34679

20 25

Mi    y

2015 20.1 20 05 20 1005 1».»

1085 /^x

--------1---

IM 1K2 IW 1906 1906    2    2002 2004 2006 2006    201

Rysunek 3: Wykres funkcji a nu przedziale [1.99:2,01]

Kuch kulki ołowianej — wykresy (c.d.)

Prędkość jako granica funkcji

Rozważmy punkt materialny poruszający się wzdłuż osi OX; położenie punktu w chwili t będziemy oznaczali przez 5(0- Piędkość chwilową tego punktu materialnego w chwili ta można zdefiniować jako:

lim

i—t₀

S(t)-S(to)

t-to ’

jeśli ta granica istnieje.

Pojęcie granicy funkcji w punkcie

Dla dowolnego ciągu (d_n) takiego, że:

lim d_n —* 0.    d,, ^ 0 dla n € N,    (1)

n—*x

ciąg v(d_n) (prędkości średnich na odcinku [f, t + d_n])

, j , a{t + d_n) - s(t)    0.5(gt² + 2gtdn + gdf, - gt²)    _ , d„

V{d_n) =-"J-= -- = 9* +tf-T

d_n    d_n    2

jest zbieżny do granicy właściwej gt.

Innymi słowy, gt jest wspólną granicą wszystkich ciągów v(d„) takich, że (d,,) spełnia warunki (I).

W szczególności: dla t = 2 prędkość chwilowa jest równa 10 • 2 = 20 (jednostka: ^).

Iloraz różnicowy

Definicja I. Niech Xo € R oraz niech funkcja f bedzie określona przynajmniej na otoczeniu 0(xq, r). gdzie r > 0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Xq odpowiadającym przyrostowi As, gdzie 0 < |As| < r. zmiennej niezależnej nazywamy liczbę

A/ _ /(*o + A*) - /(xq)

As    As

Pochodna funkcji

Definicja 2. Niech so € R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(so). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie So nazywamy granicę właściwą

/'(s o)= lim

/(*) - /(*o)

S - So

Uwaga. Inaczej mówiąc pochodna funkcji / jest granicą ilorazu różnicowego ^ gdy As —» 0. Mamy zatem

/'(* o) = _A^li,nn *o

/(*0 + As) - /(s₀)

As

2