23376

₃ lim/M-/(*„)= ,_im /U)-/Uo)<₀l

3/Vo)=>

*-«6 JC - X,

*-»*>,    x-a:₀

«?4»U₀)    ⁰

f(x)-f(x_n)_    f(x)-f(x„)

3 lim

*->*i x-x,

lim

^x~*'», -V — at₀ ■*#(*<,) ⁰

>0

/'(*<,)=⁰

□

Twierdzenie

/<=C²(M)

x₀ e (a.b) I /'(-^o) = O /%*„)> O

/ ma silne minimum lokalne w Xq

Dowód:

/ eC

Niech /%vj>0 =5- 3^a„): /"(.v)>0 _dla .ve ^(.v„)

Ze wzroru Taylor’a (n=2):

/•*/ \

f(x)= f(x„)+ f'(x₀)(x-x₀)+(x-at₀)² _igdzie ce (.*„,*) vce (*,*„) Zatem /(.t)>/U₀) ponieważ: f'(x_o)=0/\f'(c)>0A(x-x_{)Y >0,

co dowodzi, że / ma w x₍, silne minimum lokalne.

□

Twierdzenie

feC²((a,b)) x„ 6 (a,b)

/'U)=o

/'(.v„)<0

/ ma silne maksimum lokalne w jfo

Dowód:

/€C

Niech /'(*„)< ⁰ =>    /'(*)< 0 dla *e ę)(.v„)

Ze wzroru Taylora (n=2):

2