Zakres wymagań na ustny egzamin maturalny z matematyki - technikum 5-letnie - maj 1996
Tematy teoretyczne - część A
Definicja sumy, iloczynu i różnicy zbiorów A i B. Dopełnienie zbiorów - przykład
Prawa dla zbiorów. Wykazać jedno z praw de Morgana dla zbiorów, np.
Definicja prawa logicznego. Sprawdzić czy zdanie, np.[(p∪q)∧(p⇒q)]⇒(q⇒p) jest tautologią
Definicja formy zdaniowej i jej dziedziny. Zaznaczyć na płaszczyźnie XOY zbiór punktów, których współrzędne spełniają koniunkcję form zdaniowych, np. f(x,y): xy≤1 , g(x,y): |x|=|y|
Zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorem - przykład. Podaj zaprzeczenie zdania, np.
Określenie funkcji okresowej. Wyznaczyć podstawowy funkcji
Definicja funkcji różnowartościowej. Wykazać, że funkcja, np. jest różnowartościowa
Funkcje wzajemnie odwrotne - przykłady, wykresy
Definicja funkcji rosnącej. Wykazać, że funkcja, np. jest rosnąca.
Definicja funkcji malejącej. Wykazać, że funkcja, np. f(x)=-x3+1 jest malejąca.
Definicja funkcji parzystej. Sprawdzić, czy pochodna funkcji, np. f(x)=x3sinx jest parzysta.
Definicja funkcji nieparzystej. Sprawdzić, czy funkcja, np. f(x)=2|x| jest nieparzysta.
Wyprowadzenie wzorów na sumę i iloczyn miejsc zerowych funkcji kwadratowej
Wyprowadzić zależności pomiędzy współczynnikami p. i q postaci kanonicznej a współczynnikami a, b, c postaci ogólnej funkcji kwadratowej.
Definicja wielomianu stopnia n jednej zmiennej. Warunek równości wielomianów. Zbadać, kiedy dwa wielomiany są równe - przykład
Twierdzenie o podzielności wielomianu W(x) przez dwumian x-x0 - dowód
Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x-x0 i jego uzasadnienie
Zasada indukcji matematycznej. Udowodnić, że liczba postaci, np. 10n-4, dla n∈N+ jest podzielna przez 6.
Definicja i własności ciągu arytmetycznego - odpowiednie wzory oraz przykłady
Definicja, własności ciągu geometrycznego - odpowiednie wzory oraz przykłady
Definicja ciągu rosnącego. Sprawdzić, czy ciąg, np. jest rosnący
Definicja ciągu malejącego. Sprawdzić, czy ciąg, np. an=(-1)nn jest malejący.
Definicja granicy właściwej ciągu. Udowodnić, że (na podstawie definicji)
Podaj twierdzenia dotyczące granic ciągów
definicja szeregu geometrycznego, wyprowadzenie wzoru na lego granicę.
Definicja i własności, wykresy funkcji potęgowej - przykłady
Definicja i własności, wykresy funkcji wykładniczej - przykłady
Definicja logarytmu liczby. Wykazać, że, np.
Sformułować twierdzenia o logarytmach liczb dodatnich i rozwiązać np.
Udowodnić twierdzenie dotyczące sumy logarytmów z liczb dodatnich
Udowodnić twierdzenie dotyczące różnicy logarytmów z liczb dodatnich
Udowodnić twierdzenie dotyczące logarytmu potęgi
Definicja i własności funkcji logarytmicznej, np.
Wyprowadzić wzór na sinus kąta podwojonego
Wyprowadzić wzór na cosinus kąta podwojonego
Wyprowadzić wzór na sinus kąta potrojonego
Wyprowadzić wzór na cosinus kąta potrojonego
Wyprowadzić wzór na sumę sinusów sinα+sinβ
Wyprowadzić wzór na różnicę sinusów sinα-sinβ
Wyprowadzić wzór na sumę cosinusów cosα+cosβ
Wyprowadzić wzór na różnicę cosinusów cosα-cosβ
Podać definicję granicy Couchyego granicy właściwej funkcji f(x) w punkcie x0
Podać definicję granicy Heinego funkcji f(x) w punkcie x0 i obliczyć, np.
Definicja funkcji ciągłej w punkcie x0. Zbadać ciągłość funkcji np.
Uzasadnić wzór i obliczyć granicę np.
Definicja pochodnej funkcji y=f(x) w punkcie x0. Oblicz na podstawie definicji pochodną funkcji np. f(x)=x3
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji, rysunek, zastosowanie, przykład
Warunki: konieczny i wystarczający na to, by funkcja y=f(x) była różniczkowalna w punkcie x0. Sprawdzić różniczkowalność funkcji, np.
Podać twierdzenia dotyczące pochodnych funkcji i obliczyć pochodną funkcji, np.
Pochodna funkcji złożonej. Obliczyć pochodną funkcji, np. f(x)=cos23x
Omów monotoniczność funkcji różniczkowalnej. Podać odpowiednie twierdzenia
Definicja kąta między krzywymi. Oblicz, np. sinus kąta przecięcia się wykresów funkcji f(x)=sin(x) i f(x)=cos(x) dla x∈(0,π/2)
Podać i udowodnić twierdzenie o pochodnej sumy dwóch funkcji
Podać i udowodnić twierdzenie o pochodnej różnicy dwóch funkcji
Warunki: konieczny i wystarczający na to, by funkcja y=f(x) posiadała ekstremum w punkcie x0. Kiedy go nie posiada, przykład
Definicja: klasyczna i aksjomatyczna prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład zdarzenia pewnego.
Własności prawdopodobieństwa zdarzenia. Udowodnić jedną z nich.
Definicja prawdopodobieństwa warunkowego. Przykład.
Prawdopodobieństwo całkowite - wzór oraz uzasadnienie.
Zdarzenia niezależne - definicja, wzór. Podać przykład zdarzeń zależnych.
Omówić schemat Bernoulliego. Sformułować i uzasadnić odpowiednie twierdzenie.
Definicja zdarzeń przeciwnych. Wykazać, że suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest równa 1.
Definicja i własności izometrii. Przykład przekształcenia nie będącego izometrią.
Translacja o wektor - definicja, wyprowadzenia wzorów na współrzędne obrazu punktu P(x,y) w translacji o wektor.
Jednokładność o środku O i skali s - definicja, wyprowadzenie wzorów na współrzędne obrazu punktu P(x,y) w jednokładności o środku O(0,0) i stosunku s.
Udowodnić metodą wektorową, że odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą podstawie długości tego boku.
Definicja iloczynu skalarnego wektorów oraz własności z niej wynikające.
Wyprowadzić wzór na iloczyn skalarny wektorów ,
Wyprowadzić wzór na cosinus kąta między wektorami ,
Wyprowadzić równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A(x1,y1), B(x2,y2)
Omówić warunek równoległości prostych A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0
Omówić warunek prostopadłości prostych A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0
Omówić warunek równoległości wektorów ,
Omówić warunek prostopadłości wektorów ,
Udowodnić metodą wektorową, że odcinek łączący środki dwóch ramion trapezu jest równoległy do obu jego podstaw i ma długość równą sumie długości tych podstaw.
Podaj i uzasadnij twierdzenie dotyczące czworokąta opisanego na okręgu.
Podaj i uzasadnij twierdzenie dotyczące czworokąta wpisanego w okrąg.
Sformułować i udowodnić twierdzenie sinusów
Sformułować i udowodnić twierdzenie cosinusów.
Omówić warunki styczności prostej z krzywym stopnia II-go: okręgiem, elipsą, hiperbolą i parabolą
Tematyka zadań - część B
Działania na zbiorach liczbowych
Działania na zbiorach punktowych. Interpolacje geometryczne zbiorów par liczb.
Badanie monotoniczności, parzystości, nieparzystości, okresowości funkcji
Wykresy funkcji, równania, nierówności z modułami (wartością bezwzględną)
Równania, nierówności liniowe
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych z parametrem
Zadania z zastosowaniem funkcji kwadratowej
Równania, nierówności kwadratowe
Funkcje, równania, nierówności kwadratowe z parametrem
Zadania z zastosowaniem miejsc zerowych wielomianu, podzielności wielomianu przez dwumian, reszty z dzielenia przez dwumian x- x0
Równania i nierówności wielomianowe
Równania i nierówności wymierne
Zastosowanie symbolu n!, dwumianu Newtona w zadaniach
Zadania z zastosowaniem ciągów: arytmetycznego, geometrycznego
Obliczanie granic ciągów
Zadania z zastosowaniem szeregu geometrycznego (ciągu geometrycznego nieskończonego zbieżnego do zera)
Wykresy funkcji elementarnych (liniowa, kwadratowa, potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczna)
Równania i nierówności wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne
Tożsamości trygonometryczne
Zadania z zastosowaniem funkcji wykładniczej, logarytmicznej, trygonometrycznej
Obliczanie granic funkcji
Badanie ciągłości funkcji
Obliczanie pochodnej z definicji
Badanie różniczkowalności funkcji
Zastosowanie interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji
Zastosowanie pochodnej przy badaniu monotoniczności i ekstremów funkcji
Krótkie zadanie tekstowe na ekstremum funkcji
Zadania na obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń
Zadania z zastosowaniem przekształceń geometrycznych
Zadania na zastosowanie wektorów, równań prostej na płaszczyźnie XOY
Zadania z geometrii płaszczyzny
Zadania z planimetrii płaszczyzny
Układy równań stopnia I i II
Układy równań stopnia II
Zadania na zastosowanie styczności prostej z krzywymi stopnia II (okrąg, elipsa, hiperbola, parabola)