34515

91

Gdy punki M będzie się poruszał, wektor r będzie zmieniał z upływem czasu swoją wartość i kierunek, a koniec tego wektora zakreśli krzywą L. którą będziemy nazywać torem punktu lub hodografem wektora wodzącego r. Jak już powiedziano w p. 2.3.7, hodograf rozpatrywanej funkcji wektorowej to lima zakreślona przez końce wektorów, których początki znajdują się w jednym punkcie.

W czasie ruchu punktu M wektor wodzący r tego punktu będzie zmiemał swoją wartość i kierunek. Załóżmy, że w chwili czasu t| położenie punktu M| wyznacza wektor wodzący rj = r(t|). a w chwili t₂ = t| + At punkt zajmuje położenie M₂ wyznaczone przez wektor wodzący r₂ = r(t₂), jak na rys. 5.2. Widzimy, że po upływie czasu At = t₂ - tj wektor wodzący uzyskał przyrost Ar = r₂ - r». Iloraz Ar/At jest wektorem współliniowym z wektorem Ar. czyli jest skierowany wzdłuż cięciwy MiM₂. Jeżeli przyrost czasu At będzie dążył do zera, to w granicy otrzymamy pochodną wektora r względem czasu:

.. Ar dr

lun — = — = v . a«-*o At dt

nazywaną prędkością punktu. Oznacza to. że prędkością punktu nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

(54)

dr

dT

Rys. 5.1 Prędkość punktu

Łatwo zauważyć, że jeżeli punkt M₂ dąży do punktu Mi, to cięciwa MiM₂ dąży do stycznej do toru w punkcie Mj. Wynika stąd, że prędkość punktu jest styczna do tom punktu M. czyli styczna do hodografu wektora wodzącego r.