ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Bez powtórzeń:

Kombinacja -

, nie ważna kolejność

Wariacja -
, ciąg

Permutacje - n! , ciąg

Z powtórzeniami:

Kombinacja -

Wariacja -

Permutacja -

Zdarzenie elementarne - pojęcie pierwotne; wszystkie tworzą przestrzeń zdarzeń elementarnych X.

Zdarzenie - podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych

Zdarzenie pewne - cała przestrzeń zdarzeń elementarnych X

Rodzinę S zdarzeń nazywamy ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:

1)

2)

3)

najprostsze ciało : {X,
}

Rodzinę S nazywamy
-ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy:

1)

2)

3)
(dla dowolnego nieskończonego ciągu)

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa (Laplace'a)

Jeżeli przestrzeń jest skończona i składa się z n zdarzeń elementarnych i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe i zajściu zdarzenia A sprzyja k zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zajścia

1. P(A)
   0

2. 
   

3. 
   

4. P(X)=1

5. 
   ,
   

6. P(A')=1-P(A)

Definicja aksjomatyczna prawdopodobieństwa (Kołmogorowa; dla przestrzeni nieskończonej)

Prawdopodobieństwo to funkcja określona na
-ciele S o wartościach rzeczywistych spełniających następujące warunki:

1. P(X)=1

2. 
   

3. 
   dla
   ,
   
   

Zmienną losową (
- ksi) nazywamy funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych o wartościach rzeczywistych, której wszystkie przeciwobrazy należą do
- ciała S.

Dystrybuanta zmiennej losowej

Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funkcję F określoną F: R
R taką, że:

Własności dystrybuanty:

1. funkcja niemalejąca

2. funkcja co najmniej lewostronnie ciągła

3. 
   i
   

Jeżeli jakaś funkcja spełnia te trzy własności to istnieje zmienna losowa, dla której ta funkcja jest dystrybuantą (warunek konieczny i wystarczający).

Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)

Zmienną losową
nazywamy zmienną losową typu skokowego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja prawdopodobieństwa określająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem P>0

taka, że

- łatwo obliczyć, gdy zna się dystrybuantę, jest to wartość dystrybuanty w punkcie b odjąć ta w punkcie a

=

Zmienna losowa typu ciągłego

Zmienną losową
nazywamy zmienną losowa typu ciągłego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje nieujemna funkcja f(x) nazywana funkcją gęstości prawdopodobieństwa, taka, że:

Charakterystyki zmiennych losowych pozwalające na porównania:

1. wartość oczekiwana zmiennej losowej
   

, gdzie
- skokowa

- typu ciągłego

- Pod warunkiem, że ta całka i ta suma istnieją.

• wokół tego skupi się największa liczba wyników

• własności :

• jeżeli c jest stałą, to E(c )=c

• 
  , jeżeli istnieją którekolwiek dwie z występujących w równości wartości oczekujących

• 
  

• 
  z prawdopodobieństwem 1

2. Wariancja zmiennej losowej

3. Odchylenie standardowe

Własności:

-

-

Stopa zysku akcji / papieru wartościowego jest to stosunek zysku osiągniętego z tytułu posiadania danego papieru wartościowego do kosztu zakupu. {cena akcji+prowizja+oplaty... ; zmienna losowa typu skokowego}

z - wartość oczekiwana stopy zysku papieru wartościowego

- interpretowana jako miara zysku danego papieru wartościowego

Ryzyko papieru wartościowego określane jest jako odchylenie standardowe stopy zysku

- tak można wyznaczyć wartość oczekiwaną i ryzyko, jeśli ma się dostęp do informacji

- stopy zysku papierów wartościowych z przeszłości

średnia arytmetyczna, dane z przeszłości

Wartość współczynnika zmienności danego papieru wartościowego
( s - odchylenie standardowe, z - oczekiwana stopa zysku, różne od 0). Mówi nam ile ryzyka przypada na jednostkę zysku. Inwestor będzie dążył do minimalizacji w. Wybierze te papiery wartościowe, które będą charakteryzowały się minimalnym współczynnikiem zmienności.

Współczynnik korelacji akcji pomiędzy i-tą i j-tą akcją

Dla informacji przyszłościowych :

- miary ryzyka i-tej, j-tej akcji

- miary zysku i-tej i j-tej akcji

- możliwe do osiągnięcia w przyszłości stopy zysk odpowiednio i-tej i j-tej akcji

- prawdopodobieństwo, z którym te stopy zysku mogą być osiągnięte

Dla informacji historycznych:

- osiągnięte w momencie t w przeszłości stopy zysku i-tej i j-tej akcji

-

zawsze!

-
świadczy o sile powiązania

- wartość dodatnia
oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy zysku i-tej akcji odpowiada wzrost (spadek) zysku j-tej akcji

- wartość ujemna
oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy zysku i-tej akcji towarzyszy spadek (wzrost) zysku j-tej akcji

PORTFEL

- udział wartościowy i-tej akcji spółki w portfelu

- miara zysku i-tej spółki w portfelu

z - miara zysku całego portfela

Miara zysku całego portfela jest średnią ważona miary zysku poszczególnych spółek w portfelu, gdzie wagami są udziały wartościowe poszczególnych spółek w portfelu.

Miara ryzyka portfela

Portfel efektywny akcji to taki portfel, który:

1. przy danej mierze ryzyka charakteryzuje się największą miarą zysku

2. przy danej mierze zysku charakteryzuje się najmniejszym ryzykiem

portfel zdywersyfikowany - portfel z różnymi akcjami

E(
)=

---