I STATYSTYKA STOSOWANA, LISTA 1
1.Urzadzenie składa sie z 3 elementów. Kazdy z elementów moze miec
jedna z trzech jakosci. Opisac zbiór zdarzen elementarnych. Wypisac zdarzenia
elementarne sprzyjajace zdarzeniu:
a) A - wszystkie elementy sa takiej samej jakosci;
b) B - co najmniej dwa elementy sa takiej samej jakosci;
c) C' - kazdy element jest innej jakosci.
Czy zdarzenia A oraz C' sa przeciwne?, czy zdarzenia A oraz C' sa rozłaczne?,
czy B oraz C' sa przeciwne?, czy zdarzenia A [ B oraz C sa równe?
2.Niech Ak, k = 1, 2, ..., n oznacza zdarzenie: k-ty podzespół w urzadzeniu
zbudowanym z n podzespołów jest sprawny. Zapisac zdarzenia:
a) podzespół pierwszy i drugi sa sprawne, pozostałe sa zepsute;
b) co najmniej jeden z podzespołów A1 lub A2 jest zepsuty, pozostałe sprawne
c) tylko jeden z A1 oraz A2 jest zepsuty, pozostałe sa sprawne.
d) dokładnie 2 podzespoły sa sprawne.
3.Niech A,B,C oznaczaja dowolne zdarzenia w . Wykazac,ze:
a) P(A [ B [ C) =
= P(A)+P(B)+P(C)-P(A\B)-P(A\C)-P(B \C)+P(A\B \C);
b) jesli A _ B to P(A0) _ P(B0);
c) dla C = A \ B0 [ A0 \ B (C oznacza: zaszło tylko jedno ze zdarzen A,B)
zachodzi P(C) = P(A) + P(B) - 2P(A \ B).
4.Trzy kule rozmieszczamy losowo w 6 komórkach. Obliczyc prawdopodobienstwo
zdarzenia A- w kazdej komórce o numerze nieparzystym znajduje
sie jedna kula jesli:
a) kule sa rozróznialne;
b) kule sa nierozróznialne.
5.Rzucamy kostka szescienna dopóki pojawi sie 1 lub 6. Opisac zbiór zdarzen
elementarnych tego doswiadczenia. Obliczyc prawdopodobienstwo zdarzenia:
1 lub 6 pojawi sie po raz pierwszy na parzystym miejscu.
6.Wsród m losów; m _ 5 jest 5 wygrywajacych. Dla jakich m prawdopodobienstwo
zdarzenia: zakupione 2 losy beda wygrywajace jest mniejsze niz
0.5.
7.O prace w pewnej firmie ubiega sie n osób. Poproszono 3 specjalistów,
aby kazdy niezaleznie uszeregował je według przydatnosci do pracy. Do pracy
zostanie przyjeta osoba, która przynajmniej 2 specjalistów umiesci na
pierwszym miejscu. Obliczyc prawdopodobienstwo,ze jedna z n osób zostanie
przyjeta.
LISTA 2
1.W produkcji firmy A jest 1% braków, zas w produkcji firmy B jest ich
2%.Kupujemy produkt firmy A oraz B. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze:
a) przynajmniej jeden jest dobry;
b) obydwa sa dobre;
c) tylko jeden z nich jest dobry.
2.Dwie osoby umawiaja sie na spotkanie. Kazda z nich przychodzi w losowej
chwili miedzy godzina 16 a 17 i czeka 15 min. Jakie jest prawdopodobienstwo,
ze sie spotkaja ? Ile czasu powinna czekac kazda z osób, aby
prawdopodobienstwo spotkania było wieksze niz 0.75 ?
3.Drut długosci 40 cm zgieto w losowo wybranym punkcie pod katem prostym,
a nastepnie zgieto jeszcze w 2 punktach tak, aby powstała prostokatna
ramka o obwodzie 40 cm. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze pole obszaru
ograniczonego ramka jest wieksze niz 75 cm2 ?
4.Wsród wyrobów firmy A jest 0.5% wadliwych, firmy B jest 2% wadliwych
zas firma C ma 1% wadliwych. Z partii towaru zawierajacej 500 elementów
firmy A,300 firmy B oraz 200 firmy C losujemy jeden element.Obliczyc
prawdopodobienstwo, ze a) jest on dobry,
b) jest dobry i pochodzi z firmy B,
c) wyprodukowała go firma C, jesli wiemy,ze jest dobry.
5.Dwie wyrzutnie W1 oraz W2 specjalnymi pociskami gasza reaktor. W
tym samym czasie gdy wyrzutnia W1 wyrzuca 9 pocisków to W2 wyrzuca
10. W1 trafia w cel z prawdopodobienstwem 0.8, zas W2 z prawdopodobienstwem
0.7. Reaktor ugaszono. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze zrobiła to
W2 ?
6.Test na obecnosc pewnego wirusa w organizmie daje wynik pozytywny
z prawdopodobienstwem 0.98, jesli wirus jest w organizmie. Jesli wirusa
w organizmie nie ma to prawdopodobienstwo wyniku pozytywnego wynosi
0.07. Zakłada sie, ze 1 % populacji jest zarazona wirusem. Obliczyc prawdopodobienstwo,
ze:
a) test dał wynik pozytywny u losowo wybranej osoby z tej populacji;
b) losowo wybrana osoba jest zarazona wirusem, jesli test dał wynik pozytywny.
7.Wiadomo,ze przecietnie 5 % badanych elementów ma wade. Do wykrycia
wady wykorzystuje sie nastepujacy test. Jesli element ma wade to test
w 90 % wskazuje jej istnienie ( wynik testu jest pozytywny) i w 90 % nie
wskazuje wady,gdy element jej nie ma. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze
element ma wade,jesli wynik testu jest pozytywny? Jakie bedzie powyzsze
prawdopodobienstwo, jesli element zostanie poddany testowi dwukrotnie i w
obu przypadkach wynik testu bedzie pozytywny?
zad.1 a) 09998; b) 0.9702; c) 0.0296
LISTA 3
1. Podac przykład (, P), i w niej dwóch zdarzen niezaleznych.
2. Wykazac,ze jesli zdarzenia A i B sa niezalezne to niezalezne sa A i B'.
3.Uzasadnic,ze jesli P(A|B) = P(A|B0) to zdarzenia A i B sa niezalezne.
4. Grupie studentów zadano pytanie: ”czy sciagaja na egzaminach?” i
poproszono o odpowiedz z wykorzystaniem metody losowej. Polega ona na
tym,ze kazdy student rzuca moneta :jesli wypadnie orzeł i student nie sciaga
to odpowiada :”NIE” w pozostałych przypadkach odpowiada :”TAK”. Przyjmujac,
ze 40% studentów sciaga,obliczyc prawdopodobienstwo,ze losowo wy-
brana osoba odpowie ”NIE”.Jak oszacowac procent studentów sciagajacych,
jesli w grupie było 20% odpowiedzi ”NIE”.
5. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 2 karty. Jesli wsród nich będą: 2 piki to wygrywamy 20 punktów, jesli tylko jeden pik wygrywamy 10pkt,jesli zadnego przegrywamy 5 pkt (wygrywamy -5 pkt). Niech zmienna losowa X oznacza wartosc wygranej.Wyznaczyc rozkład prawdopodobieństwa oraz dystrybuante X.
6. Sposród liczb 1,2,3,...,20 losujemy 4 razy ze zwracaniem po jednej liczbie.
Obliczyc prawdopodobienstwo, ze wsród 4 wylosowanych liczb beda:
a) co najmniej 2 liczby mniejsze od 16;
b) 2 liczby podzielne przez 5;
c) zadnej liczby wiekszej niz 5.
Wkazdym przypadku wykorzystac rozkład dwumianowy z odpowiednimi parametrami.
7.Prawdopodobienstwo,ze w kazdej sekundzie pojawi sie sygnał wynosi 3/5
Obliczyc prawdopodobienstwo,ze;
a) w ciagu 2 minut pojawia sie 3 sygnały;
b) w ciagu 2 minut pojawia sie co najmniej 2 sygnały.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pojawien sie sygnału w przeciagu
121s, 122s a jaka w przeciagu 124 s?
8.Partia towaru zawiera 1 % braków. Ile elementów nalezy sprawdzic, aby
prawdopodobienstwo wykrycia co najmniej jednego braku było wieksze niz
0.9.
9.Sposród 3 dobrych i 2 wadliwych elementów losujemy jednoczesnie 3 elementy.
Wyznaczyc rozkład prawdopodobienstwa oraz dystrybuante zmiennej
losowej X, gdzie X jest liczba wylosowanych elementów wadliwych. Z wykresu
dystrybuanty odczytac: P(X > 1), P(1 _ X < 4).
10.Rzucamy kostka tak długo, az pojawi sie szóstka. Niech zmienna losowa
X oznacza numer rzutu, w którym szóstka pojawi sie po raz pierwszy.
Wyznaczyc rozkład prawdopodobienstwa oraz dystrybuante X. Obliczyc
a) P( X _ 10); b) P(X _ 10).
11.Liczba samochodów, które ulegaja wypadkowi w ciagu jednego dnia
w danym miescie i wymagaja naprawy w warsztacie ma rozkład Poissona z
parametrem gamma = 10. Ile miejsc do naprawy nalezy przygotowac, aby z praw-
dopodobienstwem wiekszym niz 0.95 było wolne miejsce dla uszkodzonego
samochodu.
12.Urzadzenie produkuje element wadliwy z prawdopodobienstwem p=0.02.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w partii 100 elementów sa co najwyzej 2
wadliwe ? Podaj rozwiazanie dokładne i przyblizone rozkładem Poissona.
LISTA 4
1*.Liczba komputerów, które moga byc zarazone wirusem poprzez pewna
siec ma rozkład Poissona z parametrem _. Prawdopodobienstwo,ze wirus
uaktywni sie w zarazonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobienstwo,
ze wirus uaktywni sie w m komputerach? Wykonaj obliczenia dla
gamma= 8, p=0.125, m=10.
2.Czy mozna dobrac stałe a, b ; aby funkcja F(t) była dystrybuanta
zmiennej losowej ciagłej ?
a)
F(t) = 8><>:
a + 1 + et, gdy t _ -1,
e-1, gdy -1 _ t < 1,
b(3 - 2
t ), gdy t > 1.
b)
F(t) = a + barctgt.
3.Dla jakiej wartosci a funkcja
a) f(x) = ( a(2 - x), gdy -1 < x < 2
0, gdy x _ -1 lub x _ 2
b) f(x) = ae-|x|
jest gestoscia pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znalezc
dystrybunte zmiennej losowej X, naszkicowac wykresy gestosci oraz dystrybuante.
Obliczyc P(1 < X < 5), P(X < 0 [ X > 1).
4.Dzienne zuzycie energii (w setkach kWh) pewnej firmy jest zmienna
losowa X o gestosci:
f(x) = ( 1
9(3 + 2x - x2), gdy 0 < x < 3,
0, gdy x _ 0 lub x _ 3
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze zuzycie energii w ciagu dnia jest: wieksze
niz 50 kWh; miedzy 100 a 200 kWh.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w ciagu 30 dni jest 10 dni, w których
zuzycie energii przekroczy 200 kWh.
5.Czas pracy diody jest zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym
z _ = 10-4. Wiadomo, ze dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie
jest prawdopodobienstwo, ze popracuje co najmniej 6000h ?
6.Prawdopodobienstwo wykrycia awarii urzadzenia w czasie krótszym niz
t minut wynosi F(t) = 1 - e-5t. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze na wykrycie
awarii potrzeba: a) wiecej niz 4 min. b) wiecej niz 4,ale mniej niz 6
min. c) co najwyzej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobienstwem
wiekszym niz 0.5?
7.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyc, korzystajac
z tablic: P(-1 _ X _ 1), P(X > -2), P(-3 _ X _ -1),
P(X _ 5), P(X > -10), P(|X| > 2).
8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,_) obliczyc
P(|X - m| < _).
9.Czas oczekiwania na połaczenie telefoniczne w pewnej centrali dla kazdego
abonenta ma rozkład wykładniczy z _ =0.2 s. Z centrali korzysta jednoczesnie
i niezaleznie 100 abonentów. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze:
najkrótszy z czasów oczekiwania na połaczenie jest wiekszy niz 5s; najdłuzszy
mniejszy niz 10s.
10.Czasy pracy kazdej z n zarówek sa niezalezne i maja taki sam rozkład
wykładniczy z parametrem _ = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas
pracy układu złozonego z n zarówek połaczonych równolegle, zas zmienna
losowa Y czas pracy układu złozonego z n zarówek połaczonych szeregowo.
Wyznaczyc dystrybuante i gestosc X oraz Y.