ÿþ2 . 3 . 1 . I l o c z y n s k a l a r n y
I l o c z y n e m s k a l a r n y m ( s k a l a r o w y m ) d w ó c h w e k t o r ó w a i b n a z y w a m y s k a l a r
r ó w n y i l o c z y n o w i m o d u Bó w o b u w e k t o r ó w p r z e z k o s i n u s k t a z a w a r t e g o m i d z y
n i m i . ·
b
±
O
a
R y s . 2 . 8 . I l u s t r a c j a d o d e f i n i c j i i l o c z y n u s k a l a r n e g o
J e |e l i k t m i d z y w e k t o r a m i o z n a c z y m y p r z e z ± ( r y s . 2 . 8 ) , a o p e r a c j m n o |e n i a
s k a l a r n e g o p r z e z a · b , t o o t r z y m a m y :
a Å" b = a b c o s ±. ( 2 . 1 1 )
P o u w z g l d n i e n i u w e w z o r z e ( 2 . 1 1 ) z a l e |n o [c i ( 2 . 2 ) i l o c z y n s k a l a r n y m o |e m y
p r z e d s t a w i j a k o i l o c z y n r z u t u j e d n e g o w e k t o r a n a k i e r u n e k d r u g i e g o i m o d u Bu
d r u g i e g o .
a Å" b = a b c o s ± = b a c o s ± = a R z a b = b R z b a . ( 2 . 1 2 )
( ) ( ) ( ) ( )
I l o c z y n s k a l a r n y j e s t r ó w n y z e r u ( p o z a p r z y p a d k a m i , g d y a = 0 l u b b = 0 ) , g d y
c o s = 0 . W y n i k a s t d w a r u n e k p r o s t o p a d Bo [c i ( o r t o g o n a l n o [c i ) d w ó c h w e k t o r ó w :
a Å"b = 0 , g d y a ¥"b . ( 2 . 1 3 )
Z f a k t u , |e f u n k c j a k o s i n u s j e s t f u n k c j p a r z y s t [ c o s ± = c o s ( ±) ] , w y n i k a , |e
d o i l o c z y n u s k a l a r n e g o s t o s u j e s i p r a w o p r z e m i e n n o [c i :
a Å" b = b Å" a .
I l o c z y n s k a l a r n y p o d l e g a r ó w n i e | p r a w u r o z d z i e l n o [c i m n o |e n i a s k a l a r n e g o
w z g l d e m d o d a w a n i a :
( )
a Å" b + c = a Å"b + a Å" c .
D o w ó d t e j w Ba s n o [c i w y n i k a b e z p o [r e d n i o z p r z y t o c z o n e g o w p o p r z e d n i m p u n k c i e
t w i e r d z e n i a C h a r l e s a o r a z z z a l e |n o [c i ( 2 . 2 ) :
a Å"( b + c ) = a R z a ( b + c ) = a [ R z a ( b ) + R z a ( c ) ] =
= a R z a ( b ) + a R z a ( c ) = a Å" b + a Å" c .
J e |e l i p o m n o |y m y r ó w n a n i e ( 2 . 1 1 ) p r z e z d o w o l n y s k a l a r k , t o o t r z y m a m y
p r a w o Bc z n o [c i m n o |e n i a i l o c z y n u s k a l a r n e g o p r z e z s k a l a r :
k ( a Å" b ) = ( k a ) b c o s ± = a ( k b ) c o s ± = ( k a ) Å" b = a Å"( k b ) .
W e k t o r p o m n o |o n y s k a l a r n i e p r z e z s i e b i e j e s t r ó w n y k w a d r a t o w i m o d u Bu :
a Å" a = a a c o s 0 = a 2 . ( 2 . 1 4 )
Z p o d a n y c h w y |e j r o z w a |a D w y n i k a , |e i l o c z y n s k a l a r n y p o z a w z o r e m ( 2 . 1 3 )
m a t a k i e s a m e w Ba s n o [c i j a k i l o c z y n a l g e b r a i c z n y l i c z b .
G d y m a m y d o w o l n y w e k t o r a o r a z o [ l o k r e [l o n p r z e z w e k t o r j e d n o s t k o w y e l
( r y s . 2 . 3 ) , t o n a p o d s t a w i e r ó w n a n i a ( 2 . 1 2 ) r z u t t e g o w e k t o r a n a o [ l w y r a |a w z ó r :
a Å" e l = a c o s ± = R z l ( a ) . ( 2 . 1 5 )
Z z a l e |n o [c i t e j b d z i e m y c z s t o k o r z y s t a p r z y o b l i c z a n i u w s p ó Br z d n y c h w e k t o r a
w d a n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h .
O b e c n i e p o d a m y z a l e |n o [c i m i d z y w e r s o r a m i i , j , k p r o s t o k t n e g o u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h . N a p o d s t a w i e w z o r ó w ( 2 . 1 4 ) i ( 2 . 1 3 ) o t r z y m u j e m y :
i Å" i = j Å" j = k Å" k = 1 ,
«#
( 2 . 1 6 )
¬#
i Å" j = j Å" k = k Å" i = 0 . #
G d y w e k t o r y a i b z a p i s z e m y a n a l i t y c z n i e z a p o m o c i c h w s p ó Br z d n y c h
w p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h x , y , z :
a = a i + a j + a k ,
«#
x y z
( 2 . 1 7 )
b = b x i + b y j + b z k , ¬#
#
t o i c h i l o c z y n s k a l a r n y n a p o d s t a w i e w z o r ó w ( 2 . 1 6 ) m o |n a w y r a z i p r z e z
w s p ó Br z d n e :
a Å"b = a x b x + a y b y + a z b z . ( 2 . 1 8 )
P o r ó w n a n i e w z o r ó w ( 2 . 1 1 ) i ( 2 . 1 8 ) p o z w a l a o b l i c z y k t m i d z y w e k t o r a m i :
a b x + a b y + a b z
x y z
c o s ± = . ( 2 . 1 9 )
a b
Z t e g o w z o r u w y n i k a , |e a b y d w a w e k t o r y b y By o r t o g o n a l n e , i c h w s p ó Br z d n e
m u s z s p e Bn i a z a l e |n o [:
a x b x + a y b y + a z b z = 0 . ( 2 . 2 0 )
2 . 3 . 2 . I l o c z y n w e k t o r o w y
I l o c z y n e m w e k t o r o w y m a × b d w ó c h w e k t o r ó w a i b n a z y w a m y w e k t o r c
p r o s t o p a d By d o p Ba s z c z y z n y u t w o r z o n e j p r z e z t e w e k t o r y , k t ó r e g o m o d u B j e s t r ó w n y
i l o c z y n o w i m o d u Bó w t y c h w e k t o r ó w p o m n o |o n e m u p r z e z s i n u s k t a z a w a r t e g o
m i d z y n i m i ( r y s . 2 . 9 )
c = a × b ,
«#
( 2 . 2 1 )
¬#
c = a b s i n ±. #
c = a x b
b
±
O
a
- c = b x a
R y s . 2 . 9 . I l u s t r a c j a i l o c z y n u w e k t o r o w e g o
Z w r o t w e k t o r a c j e s t t a k d o b r a n y , |e w e k t o r y a , b , c t w o r z u k Ba d
p r a w o s k r t n y , c z y l i z w r o t w e k t o r a c o k r e [l a r e g u Ba [r u b y p r a w o s k r t n e j .
Z o k r e [l e n i a m o d u Bu i l o c z y n u w e k t o r o w e g o o r a z z r y s . 2 . 9 w y n i k a , |e j e s t o n
r ó w n y p o l u r ó w n o l e g Bo b o k u z b u d o w a n e g o n a w e k t o r a c h a i b .
Z d e f i n i c j i i l o c z y n u w e k t o r o w e g o w y n i k a , |e p o z a p r z y p a d k a m i , g d y
a = 0 l u b b = 0 , j e s t o n r ó w n y z e r u ,
k i e d y s i n ± = 0 , c z y l i d l a ± = 0 a l b o ± = À, c o o z n a c z a , i | w e k t o r a j e s t r ó w n o l e g By
d o w e k t o r a b . Z a t e m w a r u n e k r ó w n o l e g Bo [c i m a p o s t a :
a × b = 0 . ( 2 . 2 2 )
J e |e l i w i l o c z y n i e w e k t o r o w y m w e k t o r y a i b z a m i e n i m y m i e j s c a m i , t o w e k t o r y
b , a , c b d t w o r z y By u k Ba d l e w o s k r t n y . A b y p o n o w n i e o t r z y m a u k Ba d
p r a w o s k r t n y , n a l e |y z m i e n i z w r o t w e k t o r a c n a p r z e c i w n y , j a k n a r y s . 2 . 9 , c z y l i
g d y
a × b = c , t o b × a = - c .
W i d z i m y z a t e m , |e d o i l o c z y n u w e k t o r o w e g o n i e s t o s u j e s i p r a w o p r z e m i e n n o [c i :
a × b = - b × a . ( 2 . 2 3 )
M o |n a w y k a z a [ 6 , 9 ] , |e i l o c z y n w e k t o r o w y p o d l e g a p r a w u r o z d z i e l n o [c i
m n o |e n i a w e k t o r o w e g o w z g l d e m d o d a w a n i a :
a × ( b + d ) = a × b + a × d . ( 2 . 2 4 )
D o i l o c z y n u w e k t o r o w e g o s t o s u j e s i r ó w n i e | p r a w o Bc z n o [c i m n o |e n i a p r z e z
d o w o l n y s k a l a r k :
( k a ) × b = a × ( k b ) = k ( a × b ) . ( 2 . 2 5 )
P o w y |s z a r ó w n o [ w y n i k a b e z p o [r e d n i o z p o r ó w n a n i a m o d u Bó w p o w y |s z y c h
i l o c z y n ó w w e k t o r o w y c h .
I l o c z y n y w e k t o r o w e w e r s o r ó w i , j , k p r o s t o k t n e g o p r a w o s k r t n e g o u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h x , y , z w y n i k a j b e z p o [r e d n i o z e w z o r u ( 2 . 2 2 ) o r a z z d e f i n i c j i
i l o c z y n u w e k t o r o w e g o
i × i = j × j = k × k = 0 ,
«#
ª#
i × j = k , j × k = i , k × i = j , ( 2 . 2 6 )
¬#
j × i = - k , k × j = - i , i × k = - j . ª#
#
O b e c n i e w y r a z i m y i l o c z y n w e k t o r o w y d w ó c h d o w o l n y c h w e k t o r ó w a i b z a
p o m o c i c h w s p ó Br z d n y c h w p r o s t o k t n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h x , y , z . P o
p o d s t a w i e n i u z a l e |n o [c i ( 2 . 1 7 ) d o w z o r u n a i l o c z y n w e k t o r o w y m a m y :
c = a × b = ( a i + a j + a z k ) × ( b x i + b y j + b z k ) .
x y
P o w y k o n a n i u d z i a Ba D, w y k o r z y s t a n i u z a l e |n o [c i ( 2 . 2 6 ) o r a z p o g r u p o w a n i u
w y r a z ó w p r z y p o s z c z e g ó l n y c h w e r s o r a c h p o w y |s z y w z ó r p r z y j m i e p o s t a :
c = ( a b z - a z b y ) i + ( a z b x - a b z ) j + ( a b y - a b x ) k . ( 2 . 2 7 )
y x x y
W y r a |e n i e p o p r a w e j s t r o n i e t e g o r ó w n a n i a j e s t r o z w i n i c i e m w y z n a c z n i k a
i j k
c = a a a . ( 2 . 2 8 )
x y z
b x b y b z
W c e l u o b l i c z e n i a w s p ó Br z d n y c h c x , c y , c z i l o c z y n u w e k t o r o w e g o n a l e |y
w e k t o r c z a p i s a n y a n a l i t y c z n i e : c = c x i + c y j + c z k p o d s t a w i d o r ó w n a n i a ( 2 . 2 7 ) .
Z p o r ó w n a n i a w y r a z ó w p r z y t y c h s a m y c h w e r s o r a c h o t r z y m a m y :
«#
c x = ( a b z - a b y ) ,
y z
ª#
c y = ( a b x - a b z ) , ¬# ( 2 . 2 9 )
z x
c z = ( a b y - a b x ) . ª#
x y
#
2 . 3 . 3 . I l o c z y n y z Bo |o n e t r z e c h w e k t o r ó w
W p o p r z e d n i c h d w ó c h p u n k t a c h o m ó w i l i [m y i l o c z y n s k a l a r n y o r a z i l o c z y n
w e k t o r o w y d w ó c h w e k t o r ó w . W e k t o r y t e m o g By b y w s z c z e g ó l n o [c i s u m k i l k u
w e k t o r ó w . O b e c n i e p o d a m y o k r e [l e n i a i l o c z y n ó w p o d w ó j n y c h z Bo |o n y c h z t r z e c h
w e k t o r ó w . B d z i e t o i l o c z y n m i e s z a n y t r z e c h w e k t o r ó w o r a z p o d w ó j n y i l o c z y n
w e k t o r o w y t r z e c h w e k t o r ó w . O g r a n i c z y m y s i p r z y t y m t y l k o d o o k r e [l e n i a t y c h
i l o c z y n ó w o r a z p o d a n i a p o d s t a w o w y c h z a l e |n o [c i n i e z b d n y c h d o p r z e k s z t a Bc e D
w z o r ó w w e k t o r o w y c h w d a l s z y c h r o z d z i a Ba c h . D o w o d y n a p o d a n e n i |e j
p r z e k s z t a Bc e n i a m o |n a z n a l e z w l i t e r a t u r z e [ 6 , 9 , 1 1 ] .
I l o c z y n e m m i e s z a n y m t r z e c h w e k t o r ó w a , b i c n a z y w a m y i l o c z y n s k a l a r n y
j e d n e g o z t y c h w e k t o r ó w , n p . w e k t o r a a , p r z e z w e k t o r b d c y i l o c z y n e m
w e k t o r o w y m d w ó c h p o z o s t a By c h :
a Å"( b × c ) . ( 2 . 3 0 )
Z p o d a n e j d e f i n i c j i w y n i k a , |e i l o c z y n m i e s z a n y j e s t s k a l a r e m .
W i n t e r p r e t a c j i g e o m e t r y c z n e j i l o c z y n m i e s z a n y j e s t r ó w n y l i c z b o w o o b j t o [c i
r ó w n o l e g Bo [c i a n u z b u d o w a n e g o n a w e k t o r a c h a , b i c . Z p o d a n e j i n t e r p r e t a c j i
g e o m e t r y c z n e j w y n i k a , |e g d y w e k t o r y t e l e | w j e d n e j p Ba s z c z y zn i e , t o i l o c z y n
m i e s z a n y j e s t r ó w n y z e r u .
W a r t o [ i l o c z y n u m i e s z a n e g o n i e u l e g a z m i a n i e , j e |e l i w i l o c z y n i e t y m
b d z i e m y z m i e n i a c y k l i c z n i e k o l e j n o [ w y r a z ó w :
a Å"( b × c ) = b Å"( c × a ) = c Å"( a × b ) . ( 2 . 3 1 )
J e |e l i w e k t o r y w y s t p u j c e w i l o c z y n i e m i e s z a n y m p r z e d s t a w i m y a n a l i t y c z n i e :
a = a i + a j + a k ,
x y z
b = b x i + b y j + b z k ,
c = c x i + c y j + c z k ,
t o i l o c z y n m i e s z a n y m o |n a z a p i s a w p o s t a c i w y z n a c z n i k a u t w o r z o n e g o z e
w s p ó Br z d n y c h w e k t o r ó w :
a a a
x y z
a Å"( b × c ) = b x b y b z . ( 2 . 3 2 )
c x c y c z
P o d w ó j n y i l o c z y n w e k t o r o w y t r z e c h w e k t o r ó w a , b i c j e s t w e k t o r e m
p o w s t a By m w w y n i k u w e k t o r o w e g o p o m n o |e n i a w e k t o r a a p r z e z i l o c z y n
w e k t o r o w y w e k t o r a b i c :
a × ( b × c ) . ( 2 . 3 3 )
P o w y |s z y w z ó r m o |n a r o z w i n d o p o s t a c i b a r d z i e j p r z y d a t n e j d o
p r z e k s z t a Bc e D w z o r ó w w e k t o r o w y c h :
a × ( b × c ) = b ( a Å"c ) - c ( a Å"b ) . ( 2 . 3 4 )
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