Rozkłady dwuwymiarowe.

Zadanie 1.

Dwuwymiarowa zmienna (X, Y) ma rozkład prawdopodobieństwa dany tabelką:

X/Y	0	1
0
1

Zbadać, czy zmienne X i Y są niezależne.

Zadanie 2.

Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest

f(x, y) =

Obliczyć P (1 < X < 2, 1 < Y , 2).

Zadanie 3.

Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest

f(x, y) =
exp [ -
(x² + y²)]

Obliczyć P (X > 1), P (-1 < Y < 1), P (X > 1, Y < 0).

Zadanie 4.

Gęstością prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) jest

f(x, y) =
exp [-
(
+
)]

a). Obliczyć P (X > 0, Y > 0).

b). Obliczyć prawdopodobieństwo p tego, że zmienna losowa (X, Y) przyjmie wartości z obszaru określonego nierównością x > y.

Zadanie 5.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y) ma rozkład jednostajny w kwadracie o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Znaleźć dystrybuantę F(x, y) tej zmiennej losowej.

Zadanie 6.

Dana jest funkcja

f(x, y) =

Zbadać, czy tak określona funkcja jest gęstością dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y).

Zadanie 7.

Funkcja

f(x, y) =

określa rozkład zmiennej losowej (X, Y). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej (X, Y).

Zadanie 8.

Dla funkcji

f(x, y) =

a). wyznaczyć stałą C tak, aby funkcja określała rozkład.

b). podać rozkłady brzegowe.

c). podać dystrybuantę.

d). zbadać niezależność zmiennych wektora losowego (X, Y).

Zadanie 9.

Mamy dwie urny, w których są kartki z numerami: urna I zawiera kartki z numerami: 1, 2, 3, 4, a urna II kartki z numerami: 1, 3. Zmienną losową (X, Y) określamy następująco: Losujemy jedną kartkę z urny I. Zmienna losowa X przyjmuje wartość równą liczbie otrzymanej na wylosowanej kartce. Jeżeli jest to liczba parzysta, to zmienna losowa Y przyjmuje tę samą wartość, co zmienna losowa X. Jeśli jednak z urny I wylosujemy kartkę o numerze nieparzystym, to losujemy jedną kartkę z urny II i zmienna losowa Y przyjmuje wówczas wartość równą sumie liczb otrzymanych na obu kartkach.

Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej (X, Y).

Zadanie 10.

Podać rozkłady warunkowe, gdy dany jest dwuwymiarowy rozkład zadania 3 (tej listy).

Zadanie 11.

Znaleźć gęstość rozkładów warunkowych w dwuwymiarowym rozkładzie podanym w zadaniu 2 tej listy.

Zadanie 12.

Dla poniżej podanych funkcji gęstości:

a). f(x, y) =

b). f(x, y) =

Zbadać, czy X i Y są niezależne.

1

---