20358

12. Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia umożliwiające wyznaczenie rozkładu widmowego tego promieniowania. Obliczenia ich dotyczyły rozkładu gęstości energii promieniowania

pozostającego wewnątrz wnęki w równowadze termicznej. Gęstość energii Pt(^v) określona jest jako energia zawarta w jednostce objętości wnęki przy zadanej temperaturze T, w przedziale częstotliwości od ^v do ^v + ^dv. Wydostające się promieniowanie ma taki sam rozkład częstotliwości. Ich obliczenia opierały się na znanej nam już klasycznej teorii promieniowania elektromagnetycznego. Założyli oni, że wewnątrz wnęki wytwarza się układ stojących fal elektromagnetycznych. Liczba fal z danego przedziału częstotliwości (lub długości fal) określona jest przez warunki geometryczne położenia węzłów fal stojących na ściankach wnęki, zaś energia fal zależna jest od temperatury (zakładając warunki równowagi termicznej). Przyjęli, że średnia energia fali stojącej jest niezależna od częstotliwości i wynosi K = k T _| co jest zgodne ze znaną z termodynamiki zasadą ekwipartycji energii. (Zwracamy na to założenie szczególną uwagę, jest to bowiem podstawowy element ich rozumowania.) Mnożąc liczbę fal z danego przedziału częstotliwości przez średnią energię i dzieląc przez objętość wnęki można określić gęstość

energii w funkcji częstotliwości czyli Pt(^v) . w rezultacie otrzymuje się wzór, zwany wzorem Rayleigha- Jeansa.

13.

p_T(v) dv =

6 7Z v⁴

T dv

(2.1.1)

14.    gdzie k jest znaną z termodynamiki stałą Boltzmanna. Zauważmy, że wzór ten stanowi iloczyn średniej energii, K = k T _t pomnożonej przez czynnik określający prawdopodobieństwo występowania danej częstotliwości w widmie promieniowania. Występujący w nim kwadrat częstotliwości jest prostą konsekwencją wyrażania elementu

objętości we współrzędnych sfeiycznych (^ ⁿ ^). Czynnik ten jest więc proporcjonalny do powierzchni warstwy kulistej określonej przez kwadrat częstotliwości ^v , pomnożonej przez "grubość" warstwy, ^dv .

15.

16.    Całkowitą gęstość eneigii promieniowania obliczymy jako całkę po całym zakresie częstodiwosci

Pt = \pr(^v)^dy=⁶ 71 * ^T 'I*³ dv=<n

17.    0    ^c 0    (niemożliwe!!!)

(11.1.5)

18.    Otrzymany wynik jest w jawnej sprzeczności z ekspeiymentem, gdzie zdolność emisyjna ciał jest wprawdzie bardzo silnie rosnącą funkcją temperatury, zgodnie z prawem Stefana-Boltzmanna, ale ma wartości skończone.

Rys 2.1.2. "Katastrofa nadfioletu"

20. Rysunek 2.1.2. przedstawia schematyczne porównanie rozkładu wynikającego ze wzoru Rayleigha-Jeansa z kształtem rozkładu doświadczalnego. W zakresie małych częstotliwości