121024

Rozwiązaniami równania wiekowego są naprężenia główne:

f ^sl y		OS+O-y .
ItJ ^-Jn	<=>	II N b"	l 2 J

+ r;

Kierunek główny jest normalny do przekroju, w którym naprężenie styczne jest równe zeru. Tak więc kąt, o jaki należy obrócić układ współrzędnych xy aby otrzymać kierunki główne obliczamy z równania:

r_x< y. = -(<j_x - cr_y )sin a cos a + r_xv (cos¹ a- sin ² a) = - i (a_x - <r_v )sin 2ct + r _v cos 2a = 0

2t_xv    ji    .    ^    11    71

tg2a =-^;— => a = a₀±n— (w =1,2,3, ), a₀ e - — ,—

c7_x-cr_v    2    l 4 4J

Kąt a₀ jest kątem, o jaki należy obrócić oś, wzdłuż której występuje większe naprężenie

normalne, aby otrzymać kierunek główny /, tzn.:

jeżeli <r_x ><r_y ,to a₀ = * i**¹) » «o ⁺ i = ł (*>2);

jeżeli < <Ty , to a₀ = ^ (y, /) , a₀ ⁺ f = * (*> />»

jeżeli cr, =cr_v i = r_nłax >0 , to a₀ = * (.x, /) = +f;

jeżeli cr_x = <r_v i = r_nBX < 0 , to a₀ = * (.x, /) = -f

+ 4 =i(5±^5)MPa

Podstawiając wartości liczbowa, otrzymujemy <r_v + o\,

^1.2 =

2t.

= 2 => a₀ = 31,7°; ^><7 więc a₀ = t(.x,I), a₀ + $ = t(x,2)

tg2a =

CT_X-(T_}

Kontrolą poprawności obliczeń jest sprawdzenie niezmienników:

•SJ = (T_x + (Ty = <7j + OS — 5 'f -Sjj — (T_X(Ty — T^y, = (7j(Tt — 5 ^

A'o/o naprężeń Mohra

Istotą konstrukcji graficznej zwanej kołem Mohra jest to, że wyrażenie . [(cr, — cr_v) / 2]² + r ²v , czyli promień kola Mohra, jest niezmiennikiem płaskiej transformacji stanu naprężenia przy obrocie prostokątnego układu współrzędnych xy. W literaturze spotkać można różne sposoby realizacji tej konstrukcji. Przedstawiony poniżej sposób zaczerpnięto z podręcznika Wytrzymałość Materiałów, Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś, WNT W-w^ra, 1996.

Przypadek (a). Dla danego stanu naprężenia w układzie osi xy znaleźć naprężenia główne i odpowiadające im kierunki główne (Rys. 1).

Kolo Mohra prowadzimy przez dw^ra punkty    i /f (ćTy-r^,). Na osi poziomej

odkładamy naprężenia normalne, zaś na pionowej - skierowanej w dół - naprężenia styczne. Łącząc punkty A i A' znajdujemy średnicę i środek S koła Mohra. Kreślimy okrąg o promieniu SA. któiy na osi poziomej wyznacza naprężenia główne <7, oraz os . Zamvażmy, że zachodzą zależności:

2