1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(1000,100).Jaki powinien byc okres gwarancji, aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji ? 2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,sigma).Dobrac sigma _,aby drukarka działała co najmniej 900 dni z prawdopodobienstwem 0.95. 3.W windach osobowych jest napis: ”maksymalne obciazenie 7 osób albo 500 kg”. Zakładajac,ze waga pasazerów ma rozkład N(70,4) obliczyc prawdopodobienstwo, ze waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciazenie 500 kg. 4.Zmienne losowe X1,X2 sa niezalezne i maja rozkład jednostajny na przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(X1,X2) wyznaczyc funkcje gestosci oraz obliczyc EZ. 6.Prawdopodobienstwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.25. Ile prób nalezy wykonac,aby prawdopodobienstwo,ze liczba sukcesów odchyla sie od swojej wartosci oczekiwanej o mniej niz 20% wszystkich prób było wieksze od 0.8? 7.Prawdopodobienstwo porazki w kazdej próbie wynosi 0.9. Oszacowac: a) wykorzystujac nierównosc Czebyszewa; b) centralne twierdzenie graniczne prawdopodobienstwo,ze w 400 próbach liczba porazek bedzie wieksza niz 320 i mniejsza niz 400. 8.Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem kazda zaokraglajac do najblizszej liczby całkowitej.Zakładamy, ze błedy zaokraglen sa niezalezne i maja rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze bład w obliczaniu sumy bedzie wiekszy niz 5 i mniejszy niz 10? 9.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z _ = 0.001.Jakie jest prawdopodobienstwo,ze zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 godzin pracy?

1.Prawdopodobienstwo, ze aparat zepsuje sie w czasie jego konserwacji wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w trakcie konserwacji 100 aparatów zepsuje sie: a) nie mniej niz 5 aparatów; b) wiecej niz 5 i mniej niz 10 aparatów ? 2.Jesli gracz wyrzuci kostka szescienna 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze przy 500 rzutach przegra wiecej niz 200 zł? 3.Prawdopodobienstwo,ze wyprodukowany detal okaze sie dobry wynosi 0.9. Ile elementów nalezy wyprodukowac,aby prawdopodobienstwo, ze bedzie wsród nich co najmniej 50 dobrych było wieksze niz 95%. 5.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubosci warstwy piasku otrzymujac w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54 ,57 ,65 ,60 ,53 ,54, 49 ,58 ,62 ,59 ,55 ,50 ,58, 63, 64, 59, 52, 65, 58, 60. Dla przedstawionej próby zbudowac szereg rozdzielczy oraz naszkicowac histogram i dystrybuante empiryczna. Wyznaczyc srednia, mediane, modalna, kwantyl dolny i górny, wariancje, współczynnik zmiennosci. 2.Metoda najwiekszej wiarogodnosci wyznaczyc estymatory parametrów: a) _ w rozkładzie Poissona ; b) p w rozkładzie geometrycznym ; c) _ w rozkładzie wykładniczym. 3.Prawdopodobienstwo natrafienia na złoze ropy dla kazdej z 5 ruchomych wiez wiertniczych jest takie samo i wynosi p. Pierwsza wieza natrafiła po raz pierwszy na złoze; za trzecim razem, druga za czwartym, trzecia za trzecim, czwarta za czwartym, piata za siódmym. Oszacowac wartosc parametru p. 4.W celu oszacowania wartosci przecietnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny pewnego typu - z partii tych maszyn wybrano losowo 7 maszyn i obserwowano czasy pracy do momentu awarii. Uszkodzenia nastapiły w: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 350 godzinie. Wiedzac, ze czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy oszacowac : wartosc przecietna bezawaryjnej pracy maszyny oraz parametr _ tego rozkładu. k jest nieobciazonym estymatorem dla wariancji tego rozkładu.

1. Dokonano 8 pomiarów pewnej odległosci i otrzymano (w m): 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiadomo,ze rozkład błedu pomiaru jest normalny o sredniej 0 i wariancji 9. Wyznaczyc przedział ufnosci dla mierzonej odległosci na poziomie ufnosci 0.95. Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200, 195, 208. Korzystajac ze wszystkich pomiarów wyznaczyc jeszcze raz przedział ufnosci dla mierzonej odległosci oraz porównac długosci przedziałów. 2.Na podstawie 100 prób oszacowano sredni czas pracy potrzebny do wyprodukowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyc przedział ufnosci dla wartosci oczekiwanej czasu produkcji na poziomie: a) 0.90 oraz b) 0.80. Który jest dłuzszy? 3.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano: 7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznacz i porównaj przedział ufnosci dla m gdy: a) _ = 0.5, b) _ nieznane. 4.Klasa przyrzadu jest zwiazana z odchyleniem standardowym wykonywanych nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrzadu słuzacego do pomiaru masy wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg): 101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98. Przy załozeniu, ze wyniki pomiaru maja rozkład normalny wyznaczyc 95% przedział ufnosci dla odchylenia standardowego. 5.Przy sporzadzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezaleznych pomiarów natezenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe): 8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmujac poziom ufnosci 0.95 wyznaczyc przedział ufnosci dla wartosci oczekiwanej oraz dyspersji (odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem. 6.Bład pomiaru wysokosci wiezy ma rozkład normalny o wariancji 400m2. Ile pomiarów nalezy wykonac, aby na poziomie ufnosci 0.9 oszacowac wyso- kosc wiezy w przedziale ufnosci długosci 15m? 7.Aby oszacowac ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzec danego kandydata w najblizszych wyborach przeprowadzono ankiete wsród n losowo wybranych osób (n >­­= 100) . Na pytanie: czy bedziesz głosowac na danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: ”TAK” albo ”NIE”. Wyznacz przedział ufnosci dla p na poziomie ufnosci 1 - alfa . Przy jakim n długosc przedziału ufnosci bedzie mniejsza niz 0.05 (5%). Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi ”TAK” , alfa = 0.05. 8.W celu zbadania szczelnosci pojemników pewnej firmy, wylosowano niezaleznie do próby i sprawdzono szczelnosc 100 pojemników, wykrywajac 16 nieszczelnych. Przyjmujac poziom ufnosci 0.99 oszacowac procent nieszczelnych pojemników.

LISTA 5

1.Na loterii jest n1 losów na które pada wygrana x1, n2 losów na które pada

wygrana x2, ..., nk losów na które pada wygrana xk. Wszystkich losów jest

N. Wartosc oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa

połowie ceny losu. Obliczyc cene losu.Czy warto wziac udział w takiej loterii.

2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest

jej wartosc oczekiwana i wariancje. Wyznaczyc stałe A, B takie, ze zmienna

losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1].

3.Obliczyc wartosc oczekiwana i wariancje dla nastepujacych zmiennych

losowych:

a) zmienna losowa X kazda z wartosci 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym

prawdopodobienstwem;

b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8;

c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci:

F(x) = 8><>:

0, gdy x _ 1,

px - 1, gdy 1 < x < 4

1, gdy x _ 4

d) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem _.

4.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z _ = 2 wyznaczyc

mediane oraz kwantyl rzedu ¾ .Jaka jest interpretacja otrzymanych wartosci?

5.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest

najwieksza?

6.Wiedzac,ze: EX= -1, EX2= 3 wyznaczyc:

varX , E(4X-1), var(4X-1), E(-2X-2), var(-2X-2).

7*.Rzucamy kostka szescienna. Niech X oznacza numer rzutu, w którym

scianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varX ?

8.Prawdopodobienstwo,ze obroty firmy jednego dnia przekrocza 1 mln zł

wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba

dni z obrotami wiekszymi niz 1 mln w ciagu 24 dni pracy firmy?

---