Elementy Rachunku

Prawdopodobieństwa

• Czym zajmuje się rachunek

prawdopodobieństwa ?

Badaniem praw rządzących

Badaniem praw rządzących

zjawiskami

zjawiskami

przypadkowymi.

przypadkowymi.

Elementy Rachunku
Prawdopodobieństwa

Przestrzeń zdarzeń

elementarnych

Zdarzenie elementarne - pojęcie
pierwotne teorii.

Przykład 1
Doświadczenie
polega na rzucie
kostką
sześcienną.
Obserwujemy
liczbę
wyrzuconych
oczek. Zdarzenie
elementarne, to
w

i

= „wyrzucono

i oczek”.

Wyrzucono jedno
oczko.

Wyrzucono 6
oczek.

Zbiór wszystkich możliwych
zdarzeń elementarnych nazywamy
przestrzenią zdarzeń. Ozn. .

W rozważanym doświadczeniu jest 6
zdarzeń elementarnych.  =

{w

1

,w

2

,w

3

,w

4

,w

5

,w

6

}.

Przykłady

Przykład 2 Niech
doświadczenie polega na
rzucie monetą. Zdarzenia
elementarne to
O=„wyrzucono orła” i
R=„wyrzucono reszkę”
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych =

{O,R}.

Przykład 3 Rzucamy
dwoma monetami. Możliwe
sytuacje możemy
scharakteryzować parą :
wynik uzyskany na
pierwszej monecie i wynik
uzyskany na drugiej
monecie. Czyli
={(O,O),(O,R),(R,R),

(R,O)}.

Przykład 4 Na zawodach narciarskich każdy zawodnik
oddaje 2 skoki. Wynik każdego skoku można uznać za
zdarzenie losowe. Długość skoku mierzymy z
dokładnością do 0.5 m. Na rozważanej skoczni nie można
oddać dłuższego skoku niż 140 m.
 = {(x,y): x długość pierwszego, a y długość drugiego

skoku}= {0, 0.5, 1, 1.5, 2, ..., 139, 139.5, 140}

Przestrzeń zdarzeń składa się z 281 zdarzeń
elementarnych.

Zdarzenia

Definicja Zdarzenie to podzbiór zbioru zdarzeń
elementarnych.

Przykład

W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną
niech w

1

,w

2

,...w

6

oznaczają odpowiednio zdarzenia

elementarne polegające na wyrzuceniu 1,2 ... lub 6
oczek.  = {w

i

: i=1,2...6}.

Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór
przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w

2

,w

4

,w

6

}.

Zdarzenie B=„ wypadło więcej niż 4 oczka”, zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli
B={w

5

,w

6

}.

Zdarzenie C=„wypadły co najwyżej 4 oczka”, zachodzi
wttw, gdy wypadło 1 lub 2 lub 3 lub 4 oczka. C =
{w

1

, w

2

,w

3

,w

4

}.

Zdarzenia c.d.

A   oraz

A = {a

1

, ...

,a

n

}.

zdarzenia elementarne

sprzyjające zdarzeniu A

Przykład

W doświadczeniu polegającym na rzucie dwoma
kostkami mamy  = {w

ij

: i,j=1,2...6}.

Zdarzenie A=„co najmniej raz wypadła szóstka” , to
podzbiór

{w

6i

: i=1,2...6} {w

i6

: i=1,2...5}.

Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A
jest 11.

Zdarzenie B= „suma oczek wynosi 8”, to podzbiór

{w

26

, w

35

, w

44

, w

53

, w

62

}.

Jest tylko 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu B.

Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką
sześcienną niech

W = {wi : i=1,2...6}.

Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to
podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych
A={w2,w4,w6}.
Zdarzenie B=„ wypadły więcej niż 4 oczka”,
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6
oczek, czyli B={w5,w6}.
Zdarzenie C=„liczba wyrzuconych oczek jest
kwadratem liczby naturalnej”, zachodzi wttw, gdy
wypadło 1 lub 4 oczka.
C = {w1, w4}.
Zdarzenie D=„liczba wyrzuconych oczek
przystaje do 1 modulo 3, zachodzi wttw gdy liczba
wyrzuconych oczek przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 1. Czyli D = {w1, w4 }.

Przykłady zdarzeń

Działania na zdarzeniach

Na zdarzeniach wykonujemy takie same operacje jak
na zbiorach.

A= 

wszystkie zdarzenia elementarne

sprzyjają temu zdarzeniu

A= 

żadne zdarzenie elementarne nie

sprzyjają temu zdarzeniu

zdarzenie pewne

zdarzenie niemożliwe

Powiemy, że dwa zdarzenia są identyczne jeśli

mają te same zbiory sprzyjających zdarzeń

elementarnych. Por. zdarzenia C i D z

poprzedniego przykładu.

c.d. Operacje na

Zdarzeniach

Przykład Doświadczenie z rzutem 2 kostkami
sześciennymi.
A =„suma oczek jest liczbą parzystą lub
nieparzystą”
B =„w sumie wypadło co najwyżej 12 oczek”
C = „ w sumie wypadło 17 oczek”
D = „iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą
parzystą”
E = „co najmniej na jednej kostce jest liczba
parzysta”
F = „wyrzucono co najmniej raz 6”
G = „wyrzucono co najmniej raz 5”

zdarze
nia
pewne

zdarzenie
niemożliwe

zdarzeni
a
identycz
ne

iloczyn tych zdarzeń to
„suma wyrzuconych
oczek wynosi 11”

Zdarzenie FG jest realizowane przez zdarzenia
elementarne {w

6i

: i=1,2,3,4,5,6} {w

i6

: i=1,2,3,4,5}



{

w

5i

: i=1,2,3,4,5}  {w

i5

: i=1,2,3,4}

. Jest 20 zdarzeń

elementarnych sprzyjających zdarzeniu FG.
Zdarzenie „ani razu nie wystąpiła 6 ani 5” to zdarzenie
-(F  G)= {w

ij

: i,j=1,2,3,4} . Zdarzeń sprzyjających jest tu

16.

Wykluczanie się zdarzeń

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywa się zdarzenie A’=  - A.

Zdarzeniu A’

sprzyjają tylko te zdarzenia

elementarne, które

nie należą do A

Powiemy, że dwa zdarzenia A
i B wykluczają się A B

=  .

W doświadczeniu polegającym na
wylosowaniu kolejno ze zwracaniem 2
kart, zdarzenia
A= „wylosowano za każdym razem
asa” i

B =„za drugim razem wylosowano
dziesiątkę”
są zdarzeniami wykluczającymi się.

Nie ma takich zdarzeń

elementarnych, które

sprzyjają równocześnie

obu zdarzeniom

Pojęcie

prawdopodobieństwa

Niech  oznacza przestrzeń zdarzeń

elementarnych. Prawdopodobieństwem
nazywamy funkcję P określoną na zdarzeniach
taką, że

(1) P(A) 0 dla dowolnego zdarzenia A,
(2) P(A B) = P(A) + P(B) dla dowolnych

zdarzeń A, B wykluczających się,

(3) P() = 1.

definicja

Kołmogorowa

(2) własność σ-addytywność

Jeżeli zdarzenia A

1

,A

2

,...A

n

wykluczają się parami, to

P(A

1

 ...  A

n

) = P(A

1

) + P(A

2

) + ...+ P(A

n

).

Dowód przez indukcje ze względu na n.

)

(

1

1

























i

i

i

i

A

P

A

P



j

i









j

i

A

A

Obliczanie

prawdopodobieństw

Niech  = {w

1

, w

2

, ...w

n

} i załóżmy, że wszystkie

zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne,
P(w

i

) = p.

Na mocy poprzedniego twierdzenia mamy:

P() = P({w

1

, w

2

, ...w

n

}) = P({w

1

} { w

2

}  ... 

{w

n

} ) =

P(w

1

) + P( w

2

) + ... +P(w

n

) = n*p.

Stąd p =
1/n.

Podobnie, jeśli rozważymy dowolne zdarzenie A = {wi

1

,

wi

2

, ...wi

k

}, to

P(A) = P({wi

1

, wi

2

, ...wi

k

}) = P({wi

1

} { wi

2

}  ...

 {wi

k

} ) =

P(wi

1

) + P( wi

2

) + ... +P(wi

k

) = k*p.

Stąd P(A) =
k/n

Przykład 1

Rzut dwiema kostkami.

(a) A =„na obu kostkach wypadło 6
oczek”

(b) B = „suma wyrzuconych oczek
wynosi 10”

(c) C = „suma wyrzuconych oczek
wynosi 7”

A={(6,6)} więc

P(A)= 1/36.

Przestrzeń zdarzeń

elementarnych 

ma 36 elementów.

B= {(4,6), (5,5),
(6,4)},

więc P(B) = 3/36
=1/12.

C = {(1,6),(2,5), (3,4),
(4,3),(5,2),(6,1)} więc

P(C)= 6/36=1/6.

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
(5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
(6,6)

Przestrzeń zdarzeń
elementarnych

Przykład 2

Przykład 2

Przykład 2

9 osób {a,b,c,..g,h,i} siada przy
okrągłym stole. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że osoby a, b
będą siedziały obok siebie?

Przestrzeń zdarzeń
elementarnych, to zbiór
wszystkich możliwych ustawień 9
osób na 9 miejscach.

card()= 9!

a

b

Jest 9 możliwych pozycji dla
pary (a,b) i 9 możliwych pozycji
dla pary (b,a).

Pozostałe osoby mogą być
rozmieszczone dowolnie, tzn 7!
możliwych ustawień.

Ostatecznie, szukane
prawdopodobieństwo
= 2*9*7!/9!=1/4

Przykład 3

W urnie jest 9 kul ponumerowanych od 1 do 9.
Losujemy bez zwracania dwie kule. Pierwsza z nich
jest traktowana jako liczba jedności a druga jako
liczba dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia A = „wylosowano liczbę parzystą”

4

6

Jeśli za pierwszym razem wylosowano

a za drugim razem
wylosowano

to wylosowana liczba wynosi 6*10
+ 4 = 64.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych  = {(k,l) :

k,l{1,2,...9} oraz k l}.

9*8 elementów

Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia
elementarne (2,x), gdzie x  2,

(4,x), gdzie x  4,

(6,x), gdzie x  6,

(8,x), gdzie x  8.

Razem jest ich 4*8.

Zatem P(A)= 4*8/(9*8) = 4/9.

Przykład 4

Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że w dziesięciu rzutach dokładnie
4 razy pojawi się orzeł?

Przestrzeń zdarzeń
elementarnych to zbior ciągów o
wartościach O-orzeł i R-reszka.

Takich elementów jest tyle

ile różnych funkcji

ze zbioru 10 elementowego

w zbiór 2 elementowy, tzn. 2

10

.

Zdarzeniu A sprzyjają
wszystkie zdarzenia
elementarne, w których na 4
pozycjach są orły a na
pozostałych reszki.

Jest ich tyle,

ile podzbiorów

4 elementowych,

tzn.(10 nad 4)

Ostatecznie P(A) = (10 nad 4) / 2

10

.

Własności prawdopodobieństwa

Niech  będzie przestrzenią zdarzeń

elementarnych.Wtedy

(a) P(



) = 0

(b) jeżeli A  B, to P(A)



P(B),

(c) dla każdego A  , P(A)



1,

(d) P(A’) =1 - P(A),
(e) P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ad. Dowód (b). B= (B-A)  A

Ad. Dowód (e). A



B = A



(B-A)

B= (B-A)



(A



B)

Rzucamy 3 razy kostką. jakie jest
prawdopodobieństwo zdarzenia A=„choć raz
wypadła 6” ?

Rozwiązanie. Zbiór zdarzeń elementarnych = {(x,y,z):

x,y,z {1,2,...6}}. card(W)= 6

3

. Zdarzenie przeciwne do A,

A’ =„ani razu nie wypadła 6”.

A’={(x,y,z): x,y,z {1,2,3,4,5}}. Zatem P(A’) = 5

3

/6

3

, więc

P(A) = 1- 5

3

/6

3

.

Przykłady

Przykład Rzucamy dwiema różnokolorowymi kostkami do
gry i rozważamy dwa zdarzenia A = „ suma oczek
wyrzuconych wyniesie 8”

B = „obie liczby oczek są nieparzyste”

Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A



B?

Rozwiązanie
Na mocy twierdzenia P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Ponieważ A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3), (6,2)}

B ={(x,y): x,y=1,3,5} oraz
A  B = {(3,5),(5,3)}

Zatem P(A B) = 5/36 + 9/36 -

2/36 = 1/3.

Przykład Rzucamy 10 razy
monetą. jakie jest
prawdopodobieństwo, że
choć raz dostaniemy orła?

Zbiór zdarzeń elementarnych

to zbiór funkcji,

f : {1,2,3...,10} -> {O,R}.

Policzymy najpierw P(A’).

Mamy P(A’)=1/2

10

Stąd P(A)= 1-1/1024.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład

1

2

3 4

W urnie znajdują sie 4 kule: dwie czerwone i dwie
niebieskie ponumerowanie od 1 do 4. Losujemy 2
kule bez zwracania.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych to {(x,y): x y i

x,y =1,2,3,4}. card () = 4*3 =12. Zakładamy, że

zdarzenia elementarne są jednakowo
prawdopodobne. Czyli P(x,y)=1/12.

Rozważmy zdarzenia: A=” za drugim razem niebieska
kula”,

B= „ za pierwszym razem kula

czerwona”.

Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (

1

,

3

),(

1

,

4

),(

3

,

4

),(

2

,

3

),

(

2

,

4

), (

4

,

3

).

Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń el. : (

1,2

),(

1

,

3

),(

1

,

4

),

(

2,1

),(

2

,

3

), (

2

,

4

).

P(A)=6/12

Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym
losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia A?

Zdarzeniu A sprzyjają 4 zdarzenia el. występujące w B, czyli
P(A/B)= 4/6.

Prawdopodobieństwo warunkowe

c.d.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod
warunkiem, że zajdzie zdarzenie B, P(A|B),
wyraża się wzorem:

gdy P(B) >0

Zdarzenia elementarne to trójki (x,y,z)
gdzie x,y,z =1,2,3,4,5,6. Jest ich
6*6*6.

Przykład Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że A=„chociaż na jednej kostce
wypadnie 1”, jeśli B=„na każdej kostce wypadnie inna liczba
oczek”.

Zdarzeń sprzyjających B
jest tyle ile funkcji 1-1na zb.
3 elem. w zbiór 6
elementowy. Jest ich 6*5*4.
Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6).

Zdarzeniu A  B sprzyjają

trójki (1,x,y) ,(x,1,y), (x,y,1)
gdzie x jest jedną z 5
wartości a y jedną z 4
wartości. P(A  B)=

5*4*3/6

3

Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)=
1/2

)

(

)

(

)

(

B

P

B

A

P

B

A

P





Prawdopodobieństwo warunkowe

Przykład

1

2

3 4

W urnie znajdują się 4 kule: dwie czerwone i dwie
niebieskie ponumerowanie od 1 do 4. Losujemy 2
kule bez zwracania.

Rozważmy zdarzenia: A=” za drugim razem niebieska
kula”,

B= „ za pierwszym razem kula

czerwona”.

Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (

1

,

3

),(

1

,

4

),(

3

,

4

),(

2

,

3

),

(

2

,

4

), (

4

,

3

).

Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń el. : (

1,2

),(

1

,

3

),(

1

,

4

),

(

2,1

),(

2

,

3

), (

2

,

4

).

Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym
losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia A?

Zdarzeniu A sprzyjają 4 zdarzenia el. występujące w B, czyli
P(A/B)= 4/6.

12

4

})

4

,

2

{

},

3

,

2

{

},

4

,

1

{

},

3

,

1

({

)

(







P

B

A

P

3

2

12

6

12

4

)

(

)

(

)

(









B

P

B

A

P

B

A

P

Zdarzenia elementarne to trójki (x,y,z)
gdzie x,y,z =1,2,3,4,5,6. Jest ich
6*6*6.

Przykład Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że A=„chociaż na jednej kostce
wypadnie 1”, jeśli B=„na każdej kostce wypadnie inna liczba
oczek”.

Zdarzeń sprzyjających B
jest tyle ile funkcji 1-1na zb.
3 elem. w zbiór 6
elementowy. Jest ich 6*5*4.
Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6).

Zdarzeniu A  B sprzyjają

trójki (1,x,y) ,(x,1,y), (x,y,1)
gdzie x jest jedną z 5
wartości a y jedną z 4
wartości. P(A  B)=

5*4*3/6

3

Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)=
1/2

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi,
jeśli

P(A  B) = P(A) * P(B).

Zauważmy, że jeśli A i B stanowią parę zdarzeń
niezależnych, to
P(A|B) = P(A  B)/P(B) = P(A) .

Czyli, zajście zdarzenia B nie wpływa na
prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Zdarzenie
A nie zależy od tego czy zajdzie czy też nie zdarzenie
B.

Przykład Z talii kart losujemy 2 ze zwracaniem.
Rozważmy zdarzenia A =„ za pierwszym razem
wylosowano asa” B = „ za drugim razem wylosowano
asa”. Mamy

P(A  B) = (4*4)/52

2

P(A)= 4/52 P(B) = 4/52, czyli

P(A  B) = P(A) * P(B), a więc są to zdarzenia

niezależne.