n t a b o u t n u m b e r s .
H o w e v e r , I p r e f e r t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n .
A l t e r n a t i v e d e f i n i t i o n : A n u m b e r h a s t h e o r e m h o o d i f i t i s p o s s i b l e t o c r e a t e t h a t n u m b e r f r o m o u r s m a l l s e t o f a x i o m -
n u m b e r s , b y t h e a p p l i c a t i o n o f o u r s m a l l s e t o f f u n c t i o n - r u l e s .
T h e f i r s t d e f i n i t i o n g o e s u p t o t h e l e v e l s o f T N T a n d m a t h e m a t i c a l l o g i c . I p r e f e r t h e s e c o n d b e c a u s e i t i s a c o m p l e t e l y
m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t , w h i c h d o e s n o t h a v e t o r e f e r t o " T N T " o r " s t a t e m e n t s " a t a l l . I n o t h e r w o r d s , s a y i n g " t h i s
n u m b e r h a s t h e o r e m h o o d " i s k i n d o f l i k e s a y i n g " t h i s n u m b e r i s a p e r f e c t s q u a r e " o r " t h i s n u m b e r i s p r i m e " t h a t w e
d i s c u s s e d e a r l i e r : i t ' s a c o m p l i c a t e d m a t h e m a t i c a l c o n s t r u c t , w h i c h c a n b e b u i l t o u t o f s i m p l e r o p e r a t i o n s . T h i s f a c t i s
g o i n g t o a l l o w m e t o p u l l t h e m o s t i m p o r t a n t s l e i g h t o f h a n d i n t h i s e n t i r e p a p e r , s o w a t c h m e c l o s e l y d u r i n g t h e n e x t
c o u p l e o f p a r a g r a p h s .
I ' m g o i n g t o s t a r t o f f w i t h a t r u e f a c t , a n d w r i t e i t t h r e e d i f f e r e n t w a y s : i n t e r m s o f m a t h , i n t e r m s o f T N T , a n d i n t e r m s
o f G ö d e l i z e d T N T .
1 . " Z e r o e q u a l s z e r o " i s t r u e .
2 . T h e s t r i n g 0 = 0 i s a v a l i d T N T t h e o r e m ( i e c a n b e d e r i v e d f r o m a x i o m s ) .
3 . T h e n u m b e r 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e t h e o r e m h o o d p r o p e r t y .
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
R e m e m b e r , w e ' r e a s s u m i n g t h a t T N T r e p r e s e n t s e v e r y p o s s i b l e m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t : s o i f s e n t e n c e 1 i s t r u e ,
s e n t e n c e 2 m u s t a l s o b e t r u e ! S e n t e n c e 3 , o f c o u r s e , s a y s e x a c t l y t h e s a m e t h i n g a s s e n t e n c e 2 , s i n c e G ö d e l i z e d T N T i s
j u s t s t r i n g T N T w i t h a d i f f e r e n t n o t a t i o n .
N o w , I w a n t t o f o c u s o n s e n t e n c e 3 . I m e n t i o n e d e a r l i e r t h a t " t h e o r e m h o o d " i s j u s t a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t , l i k e
" p r i m e n e s s " o r " s q u a r e n e s s . " I n f a c t , w e c o u l d r e w r i t e t h i s s e n t e n c e a s " I t i s p o s s i b l e t o t a k e c e r t a i n n u m b e r s , a p p l y
c e r t a i n f u n c t i o n s t o t h e m , a n d a r r i v e a t 6 6 6 1 1 1 6 6 6 . "
N o w , o n c e a g a i n , r e m e m b e r t h a t w e a r e a s s u m i n g T N T c a n e x p r e s s a n y m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t , n o m a t t e r h o w
c o m p l e x . S o p r e s u m a b l y i t c a n h a n d l e t h i s o n e : w e c o u l d t a k e t h e s e n t e n c e " 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e o r e m h o o d , " a n d
t r a n s l a t e i t i n t o T N T !
T h e r e s u l t i n g s t r i n g w o u l d p r e s u m a b l y b e t r u e , l e a d i n g u s t o t h e f o l l o w i n g c l a i m , w h i c h I w i l l a g a i n w r i t e i n t h r e e
e q u i v a l e n t w a y s .
1 . " 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e o r e m h o o d " i s t r u e .
2 . T h e T N T s t r i n g f o r " 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e o r e m h o o d " i s a v a l i d T N T t h e o r e m .
3 . T h e G ö d e l n u m b e r f o r t h e T N T s t r i n g f o r " 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e o r e m h o o d , " h a s t h e o r e m h o o d .
I f w e w a n t , w e c a n s t a r t s p i r a l l i n g u p f o r e v e r a t t h i s p o i n t . T h i s s e n t e n c e 3 i s a n e w m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t , a n d c o u l d
b e t h e " 1 " o f a n o t h e r t r i a d : w e c o u l d t r a n s l a t e i t i n t o T N T , G ö d e l i z e t h a t s t r i n g , c l a i m t h e o r e m h o o d f o r o u r n e w
n u m b e r , a n d s o o n . W h a t w e h a v e i s a s e r i e s o f e v e r - l o n g e r s t a t e m e n t s , e a c h o f w h i c h s a y s " t h e s t a t e m e n t b e f o r e m e i s
a t h e o r e m . " I t ' s e n o u g h t o m a k e y o u r h e a d s p i n .
F o r t u n a t e l y , w e d o n ' t h a v e t o t a k e i t t h a t f a r . I n f a c t , t h e o n l y p o i n t I ' m m a k i n g a t a l l i s t h a t " 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s
t h e o r e m h o o d " i s a m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t , w h i c h c a n b e t r a n s l a t e d i n t o T N T . M o r e g e n e r a l l y , i t i s p o s s i b l e t o w r i t e a
T N T s t r i n g w h i c h s a y s t h a t a n o t h e r T N T s t r i n g i s ( o r i s n o t ) a v a l i d t h e o r e m .
W h y i s t h a t s o i m p o r t a n t ? W e l l , i f y o u r e m e m b e r G ö d e l ' s p r o o f , i t h i n g e d o n w r i t i n g a T N T s t a t e m e n t t h a t t a l k s a b o u t
i t s e l f . W e s a i d a t t h e t i m e t h a t i t c o u l d n ' t b e d o n e , b e c a u s e T N T s t r i n g s a r e o n l y a b o u t n u m b e r s . B u t n o w , w e h a v e
s u d d e n l y f o u n d a w a y t o w r i t e T N T s t r i n g s t h a t c l a i m t h e o r e m h o o d f o r o t h e r T N T s t r i n g s !
A c t u a l l y , i n a l l f a i r n e s s , I s h o u l d m e n t i o n t h a t w e h a v e n ' t a c t u a l l y " f o u n d a w a y . " I n e v e r t o o k a s t r i n g l i k e
" 6 6 6 1 1 1 6 6 6 h a s t h e o r e m h o o d " a n d t r a n s l a t e d i t i n t o T N T . I s i m p l y a s s e r t e d t h a t i t i s p o s s i b l e t o t r a n s l a t e t h a t s t r i n g ,
b e c a u s e t h a t s t r i n g i s a m a t h e m a t i c a l s t a t e m e n t , a n d w e a r e a s s u m i n g t h a t T N T c a n e x p r e s s a l l m a t h e m a t i c a l
s t a t e m e n t s . T h i s i s o n e o f t h e m o s t f a s c i n a t i n g p a r t s o f t h i s p r o o f . T h e o n l y t h i n g w e n e e d t o k n o w a b o u t T N T , i s t h a t
i t c l a i m s t o b e a l l - p o w e r f u l ; w e c a n u s e t h a t f a c t t o l e a d u s a l l t h e w a y t o t h e e n d , w i t h o u t g o i n g t h r o u g h t h e h a r d w o r k
o f f i g u r i n g o u t h o w t o u s e t h e p o w e r .
B u t G i s S t i l l H a r d e r t o W r i t e T h a n i t L o o k s
A t t h i s p o i n t , y o u m a y w e l l t h i n k w e ' r e d o n e . W e h a v e s h o w n t h a t s e n t e n c e G d e s t r o y s T N T ' s c l a i m t o c o m p l e t e l y
r e p r e s e n t n a t u r a l n u m b e r s . A l l w e h a v e t o d o i s s h o w t h a t s e n t e n c e G c a n , i n f a c t , b e t r a n s l a t e d i n t o T N T . A n d w e ' v e
d o n e t h e h a r d p a r t t h e r e , w h i c h i s s h o w i n g t h a t " T N T T h e o r e m h o o d " i s a m a t h e m a t i c a l c o n c e p t t h a t c a n b e e x p r e s s e d
i n T N T . S o w e k n o w t h a t t h e f o l l o w i n g s e n t e n c e s c o u l d a l l b e w r i t t e n i n T N T .
5 i s n o t a t h e o r e m o f T N T .
1 0 i s n o t a t h e o r e m o f T N T .
1 2 3 6 6 6 1 1 1 6 6 6 i s n o t a t h e o r e m o f T N T .
. . . a n d s o o n . A l l w e n e e d t o d o i s f i n d s u c h a s e n t e n c e w i t h t h e f o l l o w i n g p e c u l i a r i t y : t h e n u m b e r t h a t i t t a l k s a b o u t ,
h a p p e n s t o b e t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e s e n t e n c e i t s e l f . I s t h a t s o h a r d ?
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
A c t u a l l y , i t ' s i m p o s s i b l e , a s y o u c a n r e a d i l y c o n v i n c e y o u r s e l f w i t h t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n . T h e n u m b e r 1 i s " S 0 " i n
T N T , o r 1 2 3 6 6 6 i n G ö d e l i z e d T N T . S i m i l a r l y , t h e G ö d e l n u m b e r f o r 1 0 i s 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 6 6
( t e n " S " s a n d a 0 ) . I n g e n e r a l , t h e G ö d e l n u m b e r f o r a n y n u m b e r , i s m u c h b i g g e r t h a n t h e n u m b e r i t s e l f ! S o i f y o u
w r o t e d o w n t h e s e n t e n c e " 1 0 i s n o t a t h e o r e m o f T N T , " i t s G ö d e l n u m b e r w o u l d d e f i n i t e l y n o t b e 1 0 , i t w o u l d b e
m u c h b i g g e r . . . a n d s o f o r a n y n u m b e r . A T N T s t r i n g c a n n o t p o s s i b l y b e b i g e n o u g h t o " c o n t a i n " i t s o w n G ö d e l n u m b e r .
S o d o e s t h a t m e a n t h a t i t ' s s t i l l i m p o s s i b l e t o w r i t e s e n t e n c e G ? N o , i t j u s t m e a n s t h a t s o m e i n d i r e c t n e s s w i l l b e
r e q u i r e d . S e n t e n c e G w i l l n o t c o n t a i n i t s o w n G ö d e l n u m b e r e x p l i c i t l y , b u t w i l l i n s t e a d r e f e r t o i t i n d i r e c t l y . F o r
i n s t a n c e , w e c a n r e f e r t o " 1 0 " a s " 5 * 2 " , w h i c h h a s a m u c h l o w e r G ö d e l n u m b e r . S e n t e n c e G h a s t o h a v e s o m e v e r y
c l e v e r , i n d i r e c t r e f e r e n c e t o i t s o w n G ö d e l n u m b e r . A n d t h e r e s t o f t h i s p a p e r a n d o f G ö d e l ' s p r o o f i s j u s t s u c h a
c l e v e r m e t h o d .
" A r i t h m o q u i n i n g " t o G e t T N T S e n t e n c e s A b o u t T N T S e n t e n c e s
W e s t a r t w i t h a s i m p l e m e c h a n i s m f o r w r i t i n g a T N T s e n t e n c e a b o u t a n o t h e r T N T s e n t e n c e . T h e m e c h a n i s m i s c a l l e d
a r i t h m o q u i n i n g , a n d h e r e ' s h o w i t w o r k s . Y o u s t a r t w i t h a n y s e n t e n c e t h a t h a s a f r e e v a r i a b l e , w h i c h w e ' l l c a l l a . T o
a r i t h m o q u i n e t h e s e n t e n c e , y o u t a k e t h e G ö d e l n u m b e r o f t h e e n t i r e s e n t e n c e , a n d r e p l a c e a l l o c c u r r e n c e s o f t h e
v a r i a b l e a w i t h t h a t n u m b e r .
F o r i n s t a n c e , s t a r t w i t h t h e s e n t e n c e a = S 0 . T h e G ö d e l n u m b e r o f t h i s e x p r e s s i o n i s 2 6 2 1 1 1 1 2 3 6 6 6 ; s o a r i t h m o q u i n i n g ,
w e g e t " 2 6 2 1 1 1 1 2 3 6 6 6 = 1 " . T h a t ' s a l l t h e r e i s t o a r i t h m o q u i n i n g : i t ' s s o s i m p l e , y o u m i g h t w o n d e r w h y w e ' r e b o t h e r i n g
w i t h i t .
T h e r e a s o n i s t h a t a r i t h m o q u i n i n g g i v e s u s a g e n e r a l i z e d w a y t o w r i t e o n e T N T s t a t e m e n t a b o u t a n o t h e r T N T
s t a t e m e n t . J u s t t o k e e p t h i n g s v i s u a l l y c l e a r , I l i k e t o w r i t e t h e t w o s t a t e m e n t s i n p a i r s ; t h e f i r s t s e n t e n c e h a s a v a r i a b l e ,
a n d t h e s e c o n d s e n t e n c e i s t h e a r i t h m o q u i n e o f t h e f i r s t .
T : a = S 0
A : T h e G ö d e l n u m b e r o f S e n t e n c e T i s 1 .
T h e f i r s t s e n t e n c e i s a b o u t a n a r b i t r a r y T h i n g ( h e n c e " T " ) r e p r e s e n t e d b y a f r e e v a r i a b l e . T h e s e c o n d s e n t e n c e i s t h e
A r i t h m o q u i n e ( " A " ) o f t h e f i r s t . W e c a n w r i t e s e n t e n c e A a b i t m o r e c o n c i s e l y , a s f o l l o w s .
A : S e n t e n c e T i s 1 .
W h e n y o u w r i t e i t t h a t w a y , i t ' s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h a t b y " S e n t e n c e T " y o u r e a l l y m e a n t h e G ö d e l n u m b e r o f
s e n t e n c e T . B u t t h i s w a y o f w r i t i n g i t d o e s h a v e t h e a d v a n t a g e o f s h o w i n g , v e r y c l e a r l y , t h a t s e n t e n c e A i s a l w a y s
a b o u t s e n t e n c e T . T o g i v e a m o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e ,
T : a = S S 0 * a - S S S S 0
A : S e n t e n c e T i s 2 t i m e s s e n t e n c e T m i n u s 4 .
H e r e , a s b e f o r e , s e n t e n c e T i s n e i t h e r t r u e n o r f a l s e , s i n c e a i s u n s p e c i f i e d . S e n t e n c e A , t h e a r i t h m o q u i n e o f S e n t e n c e
T , i s a b l a t a n t l y f a l s e s t a t e m e n t a b o u t a s p e c i f i c n u m b e r .
I s h o u l d m e n t i o n t h a t , a l t h o u g h I l i k e w r i t i n g t h e s e s e n t e n c e s i n p a i r s , y o u c a n a l w a y s w r i t e t h e a r i t h m o q u i n e a s i t s
o w n c o m p l e t e s e n t e n c e . I n t h i s c a s e , w e c o u l d s a y :
A : " a = S S 0 * a - S S S S 0 " i s 2 t i m e s " a = S S 0 * a - S S S S 0 " m i n u s 4 .
N o w , i n s t e a d o f a s e n t e n c e a b o u t a n o t h e r s e n t e n c e , w e h a v e a s e n t e n c e a b o u t a p h r a s e i n i t s e l f . B u t a l l w e ' v e r e a l l y
d o n e i s r e a r r a n g e t h i n g s t o m a k e t h e m l e s s r e a d a b l e . W e s t i l l d e f i n i t e l y d o n o t h a v e a s e n t e n c e a b o u t i t s e l f , w h i c h i s
w h a t w e n e e d i n o r d e r t o w r i t e s e n t e n c e G .
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
F i n a l l y , W r i t i n g S e n t e n c e G
B e f o r e y o u r e a d a n y f u r t h e r a n d w a t c h m e w r i t e s e n t e n c e G , I w o u l d e n c o u r a g e y o u t o t r y t o w r i t e i t o n y o u r o w n . Y o u
h a v e t h e b a s i c p r o b l e m , w h i c h i s t o w r i t e a s e n t e n c e t h a t s a y s " I a m n o t a t h e o r e m " ; a n d y o u h a v e t h e b a s i c t o o l , w h i c h
i s a r i t h m o q u i n i n g t o w r i t e a s e n t e n c e a b o u t a n o t h e r s e n t e n c e .
I f y o u h a v e t r i e d i t , I w o u l d g u e s s t h a t y o u r f i r s t s h o t w a s s o m e t h i n g l i k e t h i s .
T : a i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m - n u m b e r .
A : S e n t e n c e T i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m - n u m b e r .
B u t t h a t c l e a r l y d o e s n ' t d o i t . S e n t e n c e A i s n o t t h e s e n t e n c e G w e ' r e l o o k i n g f o r , s i n c e i t i s n ' t a b o u t i t s e l f , i t ' s a b o u t
s e n t e n c e T .
S o y o u h a v e t o g e t a l i t t l e t r i c k i e r . A n d w i t h o u t a n y f u r t h e r a d o , I ' m g o i n g t o p r e s e n t t h e a n s w e r , s o t h i s i s y o u r l a s t
c h a n c e t o f i g u r e i t o u t o n y o u r o w n . . .
T : T h e a r i t h m o q u i n e o f a i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m - n u m b e r .
A : T h e a r i t h m o q u i n e o f S e n t e n c e T i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m - n u m b e r .
T a - d a ! T h i s i s a m i n o r v a r i a t i o n o f t h e " f i r s t t r y " I p r e s e n t e d a m o m e n t a g o . B u t s e n t e n c e T a d d s a w r i n k l e , i n t h e
s e n s e o f r e f e r r i n g t o t h e a r i t h m o q u i n e o f o u r f r e e v a r i a b l e a . S o s e n t e n c e A , w h i c h i s t h e a r i t h m o q u i n e o f s e n t e n c e T ,
i s a l s o a b o u t t h e a r i t h m o q u i n e o f s e n t e n c e T . I n o t h e r w o r d s , i t ' s a b o u t i t s e l f !
J u s t t o g e t t h a t f e e l i n g o f c o m p l e t i o n , I ' m g o i n g t o w r i t e s e n t e n c e A a s o n e b i g s e n t e n c e w i t h o u t s e n t e n c e T . T h i s i s t h e
a c t u a l s e n t e n c e G w e ' v e b e e n l o o k i n g f o r .
G : T h e a r i t h m o q u i n e o f " T h e a r i t h m o q u i n e o f a i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m - n u m b e r " i s n o t a v a l i d T N T t h e o r e m -
n u m b e r .
Y o u c a n n o t , s u r p r i s i n g l y , m a k e i t a n y s h o r t e r t h a n t h a t : t h a t i s s e n t e n c e G , w r i t t e n o u t i n E n g l i s h . O f c o u r s e , t o a c t u a l l y
w r i t e i t i n T N T , y o u w o u l d h a v e t o f i g u r e o u t h o w t o w r i t e " a r i t h m o q u i n e " a n d " v a l i d t h e o r e m - n u m b e r " i n T N T ,
w h i c h w o u l d b e a n i n c r e d i b l y l o n g , a r d u o u s , a n d ( f r a n k l y ) b o r i n g t a s k . B u t f o r t u n a t e l y , y o u d o n ' t h a v e t o b o t h e r . I t i s
e n o u g h t o k n o w t h a t b o t h a r i t h m o q u i n i n g a n d t h e o r e m h o o d a r e m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s , i n v o l v i n g f i n i t e p r e d i c t a b l e
m a n i p u l a t i o n o f n a t u r a l n u m b e r s w h i c h , w e h a v e a l r e a d y s a i d , b o t h o f t h e m a r e . T N T c l a i m s t h a t i t c a n e x p r e s s a l l
m a t h e m a t i c a l p r o p e r t i e s , s o i t s h o u l d b e a b l e t o e x p r e s s t h o s e t w o , s o w e s h o u l d i n p r i n c i p l e b e a b l e t o t r a n s l a t e t h e
a b o v e s e n t e n c e i n t o T N T ; w h i c h i s a l l i t t a k e s t o u n d e r m i n e t h e s y s t e m . I r o n i c a l l y , i t s v e r y p o w e r o f e x p r e s s i o n i s
w h a t d e f e a t s T N T i n t h e e n d .
W h a t N o w ?
I f y o u f o l l o w e d a l l t h a t , y o u c a n n o w s a y w i t h r e a s o n a b l e c o n f i d e n c e t h a t y o u " u n d e r s t a n d G ö d e l ' s t h e o r e m . " T h a t i s ,
y o u u n d e r s t a n d w h y n o f o r m a l m a t h e m a t i c a l s y s t e m c a n e v e r h o p e t o r e p r e s e n t a l l s t a t e m e n t s a b o u t n a t u r a l n u m b e r s .
A s I s e e i t , t h e r e a r e t h r e e d i r e c t i o n s y o u c a n g o f r o m h e r e . T h e f i r s t d i r e c t i o n i s d o w n , t o a m o r e m a t h e m a t i c a l l e v e l .
T h e e x p l a n a t i o n I h a v e g i v e n i s v e r y " h i g h - l e v e l , " a n d w o u l d n o t s a t i s f y a r e a l m a t h e m a t i c i a n f o r a n i n s t a n t . B y
l e a r n i n g m o r e a b o u t t h e m a t h i n v o l v e d , y o u c a n w o r k t h e p r o o f t o e v e r f i n e r l e v e l s o f d e t a i l , a n d m a k e i t e v e r m o r e
r i g o r o u s a n d b u l l e t - p r o o f .
T h e o t h e r w a y t o g o i s u p , t o a m o r e p h i l o s o p h i c a l l e v e l . T h e r e a r e m a n y p e o p l e w h o b e l i e v e t h a t t h e h u m a n m i n d ,
b a s e d o n n e u r o n s a n d p h y s i c a l p r i n c i p l e s , i s j u s t a v e r y s o p h i s t i c a t e d f o r m a l s y s t e m . D o e s G ö d e l ' s t h e o r e m i m p l y t h e
e x i s t e n c e o f f a c t s t h a t m u s t b e t r u e , b u t t h a t o u r m i n d s c a n n e v e r p r o v e ? O r e v e n s t r o n g e r , t h a t o u r m i n d s c a n n e v e r
b e l i e v e o r s t r o n g e s t y e t , e v e r c o n c e i v e ?
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
G o d e l a n d G o d e l ' s T h e o r e m : M a t h
T h e t h i r d d i r e c t i o n y o u c a n g o i s s i d e w a y s , t o l u n c h . W h o w a n t s t o s p e n d h i s w h o l e l i f e w o r r y i n g a b o u t a b s t r a c t
m a t h e m a t i c a l t h e o r e m s ?
T h e M a t h a n d P h y s i c s H e l p H o m e P a g e
w w w . n c s u . e d u / f e l d e r - p u b l i c / k e n n y
S e n d c o m m e n t s o r q u e s t i o n s t o t h e a u t h o r
h t t p : / / w w w 4 . n c s u . e d u / u n i t y / l o c k e r s / u s e r s / f / f e l d e r / p u b l i c / k e n n y / p a p e r s / g o d e l . h t m l [ 2 5 / 1 0 / 2 0 0 8 1 7 : 3 3 : 4 2 ]
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