PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE

Za zbioru liczbą od 1..9 losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymano liczbą parzystą, jeżeli wiadomo, że otrzymamy liczbę większą od 5.

Ω = 9

B - otrzymamy liczbę większą od 5

B - 4

korzystamy z klasycznej definicji prawdopod.

P(B) = 4/9

A i B - otrzymamy liczbę parzystą

i większą od 5

A i B = 2

korzystamy z klasycznej definicji prawdopod.

P(A i B) = 2/9

korzystamy ze wzoru na prawdopod. warunkowe

P(A\B)= P(A i B)\P(B)= ½

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE

W skrzyni zamieszczono 1000 oporników, 700 z jednej partii i 300 z drugiej partii. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany opornik nie będzie wadliwy, jeżeli prawdopod. pojawienia się wadliwego opornika w pierwszej partii wynosi 0,06, a w drugiej 0,04.

A - wybrany losowo opornik będzie dobry

B1 - wybranie opornika z pierwszej partii

B2 - wybranie opornika z drugiej partii

B1 i B2 = zbiór pusty

B1 lub B2 = Ω

P(B1) = 0,7

P(B2) = 0,3

A\B1 - wylosujemy dobry opornik z pierwszej partii

P(A\B1) = 0,94

A\B2 - wylosujemy dobry opornik z drugiej partii

P(A\B2) = 0,96

korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite

P(A) = P(A\B1)*P(B1) + P(A\B2)*P(B2)= 0,94*0,7 + 0,96*0,3 = 0,946

NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ

Rzucamy 2 razy symetryczną monetą. Niech zdarzeniem A będzie wypadnięcie w pierwszym rzucie orła, zaś zdarzeniem B wypadnięcie w drugim rzucie reszki. Wykaż, że zdarzenia A i B są niezależne.

Ω = {(o,o), (o,r), (r,o), (r,r)}

A={(o,o), (o,r)}

A = 2

P(A) = ½

B={(o,r), (r,r)}

B = 2

P(B) = ½

A i B - w pierwszym rzucie wypadnie orzeł, a w drugim rzeszka

A i B ={(o,r)} A i B = 1

P (A i B) = ¼

sprawdzamy niezależność zdarzeń

P(A i B) = P(A) * P(B)

¼ = ¼ - zdarzenia są niezależne

SCHEMATY BERNOULLIEGO

Rzucamy 5 razy dwiema kostkami. Oblicz prawdopod., że otrzymamy sumę oczek podzielną przez 4.

1. 1x

2. co najmniej 2x

Jest to schemat Bernoulliego 5 prób, w których pojedynczą próbą jest rzut dwiema kostkami.

Sukcesem w pojedynczej próbie jest otrzymanie sumy oczek podzielnych przez 4.

a) n=5, k=1, p=9/36= ¼ , q=27/36 = 3/4

P(A)=(ⁿ _k) * (p)^k *(q)^{n-k ,} gdzie q=1-p

p - prawdopodobieństwo sukcesu

q - prawdopodobieństwo porażki

n - ilość prób

k - ilość sukcesów

P(S₅=1)=(⁵ ₁)*(1/4)¹*(3/4)⁴=5/16

b) k=0, 1, 2

gdzie S to k - liczba sukcesów n ilości prób

P(B) = P(S₅=0) + P(S₅=1) + P(S₅=2) =...

(n+1)*p - liczba

1. całkowita

2. nie całkowita

Ad. a) k₀=(n+1)*p , k₀'=(n+1)*p-1

Ad. b) k₀=[(n+1)*p] - nawias kwadratowy obcina część dziesiętną tworząc liczbę całkowitą

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

1) Określamy co jest zdarzeniem elementarnym.

Zdarzeniem elementarnym jest np.

- wynik rzutu kostką go gry,

- 2-wyrazowa wariacja z powt. zbioru 6-element.,

- 3-elementowa kombinacja zbioru 10-element.,

- 10-wyrazowa permutacja zbioru 10-element.

2) Rozstrzygamy czy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

3) Znajdujemy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i moc zbioru np.

- Ω = {1,2,3,4,5,6} , Ω(u góry =) = 6 - moc zbioru

- Ω = { (x, y) : xe {1...6} i ye {1...6} } , Ω = 36

- Ω = { (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5),...}, Ω = 20

- Ω ={(w1,w2,w3,w4) : wie{o,r} i ie{1..4}}, Ω=16

- Ω = {{x,y,z} : x,y,zeL, L-zbiór 10-ciu losów }

- Ω={(x,y):xep1,yep2,p1={1,2,3} i p2={8,9} i x≠y}

4) Określamy, które spośród zdarzeń elementarnych sprzyjają zdarzeniu A, którego prawdopodobieństwo mamy obliczyć np.

A - otrzymamy parzystą liczbę oczek,

B - iloczyn oczek jest mniejszy niż 11,

C - zdarzenie polegające na tym, że wygramy całą stawkę,

D - kontrolą zostanie objętych 10 pracowników.

5) Znajdujemy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i moc zbioru A np.

A ={(x,y):xe{1..10} i ye{1..10} i x-y > 2 }, A = 28,

B = C 1 1 x C 2 5 + C 3 4 = 14,

C = 2! X 3! X 2! = 24

6) Obliczamy P(A) : P(A) = A/Ω .

Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodob.

P(A)= A/Ω P(A)=2/3

Odp: Prawdopodobieństwo otrzymania zdarzenia A jest równe 2/3.

Reguła iloczynu dla drzew

Stosujemy, gdy mam do czynienia z doświadczeniem wieloetapowym.

Jest to doświadczenie 2-etapowe.

I etap - losowanie jednej kuli z 28

II etap - losowanie jednej kuli z 7

Przebieg doświadczenia obrazuje drzewo STOCHASTYCZNE.

Rysujemy drzewo STOCHASTYCZNE.

3/8 / \ 5/8

b cz I ETAP

2/7 / \ 5/7 / \

b cz b cz II ETAP

Ω = {(b,b), (b,cz), (cz,b), (cz,cz)} (bez mocy Ω}

A - zdarzenie polegające na tym, że za drugim...

A = {(b,b), (cz,b)} (bez mocy Ω}

Korzystając z reguły mnożenia dla drzew otrzym.

P{(b,b)}=3/8*2/7=6/56 P{(cz,b)}=15/56

P(A)=P{(b,b)} + P{(cz,b)} = 6/56+15/56=21/56

Odp: Prawdopodobieństwo otrzymania...

---