21437

dla x < 1

0

1    1

F(jt)= I—Jf²—x dlal<x<2 2 2

1    dla x > 2

Wyznaczyć:

a)    wartość oczekiwaną, medianę, modalną oraz kwantyl rzędu 0,8.

b)    odchylenie standardowe, współczynniki zmienności

c)    współczynnik asymetrii i kurtozę.

Zad 8. Wyrazić drugi moment centralny zmiennej losowej X przez jej momenty zwykłe. Zad 9. Wyrazić trzeci moment centralny zmiennej losowej X przez jej momenty zwykłe. Zad.10. Wykazać, że jeżeli zmienne losowe X_lP X₂,....,X„ mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa oraz E(XJ = H i D²(X,) = er² (i=l,...,n) ta

n

•    ich średnia arytmetyczna X=£][^X_ł ma tą samą wartość przeciętną E(X) =//.

/=i

• gdy ponadto zmienne losowe X,, X₂X_n są niezależne, wtedy D² (X) = £<r² (jest więc n razy mniejsza od wariancji każdej z nich).

Zad.l 1* Niech X i Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi mającymi skończone wartości

przeciętne. Sprawdzić, że: D²(X +y) =D²(X) +D²(Y)+2E[(X -E(X))(Y —E(Y))]. Korzystając z tej równości wykazać prawdziwość: D²(X + y) = D²(X) + D²(Y)dla niezależnych zmiennych losowych X, Y.