Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

Elementy rachunku prawdopodobieństwa: Zmienna losowa i jej roz-

kład. Zmienne losowe typu dyskretnego.

Zagadnienia:
 definicja zmiennej losowej
 rozkład zmiennej losowej, funkcja prawdopodobieństwa, dystrybuanta
 charakterystyki (parametry) zmiennej losowej (wartość oczekiwana i jej własności, wariancja i jej

własności, odchylenie standardowe, mediana*, kwantyle*)

 rodzaje zmiennych losowych: typu skokowego, typu ciągłego
 rozkłady typu skokowego: rozkład zerojedynkowy, dwumianowy, Poissona, hipergeometryczny*

 Dokładność obliczeń: 4 miejsca po przecinku.


Zad. 1 Narysować dowolną funkcję spełniającą pierwsze trzy własności dystrybuanty. (Dla ambitnych:
Korzystając z pakietu R i funkcji curve() narysuj wykres zaproponowanej przez siebie dystrybuanty)

Zad. 2 Niech zmienna losowa X oznacza dzienną liczbę ataków na pewną sieć korporacyjną. Zbiór war-
tości zmiennej losowej X to {0,1,2,3}, natomiast odpowiadające im prawdopodobieństwa wynoszą {0,1;
0,2; 0,6; c}.

a) Wyznaczyć stałą c, tak aby uzyskać właściwy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
b) Przedstawić funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w postaci tabeli oraz wykresu.
c) Wyznaczyć dystrybuantę X w postaci tabeli oraz ją narysować.
d) Obliczyć prawdopodobieństwo (

2,5)

P X 

korzystając z funkcji prawdopodobieństwa, z dystry-

buanty w postaci tabeli oraz wykresu.

e) Obliczyć prawdopodobieństwo (1

2,5)

P

X





korzystając z dystrybuanty. Zaznaczyć to prawdo-

podobieństwo na wykresie dystrybuanty.

f) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 3 Zmienna losowa

X przyjmuje następujące wartości: 4; 1; 2; –1; 6, natomiast odpowiadające im

prawdopodobieństwa wynoszą: 0,1; 0,4; 0,3; 0,1;

c .

a) Wyznaczyć stałą

c oraz przedstawić funkcję rozkładu prawdopodobieństwa w postaci tabeli oraz

wykresu.

b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej

X oraz narysować jej wykres.

c) Obliczyć następujące prawdopodobieństwa:

(

5)

P X 

,

(1

3)

P

X





,

(

1)

P X 

dwoma sposo-

bami – korzystając z funkcji prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty. Zaznaczyć te prawdopodo-
bieństwa na wykresie dystrybuanty. Ponadto obliczyć:

(

5)

P X 

,

(1,5)

F

,

(1)

F

,

(

0, 4)

P X 

,

(1

3)

P

X





.

d) Wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej

X

.

e) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 4 Dystrybuanta zmiennej losowej

X

określona jest następująco:

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej

X oraz narysować jej wykres.

b) Obliczyć prawdopodobieństwa: ( 1

3)

P

X

 



, ( 2,5

0,8)

P

X







oraz zinterpretować je na wy-

kresie dystrybuanty.

c) Wyznaczyć: wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej

X

.

x





 3

,

(







1

,

3

(



 0

,

1

(



1

,

0

(

)

,

1

( 

)

(x

F

0

0,1

0,3

0,6

1

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

d) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 5 Dystrybuanta zmiennej losowej

Z dana jest następującym wzorem:









































.

4

dla

1

,

4

3

dla

7

,

0

,

3

1

dla

5

,

0

,

1

2

dla

2

,

0

,

2

dla

0

)

(

z

z

z

z

z

z

F

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej

Z oraz narysować jej wykres.

b) Obliczyć:

)

3

( 

Z

P

,

)

5

,

1

( 

Z

P

,

)

4

1

(



 Z

P

,

)

3

2

(







Z

P

,

)

8

,

2

(

F

.

c) Wyznaczyć:

)

(Z

E

,

)

(

2

Z

D

,

)

(Z

D

.

d) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 6 Zmienna losowa

Y

ma rozkład prawdopodobieństwa określony w następujący sposób:

3

,

0

)

1

(





Y

P

;

2

,

0

)

1

(







Y

P

;

3

,

0

)

3

(





Y

P

;

c

Y

P



 )

5

(

.

a) Wyznaczyć stałą

c oraz przedstawić funkcję prawdopodobieństwa w postaci tabeli.

b) Wyznaczyć: wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej

Y

.

c) Obliczyć wartość dystrybuanty dla argumentu 2,9.

d) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa

Y

przyjmie wartość nie mniejszą niż

–1 i jednocześnie nie większą niż 3.

e) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 7 Wyznaczyć oraz narysować funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeżeli jej dystry-
buanta (również ją narysować) ma następującą postać:
x

(



; -2>

(-2;3>

(3;5>

(5;



)

F(x)

0

0,4

0,5

1

Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 8 Niech będzie dana dyskretna zmienna losowa X o funkcji prawdopodobieństwa:

i

x

-2

2

4

5

i

p

0,5

0,3

0,1

0,1

Dla zmiennej losowej X oraz Y=3X+2 wyznaczyć wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie stan-
dardowe. W przypadku zmiennej losowej Y zaprezentować oraz skorzystać z własności wartości oczeki-
wanej i wariancji.
Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 9 Aktuariusz na podstawie swoich badań ustalił, że rozkład prawdopodobieństwa liczby wypadków
powstających w ciągu dnia roboczego jest następujący:
Liczba

wypadków

i

x

0

1

2

3

4

5

Prawdopodobieństwo
wystąpienia

danej

liczby wypadków

i

p

0,02

0,18

0,28

0,25

0,20

0,07

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

a) Określ zmienną losową X
b) Wykreśl funkcje rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
c) Wyznacz jej dystrybuantę
d) Oblicz





3

P X 

,





1

P X 

oraz





2

3

P

X





e) Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję (oraz medianę zmiennej losowej X)
f) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 10 Dystrybuanta zmiennej losowej

Y

dana jest wzorem:

 

0 dla

4

1 5 dla

4

3

2 5 dla 3

5

4 5 dla 5

7

1 dla

7

y

y

F y

y

y

y

 




 




























a) Wyznaczyć moment zwykły rzędu pierwszego rozkładu zmiennej losowej

Y

b) Obliczyć wartość momentu centralnego rzędu drugiego
c) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 11 Rozkład kwot indywidualnych szkód (

X

w tys. zł) przedstawia tabela:

i

x

1

2

3

4

i

p

0.3

0.5

0.1

0.1

Obliczyć:

a) wartość oczekiwaną rozkładu indywidualnych szkód
b) wariancję rozkładu indywidualnych szkód
c) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 12 Pan Roztropny podejmuje decyzje inwestycyjne kierując się poziomem współczynnika zmienno-
ści stopy zwrotu jako miary ryzyka. W akcje której spółki zainwestuje?
Stan rynku

Prawdopodobieństwo

Stopa zwrotu spółki A

Stopa zwrotu spółki B

1

0.1

-10%

-5%

2

0.3

5%

-1%

3

0.2

10%

10%

4

0.35

2%

1%

5

0.05

22%

20%

Zad. 13 Wyznaczyć w sposób analityczny wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe
zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym. Dla jakiej wartości prawdopodobieństwa sukcesu wa-
riancja jest największa? Czy wynik jest zgodny z intuicją?

Dla ambitnych: Z wykorzystaniem pakietu R narysuj funkcję prawdopodobieństwa rozkładu zero-
jedynkowego dla różnych wartości prawdopodobieństwa sukcesu. Jakie wnioski płyną z analizy?

**Zad. 14 Dla europejskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania

K

wypłata jest zadana wzorem





T

T

P

K

S







, gdzie

T

S to cena akcji w terminie zapadalności (realizacji transakcji).

Załóżmy, że akcja kosztująca 200 będzie za trzy miesiące miała cenę 200 lub 300, a stopa procentowa na
depozyt trzymiesięczny jest równa 10%. Cena wykonania opcji wynosi 250. Znajdź cenę opcji licząc ją
jako wartość oczekiwaną wypłaty względem miary martyngałowej (prawdopodobieństwa martyngałowe-
go).

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

Wsk. Cena akcji w chwili T jest zmienną losową o rozkładzie zerojedynkowym.


*Zad. 15 Wyznaczyć w sposób analityczny wartość oczekiwaną, wariancję oraz odchylenie standardowe
zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym. (Wsk. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wa-
riancji.)
Wykorzystując pakiet R narysuj funkcję prawdopodobieństwa dla rozkładu dwumianowego dla różnych
wartości liczby powtórzeń oraz prawdopodobieństwa sukcesu. Jakie wnioski płyną z analizy? Spróbuj
uzasadnić za pomocą otrzymanych wyników prawdziwość Centralnego Twierdzenia Granicznego.

Zad. 16 Prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu w grupie klientów wysokiego ryzyka wynosi 0,30. W
pewnym oddziale banku udzielono 4 kredytów wspomnianym klientom. Jaki model stosuje się do po-
wyższego problemu? Czy wszystkie założenia modelu są zasadne z punktu widzenia opisu rzeczywisto-
ści?

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa oraz dystrybuantę liczby niespłaconych kredytów (w

formie tabeli i wykresu).

b) Obliczyć oczekiwaną liczbę niespłaconych kredytów oraz jej wariancję i odchylenie standardowe.

Rozwiąż zadanie na dwa sposoby: z definicji i korzystając z gotowej formuły na wspomniane
wartości.

c) Dwoma sposobami (z funkcji rozkładu i dystrybuanty) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że mniej

niż 3 klientów nie spłaci kredytu.

d) Czy w rzeczywistości założenie, że prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu dla każdego klienta

wysokiego ryzyka wynosi 0,30 jest sensowne? Co można zrobić, aby dokładniej modelować
prawdopodobieństwo niespłacenia kredytu?

e) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższe zadanie w pakiecie R?

Zad. 17 Prawdopodobieństwo dotarcia reklamy do danej osoby wynosi 0.3. Jakie jest prawdopodobień-
stwo, że wśród losowo wybranych 5 osób przynajmniej 3 z nich zobaczą tę reklamę? Jaka jest oczekiwa-
na liczba osób, które zobaczą tę reklamę?

Zad. 18 Firma zakupiła 6 nowych laptopów tej samej marki. Prawdopodobieństwo, że laptop tej marki
ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0.06. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej 2 laptopy
ulegną awarii w okresie gwarancji. Jaka jest wartość przeciętna i wariancja rozkładu liczby laptopów,
które ulegną awarii w okresie gwarancji?

Zad. 19 Bank zakupił 50 komputerów, które pracują niezależnie. Prawdopodobieństwo uszkodzenia
komputera w okresie gwarancji wynosi 0.05. Oblicz prawdopodobieństwo, że w okresie gwarancji ule-
gnie awarii więcej niż 1 komputer.

Zad. 20 Dwadzieścia osób stara się o pracę w pewnej firmie, przy czym tylko pięć z nich ma wyższe wy-
kształcenie. Ponieważ dyrektor ds. zatrudnienia nie ma czasu na prowadzenie rozmów kwalifikacyjnych,
wybiera kandydatów w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród trzech wybranych osób
wszystkie mają wyższe wykształcenie.

Zad. 21 Egzaminator zadaje studentowi dodatkowe pytania. Prawdopodobieństwo tego, że student odpo-
wie na zadane pytanie jest równe 0.8. Profesor przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpo-
wiedzieć na zadane pytanie.

a) Podać rozkład liczby dodatkowych pytań, które zadawał profesor studentowi
b) Podać prawdopodobieństwo, że profesor zada 3 pytania

*Zad. 22 Wykorzystując pakiet R narysuj funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę dla rozkładu Pois-
sona dla różnych wartości parametru

 . Jakie wnioski płyną z analizy wykresu?

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

Dla jakich rodzajów zdarzeń znajduje zastosowanie rozkład Poissona? Jaki jest jego związek z rozkładem
dwumianowym?
Dla ambitnych: Zbadaj zależność obydwu rozkładów z wykorzystaniem pakietu R. Przeprowadź symula-
cję ukazującą jakość aproksymacji rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona.


Zad. 23 Do pewnej firmy klienci zgłaszają się przeciętnie z częstotliwością 2 klientów na 10 minut. Po-
stanowiono założyć, że liczbę zgłaszających się w ciągu 10 minut klientów można modelować przy po-
mocy rozkładu Poissona z parametrem

2





(dlaczego?).

a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa w formie tabelki oraz narysować dystrybuantę dla

x=0,1,2,3,4.

b) Wyznaczyć oczekiwaną liczbę klientów oraz jej wariancję i odchylenie standardowe.
c) Firma może maksymalnie obsłużyć 4 klientów w ciągu 10 minut. Wyznaczyć prawdopodobień-

stwo, że w ciągu 10 minut do firmy przybędzie więcej niż 4 klientów.

d) Dla ambitnych: Jak wykonać zadanie w pakiecie R?

*Zad. 24 Wyznacz medianę w rozkładzie Poissona z parametrem

 dla:

a)

1.4





b)

1.8





c)

2.2





d) Dla ambitnych: Oblicz symulacyjnie medianę w pakiecie R

Zad. 25 Prawdopodobieństwo tego, że do biura pośrednictwa pracy zgłosi się w ciągu godziny k osób

poszukujących pracy jest równe

!

k

e

k







, gdzie

0





jest pewnym parametrem. Dla każdej z tych osób

prawdopodobieństwo znalezienia pracy jest równe

p

. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że dokładnie

n

osób spośród zgłaszających się w czasie od 10.00 do 11.00 znajdzie pracę.

Zad. 26 Liczba reklamacji zgłaszanych w ciągu tygodnia w pewnym biurze turystycznym może być mo-
delowana za pomocą zmiennej losowej

X

o rozkładzie Poissona z parametrem 2. Liczby reklamacji

zgłaszanych w poszczególnych tygodniach są niezależnymi zmiennymi losowymi.

a) Jaka jest wartość oczekiwana i odchylenie standardowe liczby reklamacji zgłaszanych w ciągu

tygodnia w tym biurze turystycznym?

b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w danym tygodniu do biura wpłyną nie więcej niż 3 reklamacje?
c) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca (4 tygodnie) do biura wpłynie dokładnie 8 re-

klamacji?

d) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?

Zad. 27 Liczba zakładanych dziennie kont indywidualnych przez oddział pewnego banku może być Mo-
delowaną za pomocą zmiennej losowej

X

o rozkładzie Poissona z parametrem

4





.

Liczby zakładanych kont indywidualnych w poszczególnych dniach są niezależnymi zmiennymi loso-
wymi.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia w oddziale założy konto co najmniej 3 klientów.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu 2 dni w oddziale banku konto założy dokładnie 6 klien-

tów.

c) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższa analizę w pakiecie R?

Zad. 28 W pewnej firmie wykonuje się rocznie około miliona operacji księgowania. Wiadomo, że frakcja
księgowań niepoprawnych wynosi 0,2%. Przy kontroli przedsiębiorstwa losuje się w celu dokładnego
sprawdzenia 2500 pozycji księgowania (losowanie ze zwracaniem). Wyznaczyć:

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Wnioskowanie statystyczne, mgr Oskar Knapik

a) prawdopodobieństwo, że przy kontroli zostaną znalezione nie więcej niż trzy źle zaksięgowane

pozycje

b) rozkład prawdopodobieństwa (funkcję prawdopodobieństwa) liczby znalezionych niepoprawnych

księgowań (obliczenia zakończyć na przedziale 10 i więcej)

c) parametry rozkładu
d) teoretyczne liczebności liczby niepoprawnych księgowań w 200 różnych losowaniach
e) Dla ambitnych: Jak wykonać zadanie w pakiecie R?

(Wsk. Wykorzystaj własności rozkładu Poissona. W jakich sytuacjach dopuszczalne jest przybliżenie
zmiennej o rozkładzie dwumianowym zmienną o rozkładzie Poissona?)

*Zad. 29 Wykorzystując pakiet R narysuj funkcję prawdopodobieństwa dla rozkładu hipergeometryczne-
go dla różnych wartości liczebności populacji i próby oraz liczby elementów wyróżnionych. Jakie wnio-
ski płyną z analizy? Spróbuj za pomocą symulacji uzasadnić związki rozkładu hipergeometrycznego z
rozkładem dwumianowym.

*Zad. 30 Biegły rewident losuje w celu kontroli 10 pozycji spośród 100 i sprawdza poprawność ich księ-
gowania. Wiadomo, że wśród wszystkich pozycji 1% jest niepoprawnie zaksięgowanych. Wyznaczyć
rozkład liczby wylosowanych, niepoprawnie zaksięgowanych pozycji przy założeniu stosowania przez
biegłego rewidenta losowania ze zwracaniem. Wyznaczyć parametry tego rozkładu i porównać z parame-
trami rozkładu otrzymanego w tych samych warunkach, ale w przypadku losowania bez zwracania.
(Wsk. Skorzystaj z własności rozkładu dwumianowego i rozkładu hipergeometrycznego. Jaka jest różnica
pomiędzy wspomnianymi rozkładami? W jakich sytuacjach wykorzystamy do opisu zjawiska losowego
rozważane rozkłady?)
Dla ambitnych: Jak wykonać zadanie w pakiecie R?

*Zad. 31 Na drodze ruchu pociągów znajdują się w znacznej odległości od siebie 4 semafory, z których
każdy (wobec znacznej odległości niezależnie od innych) zezwala na przejazd z prawdopodobieństwem

0.8

p 

. Niech

X

oznacza liczbę semaforów zezwalających na przejazd i poprzedzających pierwsze za-

trzymanie lub stację docelową. Znaleźć:

a) Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej

X

b) Dystrybuantę zmiennej losowej

X

c) Prawdopodobieństwo





2

P X 

d) Wyznaczyć wartość przeciętną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej

X

e) Dla ambitnych: Jak wykonać powyższą analizę w pakiecie R?