Rachunek prawdopodobieństwa cz. 1
Wprowadzenie
zad. 1 Zakłady Forda reklamują swoje samochody w radiu i telewizji. Firma chciałaby oszacować prawdopodobieństwo tego, że do losowo wybranej osoby dociera jedna z tych dwóch form reklamy samochodów Forda. Jeżeli przez R oznaczymy zdarzenie, że losowo wybrana osoba zetknęła się z reklamą radiową, a przez T zdarzenie, że taka osoba zetknęła się z reklamą telewizyjną, to wyjaśnij co oznaczają zdarzenia R∩T oraz R∪T.
zad. 2 Biuro maklerskie pośredniczy w sprzedaży akcji i obligacji. Analityk biura chce oszacować prawdopodobieństwo, że osoba, która zasięga porady, będzie chciała nabyć akcje (A) lub obligacje (O). Zdefiniuj sumę i iloczyn obu zdarzeń.
zad. 3 W artykule zamieszczonym w czasopiśmie „Newsweek” w roku 1986, matematyk John Paulos zauważa, że większość ludzi niewłaściwie ocenia prawdopodobieństwo zdarzeń, które ich dotyczą. Większość bardzo obawia się zdarzeń, którym nadano rozgłos, mimo, że mają małe prawdopodobieństwo, natomiast nie martwi się zdarzeniami o znacznie wyższym prawdopodobieństwie. W celu zilustrowania swojej tezy Paulos przytacza następujące dane: w roku 1985, 28 milionów Amerykanów podróżowało za granicą; 39 spośród nich zostało zabitych przez terrorystów, natomiast 1 na 5300 Amerykanów zginął w wypadku samochodowym. Oblicz prawdopodobieństwo zostania zabitym przez terrorystę w czasie podróży za granicą. Porównaj wynik z prawdopodobieństwem śmierci w wypadku samochodowym.
zad. 4 Firma handlowa zamierza otworzyć sklep, przy czym ma do wyboru dwie lokalizacje. Przewiduje się, że w przypadku powodzenia pierwszej lokalizacji sklep przyniesie 20 mln dochodu tygodniowo, a w przypadku braku powodzenia 2 mln straty. W przypadku drugiej lokalizacji, jeśli sklep będzie miał powodzenie, wówczas przyniesie 25 mln dochodu tygodniowo, a w przypadku przeciwnym 5 mln straty. Gdzie ulokować sklep, jeśli:
prawdopodobieństwo powodzenia dla obu lokalizacji jest takie samo i równe ½,
prawdopodobieństwo powodzenia dla obu lokalizacji jest takie samo i równe ¼,
prawdopodobieństwo powodzenia dla obu lokalizacji jest takie samo i równe ¾?
zad. 5 Pewna operacja w komputerze zajmuje od 1/100 do 4/100 sekundy. Znalezienie się czasu trwania operacji, w którymkolwiek podprzedziale tego przedziału jest tak samo możliwe, jak znalezienie się w innym przedziale o tej samej długości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że operacja będzie trwała ponad 2/100 sekundy.
Zdarzenia niezależne i zależne
zad. 6 Z danych ZUS wynika, że 70-letnia kobieta ma 70% szans na osiągnięcie wieku co najmniej 85 lat, podczas gdy 70-letni mężczyzna ma 55% szans dożycia do co najmniej 85 lat. Jakie jest prawdopodobieństwo wspólnego dożycia przez 70-letnich małżonków do co najmniej 85 lat?
Prawdopodobieństwo sumy i iloczynu zdarzeń
zad. 7 W ankietowych badaniach rynku pyta się konsumentów o to, jakich produktów używają. Jedno pytanie dotyczy pasty do zębów. Przypuśćmy, że 14% ludności używa pasty rodzaju A, a 9% ludności używa pasty rodzaju B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany konsument używa jednego z tych dwóch rodzajów pasty? Zakładamy, że w badanym czasie 1% konsumentów używa dwóch rodzajów pasty.
zad. 8 Licznik do liczenia klientów sklepu jest ukrytą fotokomórką rejestrującą osoby wchodzące do sklepu. Jeżeli dwóch klientów wchodzi razem do sklepu, jeden przed drugim, to prawdopodobieństwo, że wykryty zostanie pierwszy klient wynosi 0,98, prawdopodobieństwo, że wykryty zostanie drugi klient wynosi 0,94, a prawdopodobieństwo, że obaj zostaną wykryci wynosi 0,93. Jakie jest prawdopodobieństwo, że licznik wykryje co najmniej jednego z wchodzących razem klientów?
Prawdopodobieństwo warunkowe
zad. 9 Firma stara się o kontrakt w dwóch spółkach A i B. Zarząd firmy szacuje prawdopodobieństwo zawarcia kontraktu z firma A (zdarzenie A) na 0,45. Zarząd uważa też, że gdyby firma zawarła kontrakt z firmą A, to prawdopodobieństwo zawarcia kontraktu z firmą B (zdarzenie B) należałoby ocenić na 0,90. Jakie jest prawdopodobieństwo, że firma zawrze oba kontrakty?
zad. 10 Towarzystwo ubezpieczeniowe dzieli kierowców ubiegających się o polisę na klasy B1, B2, B3, zależnie od ryzyka wypadku. Według oceny towarzystwa 30% kierowców należy do klasy B1, gdzie ryzyko jest niewielkie, 50% do klasy B2, gdzie ryzyko jest średnie i 20% do klasy B3 z dużym ryzykiem. Prawdopodobieństwo wypadku w ciągu roku wynosi dla kierowców klas B1, B2 i B3 odpowiednio 0,01, 0,03 i 0,1.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że posiadacz polisy należy do klasy B3, jeśli wiadomo, że w ciągu roku przydarzył mu się wypadek
Zakładając, że posiadacz polisy nie miał żadnego wypadku w ciągu 5 lat, oraz że wypadki w poszczególnych latach są niezależne, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że należy on do klasy B1, a jakie, że należy do klasy B3.
zad. 11 Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem 0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego jest 0,07. Zakłada się, że 1% populacji uległo zarażeniu tym wirusem.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej populacji test dał wynik pozytywny.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik pozytywny?
2/2