Elementy Rachunku
Prawdopodobieństwa
• Czym zajmuje się rachunek
prawdopodobieństwa ?
Badaniem praw rządzących
Badaniem praw rządzących
zjawiskami
zjawiskami
przypadkowymi.
przypadkowymi.
Elementy Rachunku
Prawdopodobieństwa
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych
Zdarzenie elementarne - pojęcie
pierwotne teorii.
Przykład 1
Doświadczenie
polega na rzucie
kostką
sześcienną.
Obserwujemy
liczbę
wyrzuconych
oczek. Zdarzenie
elementarne, to
w
i
= „wyrzucono
i oczek”.
Wyrzucono jedno
oczko.
Wyrzucono 6
oczek.
Zbiór wszystkich możliwych
zdarzeń elementarnych nazywamy
przestrzenią zdarzeń. Ozn. .
W rozważanym doświadczeniu jest 6
zdarzeń elementarnych. =
{w
1
,w
2
,w
3
,w
4
,w
5
,w
6
}.
Przykłady
Przykład 2 Niech
doświadczenie polega na
rzucie monetą. Zdarzenia
elementarne to
O=„wyrzucono orła” i
R=„wyrzucono reszkę”
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych =
{O,R}.
Przykład 3 Rzucamy
dwoma monetami. Możliwe
sytuacje możemy
scharakteryzować parą :
wynik uzyskany na
pierwszej monecie i wynik
uzyskany na drugiej
monecie. Czyli
={(O,O),(O,R),(R,R),
(R,O)}.
Przykład 4 Na zawodach narciarskich każdy zawodnik
oddaje 2 skoki. Wynik każdego skoku można uznać za
zdarzenie losowe. Długość skoku mierzymy z
dokładnością do 0.5 m. Na rozważanej skoczni nie można
oddać dłuższego skoku niż 140 m.
= {(x,y): x długość pierwszego, a y długość drugiego
skoku}= {0, 0.5, 1, 1.5, 2, ..., 139, 139.5, 140}
Przestrzeń zdarzeń składa się z 281 zdarzeń
elementarnych.
Zdarzenia
Definicja Zdarzenie to podzbiór zbioru zdarzeń
elementarnych.
Przykład
W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną
niech w
1
,w
2
,...w
6
oznaczają odpowiednio zdarzenia
elementarne polegające na wyrzuceniu 1,2 ... lub 6
oczek. = {w
i
: i=1,2...6}.
Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór
przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w
2
,w
4
,w
6
}.
Zdarzenie B=„ wypadło więcej niż 4 oczka”, zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli
B={w
5
,w
6
}.
Zdarzenie C=„wypadły co najwyżej 4 oczka”, zachodzi
wttw, gdy wypadło 1 lub 2 lub 3 lub 4 oczka. C =
{w
1
, w
2
,w
3
,w
4
}.
Zdarzenia c.d.
A oraz
A = {a
1
, ...
,a
n
}.
zdarzenia elementarne
sprzyjające zdarzeniu A
Przykład
W doświadczeniu polegającym na rzucie dwoma
kostkami mamy = {w
ij
: i,j=1,2...6}.
Zdarzenie A=„co najmniej raz wypadła szóstka” , to
podzbiór
{w
6i
: i=1,2...6} {w
i6
: i=1,2...5}.
Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A
jest 11.
Zdarzenie B= „suma oczek wynosi 8”, to podzbiór
{w
26
, w
35
, w
44
, w
53
, w
62
}.
Jest tylko 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu B.
Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką
sześcienną niech
W = {wi : i=1,2...6}.
Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to
podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych
A={w2,w4,w6}.
Zdarzenie B=„ wypadły więcej niż 4 oczka”,
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6
oczek, czyli B={w5,w6}.
Zdarzenie C=„liczba wyrzuconych oczek jest
kwadratem liczby naturalnej”, zachodzi wttw, gdy
wypadło 1 lub 4 oczka.
C = {w1, w4}.
Zdarzenie D=„liczba wyrzuconych oczek
przystaje do 1 modulo 3, zachodzi wttw gdy liczba
wyrzuconych oczek przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 1. Czyli D = {w1, w4 }.
Przykłady zdarzeń
Działania na zdarzeniach
Na zdarzeniach wykonujemy takie same operacje jak
na zbiorach.
A=
wszystkie zdarzenia elementarne
sprzyjają temu zdarzeniu
A=
żadne zdarzenie elementarne nie
sprzyjają temu zdarzeniu
zdarzenie pewne
zdarzenie niemożliwe
Powiemy, że dwa zdarzenia są identyczne jeśli
mają te same zbiory sprzyjających zdarzeń
elementarnych. Por. zdarzenia C i D z
poprzedniego przykładu.
c.d. Operacje na
Zdarzeniach
Przykład Doświadczenie z rzutem 2 kostkami
sześciennymi.
A =„suma oczek jest liczbą parzystą lub
nieparzystą”
B =„w sumie wypadło co najwyżej 12 oczek”
C = „ w sumie wypadło 17 oczek”
D = „iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą
parzystą”
E = „co najmniej na jednej kostce jest liczba
parzysta”
F = „wyrzucono co najmniej raz 6”
G = „wyrzucono co najmniej raz 5”
zdarze
nia
pewne
zdarzenie
niemożliwe
zdarzeni
a
identycz
ne
iloczyn tych zdarzeń to
„suma wyrzuconych
oczek wynosi 11”
Zdarzenie FG jest realizowane przez zdarzenia
elementarne {w
6i
: i=1,2,3,4,5,6} {w
i6
: i=1,2,3,4,5}
{
w
5i
: i=1,2,3,4,5} {w
i5
: i=1,2,3,4}
. Jest 20 zdarzeń
elementarnych sprzyjających zdarzeniu FG.
Zdarzenie „ani razu nie wystąpiła 6 ani 5” to zdarzenie
-(F G)= {w
ij
: i,j=1,2,3,4} . Zdarzeń sprzyjających jest tu
16.
Wykluczanie się zdarzeń
Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A
nazywa się zdarzenie A’= - A.
Zdarzeniu A’
sprzyjają tylko te zdarzenia
elementarne, które
nie należą do A
Powiemy, że dwa zdarzenia A
i B wykluczają się wttw A
B = .
W doświadczeniu polegającym na
wylosowaniu kolejno ze zwracaniem 2
kart, zdarzenia
A= „wylosowano za każdym razem
asa” i
B =„za drugim razem wylosowano
dziesiątkę”
są zdarzeniami wykluczającymi się.
Nie ma takich zdarzeń
elementarnych, które
sprzyjają równocześnie
obu zdarzeniom
Pojęcie
prawdopodobieństwa
Niech oznacza przestrzeń zdarzeń
elementarnych. Prawdopodobieństwem
nazywamy funkcję P określoną na zdarzeniach
taką, że
(1) P(A) 0 dla dowolnego zdarzenia A,
(2) P(A B) = P(A) + P(B) dla dowolnych
zdarzeń A, B wykluczających się,
(3) P() = 1.
definicja
Kołmogorowa
(2) własność σ-addytywność
Jeżeli zdarzenia A
1
,A
2
,...A
n
wykluczają się parami, to
P(A
1
... A
n
) = P(A
1
) + P(A
2
) + ...+ P(A
n
).
Dowód przez indukcje ze względu na n.
)
(
1
1
i
i
i
i
A
P
A
P
j
i
j
i
A
A
Obliczanie
prawdopodobieństw
Niech = {w
1
, w
2
, ...w
n
} i załóżmy, że wszystkie
zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne,
P(w
i
) = p.
Na mocy poprzedniego twierdzenia mamy:
P() = P({w
1
, w
2
, ...w
n
}) = P({w
1
} { w
2
} ...
{w
n
} ) =
P(w
1
) + P( w
2
) + ... +P(w
n
) = n*p.
Stąd p =
1/n.
Podobnie, jeśli rozważymy dowolne zdarzenie A = {wi
1
,
wi
2
, ...wi
k
}, to
P(A) = P({wi
1
, wi
2
, ...wi
k
}) = P({wi
1
} { wi
2
} ...
{wi
k
} ) =
P(wi
1
) + P( wi
2
) + ... +P(wi
k
) = k*p.
Stąd P(A) =
k/n
Przykład 1
Przykład 1
Przykład 1
Rzut dwiema kostkami.
(a) A =„na obu kostkach wypadło 6
oczek”
(b) B = „suma wyrzuconych oczek
wynosi 10”
(c) C = „suma wyrzuconych oczek
wynosi 7”
A={(6,6)} więc
P(A)= 1/36.
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych
ma 36 elementów.
B= {(4,6), (5,5),
(6,4)},
więc P(B) = 3/36
=1/12.
C = {(1,6),(2,5), (3,4),
(4,3),(5,2),(6,1)} więc
P(C)= 6/36=1/6.
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
(5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
(6,6)
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych
Przykład 2
Przykład 2
Przykład 2
9 osób {a,b,c,..g,h,i} siada przy
okrągłym stole. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że osoby a, b
będą siedziały obok siebie?
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych, to zbiór
wszystkich możliwych ustawień 9
osób na 9 miejscach.
card()= 9!
a
b
Jest 9 możliwych pozycji dla
pary (a,b) i 9 możliwych pozycji
dla pary (b,a).
Pozostałe osoby mogą być
rozmieszczone dowolnie, tzn 7!
możliwych ustawień.
Ostatecznie, szukane
prawdopodobieństwo
= 2*9*7!/9!=1/4
Przykład 3
W urnie jest 9 kul ponumerowanych od 1 do 9.
Losujemy bez zwracania dwie kule. Pierwsza z nich
jest traktowana jako liczba jedności a druga jako
liczba dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia A = „wylosowano liczbę parzystą”
4
6
Jeśli za pierwszym razem wylosowano
a za drugim razem
wylosowano
to wylosowana liczba wynosi 6*10
+ 4 = 64.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych = {(k,l) :
k,l{1,2,...9} oraz k l}.
9*8 elementów
Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia
elementarne (2,x), gdzie x 2,
(4,x), gdzie x 4,
(6,x), gdzie x 6,
(8,x), gdzie x 8.
Razem jest ich 4*8.
Zatem P(A)= 4*8/(9*8) = 4/9.
Przykład 4
Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że w dziesięciu rzutach dokładnie
4 razy pojawi się orzeł?
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych to zbior ciągów o
wartościach O-orzeł i R-reszka.
Takich elementów jest tyle
ile różnych funkcji
ze zbioru 10 elementowego
w zbiór 2 elementowy, tzn. 2
10
.
Zdarzeniu A sprzyjają
wszystkie zdarzenia
elementarne, w których na 4
pozycjach są orły a na
pozostałych reszki.
Jest ich tyle,
ile podzbiorów
4 elementowych,
tzn.(10 nad 4)
Ostatecznie P(A) = (10 nad 4) / 2
10
.
Własności prawdopodobieństwa
Niech będzie przestrzenią zdarzeń
elementarnych.Wtedy
(a) P(
) = 0
(b) jeżeli A B, to P(A)
P(B),
(c) dla każdego A , P(A)
1,
(d) P(A’) =1 - P(A),
(e) P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Ad. Dowód (b). B= (B-A) A
Ad. Dowód (e). A
B = A
(B-A)
B= (B-A)
(A
B)
Rzucamy 3 razy kostką. jakie jest
prawdopodobieństwo zdarzenia A=„choć raz
wypadła 6” ?
Rozwiązanie. Zbiór zdarzeń elementarnych = {(x,y,z):
x,y,z {1,2,...6}}. card(W)= 6
3
. Zdarzenie przeciwne do A,
A’ =„ani razu nie wypadła 6”.
A’={(x,y,z): x,y,z {1,2,3,4,5}}. Zatem P(A’) = 5
3
/6
3
, więc
P(A) = 1- 5
3
/6
3
.
Przykłady
Przykład Rzucamy dwiema różnokolorowymi kostkami do
gry i rozważamy dwa zdarzenia A = „ suma oczek
wyrzuconych wyniesie 8”
B = „obie liczby oczek są nieparzyste”
Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A
B?
Rozwiązanie
Na mocy twierdzenia P(A B) = P(A) + P(B) - P(AB).
Ponieważ A={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3), (6,2)}
B ={(x,y): x,y=1,3,5} oraz
A B = {(3,5),(5,3)}
Zatem P(A B) = 5/36 + 9/36 -
2/36 = 1/3.
Przykład Rzucamy 10 razy
monetą. jakie jest
prawdopodobieństwo, że
choć raz dostaniemy orła?
Zbiór zdarzeń elementarnych
to zbiór funkcji,
f : {1,2,3...,10} -> {O,R}.
Policzymy najpierw P(A’).
Mamy P(A’)=1/2
10
Stąd P(A)= 1-1/1024.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Przykład
1
2
3 4
W urnie znajdują sie 4 kule: dwie białe i dwie
czarne ponumerowanie od 1 do 4.Losujemy 2
kule bez zwracania.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych to {(x,y): x y i
x,y =1,2,3,4}. card () = 4*3 =12. Zakładamy, że
zdarzenia elementarne są jednakowo
prawdopodobne. Czyli P(x,y)=1/12.
Rozważmy zdarzenia: A=” za drugim razem biała
kula”,
B= „ za pierwszym razem kula
czarna”.
Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (1,3),(1,4),(3,4),(2,3),
(2,4), (4,3).
Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń el. : (1,3),(1,4),(1,4),
(2,1),(2,3), (2,4).
P(A)=6/12
Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym
losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo
zdarzenia A?
Zdarzeniu A sprzyjają 4 zdarzenia el. występujące w B, czyli
P(A/B)= 4/6.
Prawdopodobieństwo warunkowe
c.d.
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod
warunkiem, że zajdzie zdarzenie B, P(A|B),
wyraża się wzorem:
P(A|B) = P(A B)/ P(B) o ile P(B)
>0
Zdarzenia elementarne to trójki (x,y,z)
gdzie x,y,z =1,2,3,4,5,6. Jest ich
6*6*6.
Przykład Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że A=„chociaż na jednej kostce
wypadnie 1”, jeśli B=„na każdej kostce wypadnie inna liczba
oczek”.
Zdarzeń sprzyjających B
jest tyle ile funkcji 1-1na zb.
3 elem. w zbiór 6
elementowy. Jest ich 6*5*4.
Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6).
Zdarzeniu A B sprzyjają
trójki (1,x,y) ,(x,1,y), (x,y,1)
gdzie x jest jedną z 5
wartości a y jedną z 4
wartości. P(A B)=
5*4*3/6
3
Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)=
1/2
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi,
jeśli
P(A B) = P(A) * P(B).
Zauważmy, że jeśli A i B stanowią parę zdarzeń
niezależnych, to
P(A|B) = P(A B)/P(B) = P(A) .
Czyli, zajście zdarzenia B nie wpływa na
prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Zdarzenie
A nie zależy od tego czy zajdzie czy też nie zdarzenie
B.
Przykład Z talii kart losujemy 2 ze zwracaniem.
Rozważmy zdarzenia A =„ za pierwszym razem
wylosowano asa” B = „ za drugim razem wylosowano
asa”. Mamy
P(A B) = (4*4)/52
2
P(A)= 4/52 P(B) = 4/52, czyli
P(A B) = P(A) * P(B), a więc są to zdarzenia
niezależne.