IV. Szeregi liczbowe i funkcyjne

4.1 Szereg liczbowy. Definicja sumy szeregu

Podstawowe wiadomości teoretyczne.

Szereg liczbowy to wyrażenie napisane w postaci sumy nieskończonej liczby składników:

U₁+U₂+U₃+..+U_n+..=

Liczby U₁,U₂,U₃,.. nazywamy wyrażeniem szeregu, a symbol U_n oznacza wyraz ogólny szeregu.

Np.

Niektórym szeregom przypisujemy liczby, które nazywamy ich sumami. Aby tego dokonać, piszemy tzw. sumy częściowe (cząstkowe) szeregu .

Np. S₁=U₁

S₂=U₁+U₂

S₃=U₁+U₂+U₃

............

S_n= U₁+U₂+U₃+..+U_n

..................

Otrzymane liczby S₁, S₂, S₃, .., S_n ustawiamy w ciąg i mówimy, że szeregowi liczbowemu przypisujemy sumę S wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jego sum częściowych na granicę S. Wtedy mówimy, że szereg jest zbieżny do sumy S.

Jeżeli szereg nie jest zbieżny to jest rozbieżny.

Szereg rozbieżny to taki, którego ciąg sum częściowych nie ma granicy. W przypadku, gdy szereg jest zbieżny do sumy S to możemy zapisać, że

=S

Z definicji sum częściowych oraz sumy szeregu wynikają bezpośrednio następujące wnioski:

1) Jeżeli szereg jest zbieżny i ma sumę S, to szereg jest zbieżny i ma sumę „cS”.

2) Jeżeli szereg jest rozbieżny i c≠0 to szereg jest też rozbieżny.

3) Jeżeli dwa szeregi i są zbieżne to szereg jest zbieżny, a jeżeli przy tym szereg pierwszy ma sumę S_1, a drugi s₂, to szereg ma sumę (S₁+S₂).

4) Jeżeli tylko jeden z szeregów lub jest rozbieżny to szereg jest rozbieżny. Ale z rozbieżności dwu szeregów nie wynika ani zbieżność, ani rozbieżność trzeciego szeregu.

5) Jeżeli szereg jest zbieżny, to skreślając w nim pewną skończoną liczbą wyrazów lub dodając skończoną sumę nowych wyrazów, otrzymamy nowy szereg zbieżny. Zmieni się tylko jego suma.

Jeżeli szereg jest rozbieżny, to wspomniane działania nie uczynią go zbieżnym.

6) Zmiana porządku skończonej liczby wyrazów szeregu nie zmienia problemu jego zbieżności, a jeżeli był zbieżny nie zmienia też jego sumy.

Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest to, żeby jego wyraz ogólny U_n dążył do zera.

Warunek powyższy nie jest jednak warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu.

Stwierdzimy, że możemy z tego wnioskować, że szereg jest rozbieżny

Jeżeli jednak to jeszcze nie możemy stwierdzić, że szereg na pewno jest zbieżny. Może być zbieżny, ale nie musi.

Przykład szeregu harmonicznego

wskazuje, że są szeregi rozbieżne, które też mają składniki dążące do zera.

Badanie zbieżności szeregów nie jest sprawą łatwą.

Ze względu na metody badania zbieżności szeregów wygodnie jest wyodrębnić dwie grupy:

1. Szeregi, które mają wszystkie wyrazy dodatnie (nieujemne), np..:

2. Szeregi w których wyrazy dodatnie i ujemne występują regularnie na przemian, np..:

-2+2²-2³+..+(-2)ⁿ+..=

Istnieją także szeregi, które nie należą do żadnej z grup wyżej wymienionych, np..:

-1-2+3+4-5-6+7+8-..=

Podamy kilka twierdzeń tzw. kryteriów zbieżności, które pozwolą na ogół w prosty sposób stwierdzić, czy dany szereg jest zbieżny.

4.2 Szeregi o wyrazach dodatnich (nieujemnych)

Podstawowe wiadomości teoretyczne

Wyróżniamy następujące kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich:

1) Kryterium porównawcze

a) zbieżności szeregów:

Jeżeli dla szeregu , gdzie U_n≥0, można wskazać taki szereg zbieżny , że począwszy od pewnego miejsca (tzn.. dla każdego n≥N₀) zachodzi nierówność U_n≤V_n to szereg jest również zbieżny

b) rozbieżności szeregów:

Jeżeli dla szeregu można wskazać taki szereg rozbieżny (gdzie V_n≥0), że począwszy od pewnego miejsca (tzn.. dla każdego n≥N₀) zachodzi nierówność U_n≥V_n to szereg jest również rozbieżny.

Przy stosowaniu tego kryterium staramy się tak dobrać szereg , aby jego zbieżność lub rozbieżność była znana lub łatwiejsza do zbadania niż zbieżność szeregu badanego .

2) Kryterium d'Alemberta

a) zbieżności szeregów:

Jeżeli w szeregu o wyrazach dodatnich począwszy od pewnego miejsca N₀(tzn.. dla każdego n≥N₀) stosunek dowolnego wyrazu U_n+1 do poprzedzającego wyrazu U_n jest nie mniejszy od pewnej liczby p mniejszej od 1 tzn.. jeżeli:

dla każdego n≥N₀

to szereg jest zbieżny.

b) rozbieżności szeregów:

Jeżeli w szeregu o wyrazach dodatnich począwszy od pewnego miejsca N₀ (tzn.. dla każdego n≥N₀) stosunek dowolnego wyrazu U_n+1 do poprzedzającego wyrazu U_n jest nie mniejszy od jedności tzn.. jeżeli:

to szereg jest rozbieżny.

Wnioski!!!

1)Jeżeli to szereg jest zbieżny

2)Jeżeli to szereg jest rozbieżny

3)Jeżeli to przypadek wątpliwy, należy wtedy stosować inne metody badania zbieżności szeregów.

3) Kryterium Cauchy'ego

a) zbieżności szeregów:

Jeżeli dla szeregu o składnikach nie ujemnych istnieje taka liczba p<1, że począwszy od pewnego miejsca N₀ (tzn.. dla każdego n≥N₀) zachodzi nierówność

to szereg jest zbieżny

b) rozbieżności szeregów:

Jeżeli dla szeregu dla nieskończenie wielu wartości n (niekoniecznie dla wszystkich) zachodzi nierówność

to szereg jest rozbieżny

Wnioski!!!

1)Jeżeli to szereg jest zbieżny

2)Jeżeli to szereg jest rozbieżny

3)Jeżeli to przypadek jest wątpliwy.

4.3 Szeregi o dowolnych wyrazach - szeregi przemienne

Podstawowe wiadomości teoretyczne)

Szereg nazywamy przemiennym, jeżeli jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne.

Łączenie wyrazów w grupy jak i zmiana kolejności składników w szeregu przemiennym jest zabroniona, gdyż może doprowadzać do fałszywych wniosków.

Np. szereg:

1-1+1-1+1-1+..(-1)ⁿ⁺¹+..=

jest rozbieżny, gdyż ciąg sum cząstkowych S_n przybiera na przemian wartość 1 (dla ilości wyrazów nieparzystych) lub 0 (gdy ilość wyrazów już parzysta)

A gdybyśmy np.. połączyli wyrazy następująco:

(1-1)+(1-1)+..

to szereg ten jest zbieżny i suma jego równa się 0. Łącząc zaś następująco:

1+(1-1)+(1-1)+..

otrzymamy szereg również zbieżny, ale którego suma jest równa 1.

Badanie zbieżności szeregów przemiennych opiera się najczęściej na następującym twierdzeniu:

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów

Jeżeli w szeregu przemiennym począwszy od pewnego miejsca N₀ bezwzględne wartości wyrazów szeregu dążą monotonicznie do zera, tzn.. dla każdego n>N₀ spełnione są warunki:

1)

2)

to szereg jest zbieżny.

Warunek (2) jest warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu, natomiast w kryterium Leibniza musi być spełniony dodatkowo warunek (1).

Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów

Jeżeli szereg , którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym szeregu , jest zbieżny, to szereg też jest zbieżny.

Szereg nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg jest zbieżny

Np. szereg jest bezwzględnie zbieżny, ponieważ szereg jest zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu α=2

Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.

Np. szereg anharmoniczny

jest warunkowo zbieżny, a nie jest bezwzględnie zbieżny, gdyż szereg bezwzględnych wartości jego wyrazów stanowi rozbieżny szereg harmoniczny .

Przy badaniu zbieżności szeregów, które nie należą do żadnej z wyżej wymienionych grup stosuje się często podane już kryterium bezwzględniej zbieżności szeregów.

Jeżeli ciąg liczb:

a₁,a₂,a₃,..,a_n,..

dąży monotonicznie do zera, to szereg utworzony z tych liczb o postaci następującej

a₁-a₂+a₂-a₄+..=

jest zbieżny.

Zadania:

4.1 Wykazać rozbieżność szeregu harmonicznego

4.2 Wykazać rozbieżność szeregu , gdzie α<1.

4.3 Wykazać zbieżność szeregu , gdzie α>1.

4.4 Zbadać zbieżność szeregów:

a) b)

c) d)

4.5 Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium porównawczego:

a) b) c) d)

4.6 Zbadać zbieżność szeregów badając granicę ciągu sum częściowych:

a) b) c) d)

4.7 Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium d'Alemberta

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

4.8 Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium Cauchy'ego

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

4.9 Zbadać zbieżność poniższych szeregów. Określić, czy są to szeregi zbieżne bezwzględnie, czy zbieżne warunkowo, czy też rozbieżne

a) b)

c) d)

e) f)

g)

4.10 Zbadać zbieżność szeregów:

a) b) 0<α<1

c) d)

e)

f)

4.4 Szeregi funkcyjne

Podstawowe wiadomości teoretyczne.

Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przypisana jest funkcja U_n(x) to wyrażenie:

U₀(x)+U₁(x)+U₂(x)+U₃(x)+..+U_n(x)+..=

nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Sumą S_n(x) szeregu funkcyjnego nazywamy granicę ciągu sum częściowych szeregu, tzn.. granicę ciągu funkcyjnego

S_n(x)= U₀(x)+U₁(x)+U₂(x)+..+U_n(x)

Szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze Z, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny jednostajnie w zbiorze Z lub mówimy, że szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w zbiorze Z, jeżeli dla każdego ε>0 istnieje takie N₀, że dla każdego n≥N₀ oraz dla każdego x∈Z zachodzi nierówność.

Nie ma ogólniej metody badania czy w pewnym zbiorze Z dany szereg jest zbieżny jednostajnie, ale w wielu szeregach rozważanych w technice można z korzyścią posłużyć się następującym twierdzeniem - kryterium:

Kryterium Weierstassa

Jeżeli istnieje ciąg liczb dodatnich b_n spełniających nierówność

|U_n(x)|≤b_n

dla wszystkich liczb x pewnego zbioru Z i wskaźników n>n₀ oraz jeśli szereg

jest zbieżny to szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie w zbiorze Z.

Np. szereg

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze R (wszystkich liczb rzeczywistych) ponieważ dla każdej liczby x jest

a szereg liczbowy jest zbieżny.

Szereg funkcyjny o ogólnym wyrazie:

a_n(x-x₀)ⁿ

nazywamy szeregiem potęgowym o środku X₀.

Będziemy badali przede wszystkim szeregi potęgowe o środku x₀=0 tzn.. szeregi postaci:

a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+..+a_nXⁿ+..=

np..:

1-x+2x²-3x³+..+(-1)ⁿ⁺¹nxⁿ+..

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy taką liczbę R≥0, że dany szereg jest zbieżny dla wartości x spełniającej nierówność |x|<R, a dla wartości |x|>R jest rozbieżny. Natomiast dla x=-R i dla x=R szereg może być zarówno zbieżny jak i rozbieżny.

Przedział -R<x<R nazywamy przedziałem zbieżności.

Jeżeli dany szereg jest zbieżny dla każdej wartości x, to mówimy, że promień zbieżności R jest nieskończenie wielki i piszemy R=+∞.

Jeżeli dany szereg dla każdej wartości x≠0 jest rozbieżny, to mówimy, że R=0.

Stąd wniosek, że zawsze istnieje skończony lub nieskończony promień zbieżności szeregu potęgowego.

Twierdzenie o promieniu zbieżności

Założenie, że dany jest szereg a_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+..+a_nXⁿ+..=, a_n-współczynniki szeregu. Jeżeli istnieje granica (względnie granica ), gdzie a_n≠0, n∈N to promień zbieżności R szeregu potęgowego jest określony następującym wzorem

Jeżeli funkcja f(x) ma n-tą pochodną f⁽ⁿ⁾(x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego x z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora:

gdzie , przy czym 0<θ<1 jest resztą wzoru Taylora w [postaci Lagrange'a. Funkcję f(x) można więc zapisać jako .

Suma pierwszych n składników prawej strony wzoru to wielomian W_n-1(x) stopnia n-1.

Napiszmy wzór Taylora w postaci:

f(x)=W_n-1(x)+R_n(x)

Jak widać jest to szereg potęgowy, nazywany szeregiem potęgowym Taylora.

Szereg ten przedstawia rozwinięcie funkcji f(x) w szereg

Jak widać funkcje f(x) można przedstawić w postaci szeregu Taylora jeżeli:

1) funkcja f(x) ma pochodne dowolnego rzędu n w przedziale (a-δ;a+δ)

2) w przedziale (a-δ,a+δ) jest .

W wielu przypadkach rozwijamy funkcję w przedziale dookoła wartości 0.

Podstawiając a=0 otrzymujemy tzw. rozwinięcie MacLaurina (szereg MacLaurina).

więc

Zadania:

4.11 Zbadać zbieżność szeregów korzystając z kryterium Weierstrassa.

a), dla x∈R b)

c)

4.12 Znaleźć promień zbieżności szeregu

a) b)

c) d)

e) f)

g)

4.13 Rozwinąć w szereg potęgowy Taylora funkcję.

f(x)=10x⁵+7x⁴-12x³+x²-3x+5

4.14 Rozwinąć w szereg potęgowy MacLaurina funkcję.

a)f(x)=sin(x) b)f(x)=cos(x)

c)f(x)=e^x d)f(x)=(1+x)^s, gdzie s∈R-{0}

e)f(x)= f)f(x)=sin(x)cos(x)

g)f(x)=sin²(x) h)f(x)=tg(x)

i)f(x)=sinh(x) j)f(x)=cosh(x)

k)f(x)= l)f(x)=

ł)f(x)=xe^-x m)f(x)=

V. Macierze i wyznaczniki

5.1 Macierze - definicja

Macierzą o wymiarach mxn (lub krótko macierzą) nazywamy prostokątną tablicę liczb, która ma m wierszy i n kolumn.

Macierz będziemy zapisywali w postaci:

Liczby a_ik są elementami macierzy, gdzie wskaźnik i oznacza numer wiersza, a k-numer kolumny w której występuje element a_ik.

Macierz w skróconej postaci można zapisać następująco:

lub

Jeżeli m=n to macierz nazywa się macierzą kwadratową.

Mówimy wtedy, że jest to macierz kwadratowa o n wierszach i n kolumnach co zapisujemy:

Powyższą macierz kwadratową nazywamy macierzą kwadratową stopnia n, a liczba n jej stopniem

Macierze nazywamy podobnymi jeżeli mają ten sam wymiar.

Dwie macierze nazywamy równe jeżeli są podobne i mają na odpowiednich miejscach te same elementy.

Np.

Relacja równości macierzy jest:

1) zwrotna tzn.. A=A

2) symetryczna tzn.. jeżeli A=B to B=A

3) pochodnia tzn.. jeżeli A=B, B=C to A=C

Macierz zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy są równe zeru. Macierz zerową oznaczamy przez 0, np..:

lub

UWAGA!!!

Macierzy nie przypisujemy wartości liczbowej. Jeżeli elementami macierzy są funkcje, to macierz tę nazywamy macierzą funkcyjną, a jej wyznacznik, wyznacznikiem funkcyjnym.

det(A)=

W macierzy A skreślimy pewną ilość wierszy i kolumn (lub tylko wierszy lub tylko kolumn) tak aby powstała macierz kwadratowa.

Z elementów tej macierzy utwórzmy wyznacznik. Tak utworzony wyznacznik nazywamy minorem macierzy. Mówimy, że macierz A jest rzędu r(A), jeżeli istnieje minor stopnia r różny od zera, a nie istnieje różny od zera minor stopnia wyższego.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy są równe zero, to przyjmujemy, że rząd jej jest równy zero.

5.2 Wyznaczniki - i ich własność

Podstawowe wiadomości teoretyczne

Z każdą macierzą kwadratową związana jest pewna liczba, którą oznaczać będziemy symbolem det. (od słowa determinare - wyznaczać) i nazywać wyznacznikiem tej macierzy.

Np. niech dana będzie macierz

to wyznacznikiem macierzy A czyli det(A) będzie tablicą kwadratową ujętą dwiema równoległymi kreskami po prawej i po lewej stronie w odróżnieniu od macierzy, którą ujmujemy w nawias kwadratowy

Elementy macierzy są jednocześnie elementami wyznacznika a stopień macierzy jest jednocześnie stopniem wyznacznika. Mówimy ponadto, że wyznacznik stopnia n ma n wierszy i n kolumn.

5.2.1 Obliczanie wyznaczników

Gdy wyznacznik jest stopnia pierwszego tzn... n=1 to definiujemy wyznacznik wzorem

gdy A=[a₁₁], to det(A)=a₁₁

Gdy wyznacznik jest stopnia drugiego tzn... n=2 to obliczamy go za pomocą następującego wzoru

Gdy wyznacznik jest stopnia trzeciego tzn... n=3 to do wyznaczania wyznacznika stosujemy tzw. regułę (metodę) Sarrusa często nazywamy schematem Sarrusa.

Polega ona na tym, że poniżej wyznacznika stopnia trzeciego dopisujemy najpierw pierwszy wiersz, a po nim drugi wiersz tego wyznacznika. Następnie tworzymy sześć iloczynów (po trzy czynniki w każdym), z których trzy bierzemy nie zmieniając znaków, a w trzech pozostałych iloczynach zmieniamy ich znaki tak jak pokazuje poniższy schemat, a następnie wszystkie sześć iloczynów sumujemy.

lub

Obliczanie wyznaczników wyższych stopni (n>3) opieramy na wzorze rekurencyjnym:

gdzie a_ik - element i-tego wiersza i k-tej kolumny

W_ik- wyznacznik stopnia n-1 powstały przez skreślenie w danej macierzy otrzymanych i-tego wiersza i k-tej kolumny.

Często wyznacznik W_ik nazywamy podwyznacznikiem elementu macierzy A lub minorem wyznacznika stopnia n odpowiadającego elementowi a_ik.

Iloczyn minora odpowiadającego elementowi a_ik przez czynnik (-1)^i+k nazywamy dopełnieniem algebraicznym A_ik elementu a_ik.

A_ik=(-1)^i+kW_ik

Twierdzenie o rozwinięciu wyznacznika

Wyznacznik jest sumą wszystkich iloczynów elementów dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) i ich dopełnieniem algebraicznym.

5.2.2 Własności wyznaczników

1. Jeżeli w wyznaczniku przestawimy wiersze na miejsce kolumn nie zmieniając ich kolejności (tzn... pierwszy wiersz na miejsce pierwszej kolumny, drugi wiersz na miejsce drugiej kolumny) to wyznacznik nie zmieni swojej wartości

2. Jeżeli w wyznaczniku przestawimy dwa wiersze albo dwie kolumny to wyznacznik zmieni swoją wartość na przeciwną.

3. Jeżeli wyznacznik ma dwa wiersze lub dwie kolumny jednakowe to jego wartość równa się zero.

lub

4. Jeżeli wyznacznik ma jakiś wiersz lub jakąś kolumnę złożoną z samych zer to jego wartość równa się zero.

lub

5. Jeżeli wszystkie kolumny dowolnego wiersza (dowolnej kolumny) wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę k, to wartość wyznacznika zostanie pomnożone przez tę liczbę k.

czyli det(k*A)=k*det(A)

6. Jeżeli do elementów dowolnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika dodamy (lub odejmiemy)

a) elementy innego wiersza,

b) elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną liczbę, to wartość wyznacznika nie zmieni się.

lub

5.3 Działania na macierzach

Podstawowe wiadomości teoretyczne

1) Podawanie macierzy

Sumę dwóch macierzy A i B podobnych nazywamy macierz, której elementy są sumami odpowiednich elementów tych macierzy.

Zatem zachodzi równość: A+B=C

gdzie C_ij=a_ij+b_ij, dla i=1,2,..,m, j=1,2,..,n

Dodawanie macierzy podobnych na następujące własności:

- łączność tzn... A+(B+C)=(A+B)+C

- przemienność tzn... A+B=B+A

2) Odejmowanie macierzy

Różnicę dwóch macierzy A i B podobnych nazywamy macierz, której elementy są równe różnicy odpowiednich elementów tych macierzy.

Zatem zachodzi równość: A-B=C

gdzie c_ij=a_ij-b_ij dla i=1,2,..,m, j=1,2,..,n

3) Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz, której elementy są równe iloczynom elementów macierzy A przez tę liczbę α.

Zatem zachodzi równość:

gdzie C_ij=α*a_ij, dla i=1,2,..,m, j=1,2,..,n

4) Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsza macierz ma tyle kolumn ile druga macierz na wierszy.

Jeżeli macierz A na wymiar mn, a macierz B na wymiar nk to macierz C=A*B na wymiar mk.

gdzie c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+..+a_inb_nk=

Element C_ij znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie jest sumą iloczynów elementów i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.

Mnożymy więc pierwszy element i-tego wiersza macierzy A przez pierwszy element j-tej kolumny macierzy B, dodajemy iloczyn drugich elementów i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B itd.

Zauważmy, że może być wykonalne mnożenie AB i równocześnie może nie być wykonalne mnożenie BA. A jeżeli nawet wykonalne jest mnożenie AB oraz mnożenie BA, to te iloczyny nie muszą być równe.

Własności mnożenia macierzy:

1) Iloczyn macierz jest łączny

A*(B*C)=(A*B)*C

2) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy (odejmowanie macierzy)

(A ± B)*C=A*C ± B*C

C*(A ± B)=C*A ± C*B

Oczywiście zakładamy, że odpowiednie działania na macierzach są wykonalne.

3) Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy Iloczynowi wyznaczników tych macierzy.

det(A*B)= det(A)*det(B)

Twierdzenie Cauchy'ego.

4) Iloczyn dwóch macierzy z których jedna przynajmniej jest macierzą zerową równa się macierzy zerowej

A*O=O oraz O*A=O

5.4 Specjalne macierze kwadratowe

Podstawowe wiadomości teoretyczne

1. Macierz osobliwa

Macierzą osobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik równa się zero.

det(A)=O

2. Macierz nieosobliwa

Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera

det(A)≠0

3. Macierz symetryczna

Główną przekątną macierzy kwadratowej nazywamy przekątną, na której leżą elementy o jednakowych dwu wskaźnikach:

Macierzą symetryczną nazywamy macierz, której elementy spełniają równość:

a_ij=a_ji dla wszystkich i,j

oznacza to, że elementy symetryczne względem głównej przekątnej są równe, np..:

4. Macierz skośnie symetryczna

Macierz skośnie symetryczna jest to taka macierz kwadratowa, której elementy spełniają równość:

a_ij=-a_ji dla wszystkich i,j

Zatem elementy symetryczne względem głównej przekątnej różnią się znakiem.

Np.

5. Macierz diagonalna

Macierzą diagonalną lub przekontniową nazywamy macierz kwadratową, której elementy stojące na głównej przekątnej są różne od zera, a pozostałe elementy są równe zerem.

Elementy macierzy diagonalnej spełniają więc warunek

a_ij=0 dla i≠j

a_ij≠0 dla i=j

np...:

6. Macierz jednostkowa

Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której elementy różne od zera, np... równe jedności.

Zatem macierz jednostkowa jest to macierz diagonalna, która ma na głównej przekątnej elementy równe 1.

Wobec tego elementy macierzy jednostkowej spełniają warunek:

a_ij=δ_ij

gdzie δ_ij jest to tzw. symbol Kroneckera

Macierz jednostkową oznaczamy symbolem I.

Macierz jednostkowa ma postać:

Dla każdej dowolnej macierzy A (niekoniecznie kwadratowej) można dokonać odpowiedniego wymiaru macierze jednostkowe, tak aby były wykonalne mnożenie I₁A oraz AI₂.

Jeżeli macierz A ma wymiar mn, to macierz I₁ ma wymiar mm, a macierz I₂ ma wymiar nn.

Łatwo sprawdzić, że

I₁A=A lub AID₂=A

Mnożenie macierzy A przez macierz jednostkową lewostronnie, jak i prawostronnie nie zmienia danej macierzy.

Macierz jednostkowa przy mnożeniu macierzy spełnia analogiczną rolę jak liczba 1 przy mnożeniu liczb: a*1=a oraz 1*a=a.

Wyznacznik macierzy jednostkowej jest równy jedności

det(I)=1

5.5 Zastosowanie macierzy do równań liniowych

Układ n równań liniowych o n niewiadomych ma postać:

gdzie x_1,x₂,..,x_n- niewiadome, a a₁₁,a₁₂,..,a_nn są współczynnikami.

Utwórzmy wyznacznik W ze współczynników przy niewiadomych:

Podobnie utwórzmy wyznacznik W_x1;W_x2;.. aż do W_xn.

......................

Układ n równań o n niewiadomych nazywamy układem Cramera, gdy wyznacznik W zwany wyznacznikiem głównym układu jest różny od zera.

W≠0

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyrażają zależności:

; ; .. ;

Jest to układ równań oznaczony.

Jeżeli natomiast W=0 i W_x1=0, W_x2=0,..,W_xn=0 to układ n równań o n niewiadomych jest nieoznaczony.

Natomiast jeżeli spełniony jest warunek W=0, W_x1≠0, W_x2≠0,.., W_xn≠0 to układ równań nazywamy sprzeczny.

Układ n równań o n niewiadomych nazywamy jednorodnym gdy b₁=b₂=b₃=..=b_n=0.

Gdy co najmniej jeden ze współczynników b₁, b₂, b₃,..,b_n jest różny od zera to układ nazywamy niejednorodnym.

Oczywiście układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe tzn... x₁=x₂=x₃=..=x_n=0.

Jeżeli układ n równań jednorodnych o n niewiadomych jest układem Cramera, to ma on tylko rozwiązanie zerowe gdy W≠0, W_x1=0, W_x2=0,..,W_xn=0.

Wynika stąd, że warunkiem koniecznym na to aby układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe jest W=0

Układ ten ma wtedy nieskończenie wiele rozwiązań w tym również i rozwiązania zerowe.

(Układ równań nieoznaczony).

Niech dany będzie układ m równań o n niewiadomych

przy czym równania mogą być jednorodne lub niejednorodne.

Liczba równań może być mniejsza od liczby niewiadomych (m<n), może być równa liczbie niewiadomych (m=n) i może być większe od liczby niewiadomych (m=n).

Utworzymy macierz powstałą ze współczynników stojących przy niewiadomych układu.

Następnie utwórzmy macierz powstałą przez dopisanie do macierzy W kolumny utworzonej z wyrazów wolnych układu.

Macierz U nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) macierzy W.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego mówi o rozwiązalności układu m równań o n niewiadomych.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych jest równość rzędu macierzy W ze współczynników układu i rzędu macierzy uzupełnionej U

r=r(W)=r(U)

Jeżeli wspólny rząd r tych macierzy równa się liczbie niewiadomych n (r=n) to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

- gdy wspólny rząd r jest mniejszy od liczb niewiadomych n (r=n) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n-r dowolnych parametrów.

Jeżeli r(W)≠r(U) wtedy nie spełniony jest warunek rozwiązalności układu, tzn... układ ten nie posiada rozwiązania czyli jest układem sprzecznym (r(U)>r(W))

Aby zastosować zapis macierzowy do układu n równań liniowych o n niewiadomych wprowadzimy kilka pojęć związanych z macierzami specjalnymi.

Macierz transponowana (przestawiona) A^T.

Macierzą transponowaną macierzy A nazywamy macierz powstałą z macierzy A przez zmianę kolumn na wiersze i wierszy na kolumny bez zmiany ich kolejności [a_ij]_mxn=[b_ij]_nxm.

Jeżeli macierz A jest macierzą symetryczną to

A=A^T

Jeżeli macierz A jest macierzą skośnie symetryczną to

A=-A^T

Jeżeli macierz A jest macierzą kwadratową to wyznacznik danej macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej

det(A)=det(A^T)

Macierz dopełnień algebraicznych A^K

Macierzą dopełnień algebraiczych danej macierzy kwadratowej nazywamy macierz, która układa się z dopełnień algebraicznych elementów danej macierzy.

Jeżeli

to macierz dopełnień algebraicznych

gdzie A_ij dopełnienia algebraiczne elementu a_ij.

Macierz dołączona A^D

Macierzą dołączoną nazywamy transponowana (przestawioną) macierz dopełnień algebraicznych.

A^D=(A^K)^T=(A^T)^K

Porządek działań oznaczonych symbolicznie literami K, T jest obojętny.

Macierz odwrotna A^-1

Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej nieosobliwej A nazywamy iloraz macierzy dołączonej A^D przez wyznacznik macierzy A

Jeżeli det(A)≠0 (gdy A macierz osobliwa).

Iloczyn lewostronny i prawostronny macierzy A przez macierz do niej odwrotną jest równy macierzy jednostkowej.

A^-1A=AA^-1=1

Wtedy postać macierzowa układu równań jest następująca:

A*X=B równanie macierzowe układu równań

gdzie

, ,

Jeżeli równanie macierzowe pomnoży się lewostronnie przez A^-1 to otrzymamy:

A^-1AX=A^-1B

ponieważ: A^-1A=I oraz IX=X, wiec X=A^-1B

Oczywiście zakładamy, że macierz A jest nieosobliwa.

Rozwiązanie powyższe daje rozwiązanie dane układu n równań o n niewiadomych w postaci wynikowej macierzy jednokolumnowej X.

Możemy uzupełnić definicję macierzy podobnej.

Macierze A i C są podobne jeżeli istnieje taka macierz nieosobliwa D, że:

C=DAD^-1

Macierz ortogonalna - „A^*”

Macierz kwadratową A

nazywamy macierzą ortogonalna gdy odwrotna do niej macierz A^-1 równa się macierzy przestawionej tzn.. gdy:

A^-1=A^T

i oznaczamy ją symbolem A^*.

Gdy macierz A jest macierzą ortogonalną to wówczas zachodzą zależności:

AA^T=AA^-1=I oraz A^TA=I

Przykład macierzy A^*

,

Macierz odwrotna równa się

a macierz transponowana

więc A^-1=A^T

Własności macierzy ortogonalnej:

1) Suma kwadratów wszystkich elementów dowolnego wiersza oraz dowolnej kolumny macierzy ortogonalnej równa się „1” tzn..

dla i=1,2,..,n, j=1,2,..,n

2) Suma iloczynów wszystkich odpowiednich elementów dwóch różnych wierszy oraz dwóch różnych kolumn macierzy ortogonalnej równa się zero, tzn..

dla i≠j i,j=1,2,..,n

raz

dla k≠l k,l=1,2,..,n

Zauważmy również, że dla macierzy ortogonalnej A^*

det(A)*det(A^T)=det(I)

ale

det(A^T)=det(A),

a

det(I)=1

więc

(det(A))²=1

stąd

det(A)=±1

Wyznacznik macierzy ortogonalnej może być równy -1 lub +1.

Równanie charakterystyczne (wiekowe) macierzy

Gdy w macierzy A_nxn na przekątnej głównej odejmiemy od każdego elementu zmienną λ to otrzymamy nową macierz.

Porównując do zera wyznacznik z tej macierzy otrzymujemy:

obliczając wyznacznik tworzymy równanie stopnia „n” względem zmiennej λ.

Równanie powyższe nazywamy równaniem charakterystycznym (lub wiekowym) macierzy A.

Pierwiastki tego równania nazywamy wartościami własnymi macierzy A.

czyli macierz

A-λI

jest macierzą charakterystyczną:

det(A-λI)

nazywamy wyznacznikiem charakterystycznym.

Zachodzi tu twierdzenie Cayley-Hamiltona:

Dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swego równania charakterystycznego.

Zadania:

5.1 Opierając się na właściwościach wyznaczników wykazać, że następujące wyznaczniki równe są 0

a) b)

c) d)

e) f)

5.2 Obliczyć wyznaczniki:

a) b)

c) d)

e) f)

5.3 Sprawdzić tożsamość:

a) b)

5.4 Rozwiązać równania:

a) b)

5.5 Rozwiązać nierówność:

a) b)

5.6 Dane są macierze:

znaleźć:

a)A+B b)A-C c)A+B+C d)A-2B+3C

5.7 Zbadać, czy istnieje macierz X spełniająca równość: 2 A + 3 X = B,

gdzie

i w przypadku istnienia znaleźć ją.

5.8 Obliczyć iloczyny macierzy:

a) i

b) i

c) d)

e)

f)

5.9 Dane są macierze A, B, C:

znaleźć

a)AB b)BC c)(ABC)²

5.10 Znaleźć AB - BA jeżeli:

a)

b)

5.11 Wyznaczyć macierz X, która spełniałaby równanie:

a) b)

c) d)

5.12 Dane są macierze:

,

Wykazać, że A*B=0 a BA≠0.

5.13. Znaleźć rząd macierzy:

a) b)

c) d)

e)

5.14 Wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych macierzy A,B,C

5.15 Wyznaczyć macierz dołączoną macierzy A:

a) b)

c)

5.16 Wyznaczyć macierz odwrotną macierzy do A:

a) b)

c)

5.17 Dane są macierze A i B. Sprawdź czy macierze AB i BA są ortogonalne.

gdy , a

5.18 Znaleźć równanie charakterystyczne i wartości własne macierzy:

a) b)

c)

5.19 Zbadać dla jakich wartości parametru λ układ równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe.

a) b)

5.20 Zbadać, który z układów równań jednorodnych na rozwiązanie niezerowe:

a) b)

5.21 Rozwiązać układy równań:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

5.22 Zbadać warunki rozwiązalności układów rozwiązań w zależności od wartości parametrów:

a)

b)

c)

d)

---