116465

Model poprawny jest kompletny, logiczny i jednoznaczny. Warunek poprawności modelu jest związany z postulatem poprawnego sformułowania zadania, które posiada rozwiązania w określonych zbiorach, te rozwiązania są jednoznaczne i ciągłe względem parametrów i zmiennych.

Użyteczny model matematyczny powinien zapewniać:

-    istnienie i jednoznaczność rozwiązania równań, z których jest zbudowany, - możliwość uzyskania wyników ilościowych,

-    możliwość empirycznego porównania tych wyników z wielkościami wytwarzanymi przez modelowany system rzeczywisty. Kategorie modeli matematycznych:

-    Model deterministyczny - model, w którym każdemu elementowi u zbioru wielkości wejściowych U przyporządkowany jest jednoznacznie określony element y zbioru wielkości wyjściowych Y. Zależności między zmiennymi oraz same zmienne modelu są ściśle określone.

Model stochastyczny - model, w którym każdemu elementowi u zbioru wielkości wejściowych U odpowiada niejeden, lecz wiele elementów zbioru wielkości wyjściowych Y. Zależności między zmiennymi wejściowymi a zmiennymi wyjściowymi są opisane przez rozkłady prawdopodobieństwa, (przykład: zadania rozładowania kolejek, działanie węzła usługowego (okienko bankowe, kasa, CPN), zadania układania harmonogramów produkcyjnych))

Model dynamiczny - model, w którym wyjście y zależy od wartości wejścia u w całym nieskończonym poprzedzającym przedziale czasowym.

Model statyczny - zaniedbuje właściwości akumulacyjne systemu, zakładając bądź rozpatrywanie obiektu w stanie ustalonym, bądź przemijalność składowych przejściowych w przebiegach poszczególnych zmiennych. Określa jedynie zależności funkcyjne między zmiennymi wejściowymi a zamiennymi wyjściowymi. Przykład: badania operacyjne(Badania operacyjne zajmują się zagadnieniami podejmowania decyzji w systemach sieciowych, systemach obsługi sieciowej, przechowywania i podziału ograniczonych zasobów, wyznaczania ścieżek krytycznych.), badanie zależności między wartościami uśrednionymi, badanie systemów o wejściach wolnozmiennych

Model ciągły - wartości zmiennych modelu określone są w każdej dowolnej chwili t. Czas zmienia się w sposób ciągły, a więc zbiór r wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem nieprzeliczalnym. Modele ciągłe opisujemy przy pomocy równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych.

Model dyskretny - wartości zmiennych modelu określone są w danych dyskretnych chwilach czasu. Czas przyjmuje tylko

wyróżnione wartości dyskretne, a tym samym zbiór r wszystkich wartości zmiennych czasu jest zbiorem przeliczalnym. Modele

dyskretne opisujemy przy pomocy równań różnicowych. Modele dyskretne stosujemy również w przypadku procesu ciągłego,

jeżeli model ten ma służyć do symulacji tego procesu za pomocą komputera

model kwantowy - zmienne modelu przyjmują tylko określone wartości

model skończony - zmienne modelu przyjmują tylko skończoną liczbę wartości

Model stacjonarny - model, którego parametry nie zmieniają się w czasie.

Model niestacjonarny - parametry modelu zmieniają się w czasie.

Modele matematyczne większości systemów rzeczywistych sformułowane są w postaci nieliniowych równań różniczkowych lub różnicowych, są modelami nieliniowymi. Pewne uproszczenia tych modeli prowadzą do stworzenia modeli liniowych.

WYKŁAD 3:

Stanem systemu nazywamy najmniejszą liczbę danych, których znajomość w danej chwili, przy znajomości wielkości wejściowych, począwszy od tej chwili - pozwala jednoznacznie określić stan i wielkości wyjściowe systemu w przyszłości. Wielkości charakteryzujące stan systemu reprezentowane są przez zmienne stanu, których zbiór przedstawiany jest w postaci wektora stanu.

Zmienne stanu to zestaw zmiennych, których znajomość w danej chwili f zawiera całą informację o przeszłości systemu, przy czym powinien to być zestaw o minimalnej liczbie zmiennych.

Przestrzeń stanów - n-wymiarowa przestrzeń, w której każdy stan może być przedstawiony jako punkt w tej przestrzeni.

Zbiór parametrów opisujących właściwości systemu można podzielić na dwie grupy:

parametry techniczne - określają różnicę pomiędzy poszczególnymi systemami działającymi w tych samych warunkach, parametry środowiska i warunków działania - określają różnice pomiędzy warunkami działania tego samego systemu.

System dynamiczny można opisać za pomocą równania stanu. Uzupełnieniem opisu są równania wyjścia określające związek między wielkościami wyjściowymi a zamiennymi stanu i wejścia

Najczęściej stosowaną, a jednocześnie najbardziej ogólną metodą formułowania modeli systemów dynamicznych opisanych przy pomocy równań stanu i równań wyjście jest metoda bilansowa.

Etapy budowy modelu:

• wybór wielkości bilansowych, - ułożenie równań bilansowych, - wybór wielkości stanu, - ułożenie równań stanu, -określenie wielkości wyjściowych.

Innymi metodami formułowania modeli systemów dynamicznych opisanych przy pomocy równań stanu są metody wariacyjne. Ich podstawą są zasady wariacyjne mówiące, że ruch układu dynamicznego przebiega tak, aby charakteryzujący ten układ funkcjonał czasowy, zwany działaniem, osiągnął wartość stacjonarną (zwykle minimalną). Najczęściej wykorzystywana jest zasada wariacyjna Hamiltona (zasada najmniejszego działania). Zasada najmniejszego działania jest najbardziej ogólnym sformułowaniem praw ruchu systemów mechanicznych. Dzięki zastosowaniu odpowiednich analogii zasada ta pozwala budować modele innych systemów (elektromechanicznych, elektrycznych).