Listy zadań na ćwiczenia do wykładu z Rachunku

prawdopodobieństwa I

1

dr Jarosław Kotowicz

19 stycznia 2004

1

c

Copyright J.Kotowicz

Spis treści

1

07.10.2003

4

1.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2

14.10.2003

7

2.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3

21.10.2003

12

3.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4

28.10.2003

13

4.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

4.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

5

04.11.2003

15

5.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

5.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

6

18.11.2003

17

6.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

6.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

7

25.11.2003

19

7.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

7.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

8

02.12.2003

20

8.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

8.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

9

09.12.2003

22

9.1

Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

9.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

10 16.12.2003

25

10.1 Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

10.2 Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

11 13.01.2004

26

11.1 Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

11.2 Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2

12 20.01.2004

28

12.1 Lista dla wszystkich lat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

12.2 Dodatkowa lista dla studiów magisterskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

13 Zadania przykładowe na egzamin

30

3

Ćwiczenia 1

07.10.2003

1.1

Lista dla wszystkich lat

1.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 1.1 Ile jest możliwości, że brydżysta otrzyma dokładnie

• damę pik, asa tref, 5 kierów ?

• damę pik, asa tref i 5 trefli ?

• wszystkich kart tego samego koloru ?

• dokładnie 12 kart tego samego koloru ?

Zadanie 1.2 Z tali liczącej 52 karty wybieramy 9 kart. Ile było takich losowań, że otrzymano dokładnie 1 asa.

Zadanie 1.3 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Określmy zdarzenia:

• A suma oczek na obu kostkach wynosi 4;

• B iloczyn oczek na obu kostkach wynosi 4;

• C na obu kostkach wypadła nieparzysta liczba oczek.

Opisać następujące zdarzenia:

• A ∩ B ∩ C;

• A ∩ B

0

;

• (A ∩ B

0

) ∪ (A ∩ C

0

).

Zadanie 1.4 Ze zbioru liczb naturalnych losujemy jedną liczbę. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne. Czy jest wykonalne

to polecenie ? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 1.5 Rzucamy 5 kostkami do gry. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne. Czy możemy to zrobić w rozsądnym

czasie. Jak inaczej opisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych ?

Zadanie 1.6 Rzucamy 10

6

kostkami do gry. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne. Czy jest wykonalne to polecenie ?

Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 1.7 Rzucamy 3 razy monetą. Opisać przestrzeń probabilistyczną odpowiadającą temu doświadczeniu (co to są:

Ω, S, P ?).

Zadanie 1.8 Rok liczy 365 dni. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 3 losowo wybrane panie

4

• urodziły się tego samego dnia;

• pierwsza w styczniu, druga w marcu, a trzecia w drugim półroczu.

Zadanie 1.9 Samorząd klasowy składa się z 6 uczniów i 4 uczennic. Spośród członków samorządu wybieramy losowo delegację

składającą się z 5 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że delegacja będzie składała się z dokładnie z 3 uczennic i 3 uczniów.

Zadanie 1.10 Grupę liczącą 14 osób podzielono na dwie po 7 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby A i B będą w tej

samej grupie.

Zadanie 1.11 Pięciu chłopców i dwie dziewczynki ustawiono w szereg. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że dziewczynki

stoją obok siebie.

Zadanie 1.12 W zbiorze 2n liczb (n ­ 1) wyróżniono dwie. Czy bardziej prawdopodobne jest, że siadając losowo wokół stołu

przy którym jest 2n miejsc, wyróżnione osoby znajdą się obok siebie, czy naprzeciw ?

Zadanie 1.13 Do pociągu złożonego z n wagonów wsiada N pasażerów, (n ¬ N ). Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,

że:

• do wagonu z numerem l wsiądzie co najmniej 1 pasażer.

• żaden z wagonów nie będzie pusty.

Zadanie 1.14 W szafie znajduje się 20 różnych par butów. Losujemy 4 buty. Obliczyć prawdopodobieństwo, że nie otrzymamy

żadnej pary.

Zadanie 1.15 W urnie znajdują się kartki z liczbami 12, 13, 14, 15, 18, 25, 30. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losując

jedna kartę otrzymamy liczbę podzielna przez 5 lub 3.

Zadanie 1.16 W urnie znajduje się 18 kul czarnych i 12 białych. Losujemy 3 kule

• jednocześnie;

• pojedynczo za każdym razem zwracając wylosowaną kulę.

Obliczyć prawdopodobieństwo

• wszystkie trzy kule są czarne;

• otrzymano dokładnie dwie kule czarne.

Zadanie 1.17 W urnie znajdują się 4 kule białe, 3 czarne i 5 zielonych.

• Losujemy jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli koloru czarnego lub białego.

• Losujemy dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kul różnokolorowych.

Zadanie 1.18 Pięć zeszytów wrzucamy do trzech szuflad. Co jest bardziej prawdopodobne to, że

a) w pewnej szufladzie będą co najmniej trzy zeszyty,

b) co najmniej jedna szuflada będzie pusta ?

Zadanie 1.19 Z tali liczącej 52 kary losujemy jedną, oglądamy ją i zwracamy do tali. Talię tasujemy i losujemy drugą. Jakie

jest prawdopodobieństwo wylosowania za drugim razem asa pik.

Zadanie 1.20 Z talii 52 kart losujemy 7. Obliczyć prawdopodobieństwo

• otrzymamy dokładnie 3 piki;

• co najmniej dwie kart będą kierami;

5

• co najwyżej 5 kart będzie treflami;

• wylosowano dokładnie 2 kiery, 3 trefle, 1 karo i 1 pika.

Zadanie 1.21 Z tali 52 kart wyjęto jedną kartę i włożona do tali zawierającej także 52 kary. Z II talii losujemy kartę Jakie

jest prawdopodobieństwo wylosowania asa.

Zadanie 1.22 Z tali 32 kart losujemy 3. Obliczyć prawdopodobinstwo, że wśród wylosowanych kart jest przynajmniej jeden

as.

Zadanie 1.23 (Problem roztargnionej sekretarki) Do n zaadresowanych kopert włożono w sposób losowy n listów do

różnych adresatów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że chociaż jeden list trafi do właściwej koperty. Wyznaczyć granicę tego

prawdopodobieństwa gdy n −→ ∞

Zadanie 1.24 (Zadanie Banacha) Pewien matematyk kupił dwa pudełka po N zapałek. Za każdym razem, gdy potrzebował

zapałki wybierał losowo jedno pudełko. Musi nadejść taki moment, gdy po raz pierwszy wyciągnie pudełko puste. Obliczyć

prawdopodobieństwo, że w tej chwili drugie pudełko będzie zawierać k zapałek.

Zadanie 1.25 Wyprowadzić wzór na P (A ∪ B ∪ C).

6

Ćwiczenia 2

14.10.2003

2.1

Lista dla wszystkich lat

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że sześcian losowo wybranej liczby spośród liczb od 0 do 999 kończy się na 11?

2. Ile liczb należy wylosować ze zbioru {0, 1, . . . , 9}, aby prawdopodobieństwo wystąpienia wśród nich liczby 7 był nie

mniejsze niż 0,9 ? Uwzględnić schemat losowania ze zwracaniem i bez zwracania.

3. Ze zbioru liczb od 1 do 10 wybieramy kolejno dwie (bez zwracania) i od pierwszej odejmujemy drugą. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że ich różnica będzie większa od 2.

4. Ze zbioru X, gdzie X = {1, . . . , n}, (n ­ 2), losujemy kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza

z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane wierchołki sześcianu jednostkowego będą odległe o więcej niż 1.

6. Problem Buffone’a. Płaszczyzna jest pokryta prostymi równoległymi w odstępach równych a. Na tą płaszczyznę

rzucamy igłę o długości l, l < a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z prostych ?

7. Monetę o promieniu r rzucamy na parkiet utworzony z przystających kwadratów o boku 2a. Obliczyć prawdopodo-

bieństwo, że moneta przykryje przynajmniej dwa kwadraty, jeśli r < a.

8. W dany kwadrat o boku 2a wpisujemy koło, a następnie w koło kolejny kwadrat. Wybieramy losowo punkt z większego

kwadratu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany punkt należy do kwadratu mniejszego.

9. Udowodnić własności prawdopodobieństwa nieudowodnine na wykładzie.

10. Niech zdarzenia A, B są niezależne. Udowodnić, że są niezależne następujące zdarzenia

• A, B

0

;

• A

0

, B;

• A, ∅;

• A, Ω;

• A, B ∪ C jeśli B ∩ C = ∅, A i B są niezależne;

• A

0

, B

0

.

11. Niech P (A/B) = P (A/B

0

) oraz P (B) > 0, P (B

0

) > 0. Udowodnić, że zdarzenia A, B są niezależne.

12. Rzucamy dwiema kostkami, określając trzy zdarzenia: A - nieparzysta ilość oczek na pierwszej kostce, B - nieparzy-

sta ilość oczek na drugiej kostce, C - nieparzysta suma oczek. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne parami? Czy są

niezależne?

13. Niech Ω = {ω

1

, ω

2

, . . . , ω

7

}, Σ = 2

Ω

, P (ω

i

) =

1
7

. Czy można określić w (Ω, Σ, P ) dwa zdarzenia A, B niezależne takie,

że 0 < P (A) < 1 i 0 < P (B) < 1?

7

14. Podać przykład zdarzeń niezależnych A

1

, A

2

, A

3

takich, że P (A

1

) = P (A

2

) = P (A

3

) =

1
2

.

15. Niech A ⊆ B, A i C oraz B i C są niezależne Wtedy B \ A i C są również niezależne.

16. Wykaż, że jeśli P (A) = a, P (B) = b, gdzie b 6= 0, to P (A | B) ­ 1 −

1−a

b

.

17. Zbadaj, dla jakich zdarzeń A, B spełniony jest warunek P (A) =

1
2

(P (A | B) + P (A | B

0

)).

18. Niech

∀

1¬k¬n−1

, P (

k

\

l=1

A

l

) > 0.

Udowodnić, że

P (

n

\

l=1

A

l

) = P (A

n

/

n−1

\

l=1

A

l

) · P (A

n−1

/

n−2

\

l=1

A

l

) · . . . · P (A

2

/A

1

) · P (A

1

).

19. Na pewnym kierunku studiów skład grupy studenckiej przedstawiał się następująco: I grupa 14 studentek i 11 studentów,

II 12 studentek i 12 studentów, II 17 studentek i 5 studentów. Z listy zawierającej spis wszystkich osób studiujących na

tym kierunku wylosowano osobę, która okazała się studentką. Obliczyć prawdopodobieństwo, że należy ona do grupy

III.

20. Mamy 5 urn typu A i 7 urn typu B. W każdej z urn typu A jest po 7 kul białych, 3 czarnych i 5 niebieskich, a w każdej

z urn typu B: 4 białe, 4 czarne i 7 niebieskich. Z losowo wybranej urny wzięto dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo

wylosowania kul różnokolorowych.

21. W pewnej fabryce maszyny typu A,B,C dają odpowiednio 25 %, 35 % i 40 % produkcji danego wyrobu. Maszyny te

produkują odpowiednio 5 %, 4 % i 2 % braków.

• Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowani towaru dobrego

• Wylosowano towar dobry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pochodzi on z maszyny B?

22. Do dyspozycji są armaty: I z 1 pociskiem oraz II z 2 pociskami. Do zniszczenia są dwa cele: A i B. Prawdopodobieństwo

trafienia w cel A z armaty I wynosi p

I

(A) = 0, 8. Analogicznie p

I

(B) = 0, 75, p

II

(A) = 0, 5, p

II

(B) = 0, 35. W przypadku

trafienia w cel prawdopodobieństwa jego zniszczenia są równe odpowiednio: P

I

(A) = 0, 4, P

I

(B) = 0, 5, P

II

(A) =

0, 5, P

II

(B) = 0, 6. Jak wykorzystać armaty, aby prawdopodobieństwo zniszczenia obu celów było największe? Obliczyć

je.

23. Dane są dwie urny A i B. Urna A zawiera 17 kul białych, 3 czarne i 4 niebieskie, zaś urna B 10 białych, 5 czarnych i

15 niebieskich. Rzucamy kostką do gry, a następnie losujemy dwie kule z urny z godnie z następującą regułą: Jeśli w

pierwszym rzucie wypadły jedno lub dwa oczka losujemy z urny A, a jeśli 3,4,5 to z urny B. Natomiast gdy wypadło

sześć oczek, to rzucamy ponownie i dokonujemy losowania urny zgodnie z regułą podaną dla pierwszego rzutu kostką z

tym, że w przypadku wyrzucenia 6 losujemy również z urny B. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul

różnych kolorów.

24. W przędzalni zakładów bawełnianych znajduje się 200 przędzarek trzech różnych typów: 100 typu A, 60 typu B i 40

typu C. Każda z maszyn produkuje taką samą ilość przędzy danego gatunku, a ilość przędzy dla odpowiednich typów

maszyn A,B,C wynoszą odpowiednio 87,5 % - I gatunek, 8,7 % - II gatunek, 1,7 % -III gatunek, reszta braki; 92,4 %

- I gatunek, 6,2 % - II gatunek, 0,9 % -III gatunek, reszta braki; 90,8 % - I gatunek, 7,1 % - II gatunek, 1,2 % -III

gatunek, reszta braki;

• Obliczyć prawdopodobieństwo, że pobrana losowo cewka z przędzarki typu B będzie poniżej II gatunku;

• Losujemy 2 cewki z przędzarki typu A. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie będą I gatunku;

• Losujemy po jednej cewce z przędzarki każdego typu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie będą brakami.

25. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać z równorzędnym przeciwnikiem

• 2 partie z 3, czy

8

• 3 partie z 5 ?

26. Ile razy należy rzucić kostką, aby prawdopodobieństwo wypadnięcia ”5” było niemniejsze niż

1
2

?

27. W ciągu godziny jest średnio 60 zgłoszeń. Telefonistka wyszła na pół minuty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tym

czasie:

• nie będzie żadnego zgłoszenia;

• będzie dokładnie jedno zgłoszenie?

28. Które ze zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

• w 4 rzutach kostką wypadnie chociaż raz 6 oczek

• w 24 rzutach dwoma kostkami chociaż raz wypadnie para (6,6).

29. Sześciu robotników korzysta z przerwami i niezależnie od siebie z energii elektrycznej. Każdy z nich podłączony jest

średnio 8 minut w ciągu godziny. Sieć elektryczna jest przeciążona jeśli co najmniej 5 robotników pobiera energię

elektryczną. Obliczyć prawdopodobieństwo przeciążenia sieci.

30. Wiadomo, że w trakcie n rzutów monetą przynajmniej raz wypadł orzeł. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia,

że liczba orłów jest większa lub równa 2.

31. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwie ostatnie cyfry liczby N

3

, gdzie N jest liczbą całkowitą, są jedynkami.

32. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że liczba wybrana losowo z ciągu liczb naturalnych nie jest podzielna

• ani przez 2 i ani przez 3;

• przez 2 lub przez 3.

33. Z odcinka o długości 1 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ani jedna z otrzymanych w ten

sposób części nie będzie krótsza od a, gdzie 0 ¬ a ¬

1
3

?

34. Z odcinka o długości 1 wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z nich zbudować trójkąt ?

35. Na odcinku o długości jednostkowej wybrano losowo dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległości pomię-

dzy nimi jest nie mniejsza od x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1 ?

36. Na odcinku AB o długości jednostkowej umieszczono losowo dwa punkty L i M . Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że

z L jest bliżej do M niż do A.

37. Na okręgu umieszczono losowo trzy punkty: A, B, C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trójkąt ABC jest ostrokątny ?

38. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma dwóch na chybił trafił wybranych liczb dodatnich, z których każda jest nie

większa od jedności, jest nie większa od jedności, a ich iloczyn jest nie większy od

2
9

?

Schematy urnowe.

1. Danych jest n kul i N komórek. Kule umieszczamy losowo w komórkach. Ile jest taki rozmieszczeń, jeśli

• kule i komórki są rozróżnialne;

• kule są nie rozróżnialne, a kamórki są;

• kule są nierozróżnialne i ponadto w każdej komórce może się znajdować co najwyżej jedna kula.

Uwaga. Tego typu rozmieszcenia mają interpretacje w fizyce i nazywane są odpowiednia statystykami (modelami)

Maxwella - Boltzmana, Bosego - Einsteina oraz Fermiego - Diraca. Ponadto według statystyki Bosego - Einsteina

zachowują się fotony, nukleony i atomy zawierające parzystą liczbę cząstek elemetarnych, modelu Fermiego - Diraca

elektrony, protony i neutrony, zaś modelu Maxwella - Boltzmana nie spełniają żadne cząstki.

2. Dane są 3 szuflady i 5 koszul. Ile jest możliwości rozmieszczenia tych koszul w szufladach

9

3. W m różnych komórkach rozmieszczono n czerwonych i r zielonych kul, przy czym w każdej komórce może być co

najwyżej jedna kula n + r ¬ m. Ile jest takich rozmieszczeń, jeśli

• kule są nierozróżnialne;

• kule są rozróżnialne.

4. Uogólnienie rozkładu Bernoulliego I. Urna zawiera b białych i c czarnych kul. Z urny losujemy kulę, a następnie

zwracamy ją dokładając d kul tego samego koloru (d może być liczbą ujemną wtedy wyjmujemy kule, bądź zerem wtedy

otrzymujemy Schemat Bernoulliego), jak wylosowana kul. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w serii n doświadczeń

pojawi się k białych i n − k czarnych kul.

2.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 2.1 Ze zbioru X, gdzie X = {1, . . . , n}, (n ­ 2), losujemy kolejno dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że

pierwsza z wylosowanych liczb jest większa od drugiej.

Zadanie 2.2 Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane punkty na krawędziach sześcianu jednostkowego będą

odległe o więcej niż 1.

Zadanie 2.3 (Problem Buffone’a) Płaszczyzna jest pokryta prostymi równoległymi w odstępach równych a. Na tą płasz-

czyznę rzucamy igłę o długości l, l < a. Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z prostych ?

Zadanie 2.4 Monetę o promieniu r rzucamy na parkiet utworzony z przystających kwadratów o boku 2a. Obliczyć prawdo-

podobieństwo, że moneta przykryje przynajmniej dwa kwadraty, jeśli r < a.

Zadanie 2.5 W dany kwadrat o boku 2a wpisujemy koło, a następnie w koło kolejny kwadrat. Wybieramy losowo punkt z

większego kwadratu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany punkt należy do kwadratu mniejszego.

Symetryczne błądzenie na prostej.

Pewna cząstka (punkt ruchomy) przemieszcza się w chwilach dyskretnych (krokach) po punktach całkowitych osi liczbowej

położonej pionowo. Załóżmy, że w chwili początkowej t = 0 znajduje się w położeniu początkowym 0 (tzn. y = 0). Natomiast

w każdym następnej chwili (kroku) t = 1, 2, 3, . . . cząstka wykonuję jednostkowy skok w górę albo jednostkowy skok w dół z

prawdopodobieństwem równym 0, 5.

Rozważmy wykres błądzenia przypadkowego w przestrzenno-czasowym układzie współrzędnych (oś odciętych pełni funk-

cję czasu, zaś oś rzędnych wskazuje położenie cząsteczki). Zaznaczmy punkty odpowiadające położeniu cząsteczki, a następnie

połączmy sąsiednie odcinkami. Otrzymamy łamaną będącą graficznym przedstawieniem ruchu cząstki. Wykres ten będziemy

nazywać trajektorią ruch cząstki, bądź drogą.

Wprowadźmy oznaczenie L(t, y) na liczbę wszystkich trajektorii kończących się w chwili t w punkcie o współrzędnej y

(t > 0). Będzie my mówili, że droga jest dodatnia, jeśli wszystkie wierzchołki z wyjątkiem początku (tzn. dla t = 0) leżą

nad osią odciętych, natomiast drogami nieujemnymi, jeśli wszystkie jej wierzchołki nie znajdują sie poniżej osi odciętych.

Analogicznie definiujemy drogi ujemne i niedodatenie.

Rozwiązać następujące zadania:

Zadanie 2.6 Ile jest wszystkich możliwych trajektorii do czas t = n

Zadanie 2.7 Udowodnić, że o ile L(t, y) 6= 0 to dla L(t, y) zachodzą następujące zależności

• |y| ¬ t;

• t i y mają jednakową parzystość tzn. y + t jest liczbą parzystą.

Zadanie 2.8 Podać jawny wzór na L(t, y).

Zadanie 2.9 Udowodnić, że liczba wszystkich dróg z punktu (t

0

, y

0

) do punktu (t, y) wynosi L(t − t

0

, y − y

0

), o ile 0 < t

0

<

t, |y

0

| ¬ t

0

, |y| ¬ t oraz t

0

+ y

0

i t + y są parzyste.

10

Zadanie 2.10 (Zasada odbicia) Niech A i B będą punktami o współrzędnych całkowitych (t

0

, y

0

) i (t, y) 0 < t

0

< t, y

0

>

0, y > 0. Niech A0 będzie punktem (t

0

, −y

0

) symetrycznym względem osi odcietych do A. Wówczas liczba dróg z A do B,

które dotykają lub przecinają oś odciętych, jest równa liczbie wszystkich dróg widących z punktu A0 do punktu B i wynosi

L(t − t

0

, y + y

0

).

Zadanie 2.11 Udowodnić, że liczba dróg dodatnich łączących początek układu współrzędnych z punktem (t, y), gdzie 0 < y ¬ t

jest równa

y

t

L(t, y).

Zadanie 2.12 (Twierdzenie o głosowaniu) Jeśli dwaj kadydaci R i S otrzymali w wyborach r i s głosów i r > s to jakie

są szanse, że przez cały okres wyborów kandydat R wyprzedzał pod względem liczby głosów kandydata S.

Uwaga: Każdy wyborca oddaje głos tyko i wyłącznie na jednego kandydata i wszyscy wyborcy oddają głos po kolei i za każdym

razem jest obliczana różnica głosów.

Zadanie 2.13 Udowodnić, że liczba dróg wychodzących z początku współrzędnych i osiągająych po raz pierwszy poziom y

(y > 0) w chwili t równa jest

y

t

L(t, y).

Zadanie 2.14 Udowodnić, że liczba dróg dodatnich wychodzących z początku współrzędnych i kończących sie w punktach o

odciętych t > 1 równa jest

t−1

t

2

dla t parzystych i

t−1

t−

2

dla t nieparzystych.

Zadanie 2.15 Udowodnić, że ogólna liczba dróg dodatnich i ujemnych wychodzących z początku współrzędnych i kończących

sie w punktach o odciętych t równa jest 2

2n−1

n

dla t = 2n i 2

2n

n

dla t = 2n + 1.

Zadanie 2.16 Wprowadźmy oznaczenie u

2n

- prawdopodobieństwo powrotu cząstki do 0 w chwili 2n oraz f

2n

- prawdopodo-

bieństwo pierwszego powrotu cząstki do 0 w chwili 2n. Udowodnić, że dla dowolnego n ­ 1 zachodzi f

2n

= u

2n−2

− u

2n

.

Zadanie 2.17 Przy oznaczeniach z poperzedniego zadania udowodnić, że dla dowolnego n ­ 1 zachodzi

f

2n

=

1

2n − 1

2n − 1

n



2

−2n+1

.

Zadanie 2.18 Udowodnić twierdzenie: Cząsteczka wraca do 0 z prawdopodobieństwem 1.

Zadanie 2.19 Udowodnić twierdzenie: Niech 2n ­ 2m. Wówczas prawdopodobieństwo tego, że w chwili 2n ma miejsce m - ty

powrót do zera jest równe

f

m

2n

=

m

2n − m

2n − m

n



2

−2n+m

.

11

Ćwiczenia 3

21.10.2003

3.1

Lista dla wszystkich lat

1. Udowodnić własności współczynnika korelacji zdarzeń.

2. (G. Bool) Niech (Ω, S, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Udowodnić, że dla dowolnych zdarzeń A, B ∈ S

prawdziwa jest nierówność P (A ∩ B) ­ 1 − P (A

0

) − P (B

0

).

3. Z kuli o promieniu R wylosowano N punktów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka kuli

do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0 < a < R..

4. W lokalu zawierającym n ponumerowanych miejsc wydano N ludziom n ponumerowanych biletów. Jakie jest prawdo-

podobieństwo, że dokładnie M ludzi usiądzie na miejscach odpowiadających numerom biletów, jeśli miejsca zajmowane

są losowo ?

3.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Obowiązuje poprzednia lista.

12

Ćwiczenia 4

28.10.2003

4.1

Lista dla wszystkich lat

1. Udowodnić własności granicy górnej i dolnej ciągu zdarzeń.

2. Udowodnić lemat Borela - Cantelliego.

3. Wyprowadzić wzór dla schemacie urnowym P`

olya.

4. Z kwadratu o boku a losowany jest punkt. Wartością zmiennej losowej X jest odległość od najbliższego boku. Wyznaczyć

rozkład X.

5. Dane są dwa koła współśrodkowe o promieniach 1 i 2. Z większego koła losujemy punkt. Zmienna losowa przyjmuje

wartości równe odległości punktu od mniejszego z okręgów Podać rozkład zmiennej losowej.

6. Z okręgu o promieniu 1 losujemy dwa punkty P, Q. Wartością zmiennej losowej jest długość mniejszego łuku. Wyznaczyć

rozkład X.

7. Z pęku n kluczy wybierany jest jeden i pasowany do zamka. Klucz, który nie pasuje jest odkładany, a z pozostałych jest

losowany kolejny klucz. Wartością zmiennej losowej X jest numer tej próby, w której klucz pasuje do zamka. Wiadomo,

że tylko jeden klucz otwiera zamek. Wyznaczyć rozkład X.

8. Rzucamy pięcioma symetrycznymi monetami. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe ilości wyrzuconych orłów.

Podać rozkład zmiennej losowej.

9. Dane są 4 urny i 3 kule. Rozmieszczamy kule w urnach. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe ilości pustych urn.

Obliczyć rozkład zmiennej losowej.

10. Rzucamy dwoma kostkami i symetryczną monetą, na której znajdują się liczby -1,1. Zmienna losowa X przyjmuje

wartości równe sumie liczby wypadłej na monecie i wartości bezwzględnej różnicy wyrzuconych oczek. Podać rozkład

zmiennej losowej.

11. Czy można dobrać stałe a, b tak aby funkcja f (x) = a arctg x + b była dystrybuantą pewnego rozkładu ? Jeśli tak, to

je podać wraz z uzasadnieniem.

4.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 4.1 W schemacie urnowym P`

olya obliczyć prawdopodobieństwo, że

• w dwóch kolejnych doświadczeniach zostaną wylosowane kule różnych kolorów;

• wszystkie trzy kule wylosowane w trzech kolejnych doświadczeniach będą tego samego koloru.

Zadanie 4.2 Udowodnić, że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną ilość punktów nieciągłości.

13

Zadanie 4.3 Z sześciany o krawędzi a wylosowano trzy wierzchołki. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe polu trójkąta

utworzonego z tych wierzchołków. Obliczyć rozkład zmiennej losowej.

Zadanie 4.4 Losujemy n - krotnie (ze zwracaniem) liczbę spośród liczb od 1 do N . X największa spośród liczb uzyskanych

w losowaniu. Obliczyć rozkład zmiennej losowej.

Zadanie 4.5 Dany jest odcinek h0, Li i punkt r należący do tego odcinka. Z odcinka losujemy dwa punkty x

1

, x

2

. Zmienna

losowa X przyjmuje wartość 1, gdy punkt r znajduje się miedzy wylosowanymi punktami oraz 0 w przeciwnym wypadku.

Podać rozkład X.

Obowiązuje nadal lista z symetrycznym blądzeniem na prostej.

14

Ćwiczenia 5

04.11.2003

5.1

Lista dla wszystkich lat

1. Dana jest gęstość określona wzorem

f (x) =



cos x

x ∈ h0,

π

2

i

0

x /

∈ h0,

π

2

i

.

Nie licząc całki podać ile wynosi prawdopodobieństwo w punkcie

π

4

. Odpowiedź uzasadnij.

2. Dana jest funkcja

f (x) =

 a(l

2

− x

2

)

−0,5

|x| < l

0

w p.p

.

Określić parametr a, tak aby funkcja była gęstością, obliczyć dystrybuantę i P ({0 ¬ X < 1}).

3. Czy można dobrać parametr a tak, aby podane funkcje były gęstościami pewnego rozkładu zmiennej losowej? Odpo-

wiedź uzasadnij. W przypadku odpowiedzi pozytywnej policzyć ich dystrybuanty.

• f (x) =

 ax

dla x ∈ h0, 4i

0

dla x /

∈ h0, 4i

;

• f (x) =

 ax

dla x ∈ h−1, 4i

0

dla x /

∈ h−1, 4i

;

• f (x) =

 ax

2

dla x ∈ h0, 3i

0

dla x /

∈ h0, 3i

;

• f (x) =



3
4

x · (2 − x)

dla x ∈ h0, ai

0

dla x /

∈ h0, ai

;

4. Zmienna losowa ma rozkład N(0,1). Oblicz prawdopodobieństwo

• P ({X > 0})

• P ({X > 2})

• P ({|X| < 1})

• P ({|X| > 1})

• P ({0 < X < 3})

• P ({−1 < X < 3})

5. Zmienna losowa ma rozkład N(1,2). Oblicz prawdopodobieństwo

• P ({|X| > 3})

• P ({X

2

¬

3
4

+ X})

6. Niech zmienna losowa X posiad rozkład równomierny na odcinku (a, b). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y =

AX + B, A, B ∈ R, A 6= 0.

15

7. X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość następujących

zmiennych losowych

• Y = aX + b gdzie a, b ∈ R ∧ a 6= 0;

• Y = 2X

2

− 1;

• Y = − ln(1 − X);

• Y = − ln X;

• Y = X

k

, k ∈ N;

8. X ma rozkład wykładniczy ze współczynnikiem λ > 0. Znaleźć gęstość rozkładu:

• Y = X

α

, α > 0

• Y = X

3

;

• Y = 5X − 1;

• Y = 3X + 2;

9. X ma rozkład normalny N (0, 1). Jaki rozkład ma zmienna Y = aX + b gdzie a, b ∈ R, a > 0?

10. Zmienna losowa X ma gęstość f (x). Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y = φ(X) przy założeniu, że φ jest wzajemnie

jednoznaczne i różniczkowalne.

11. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest funkcją ciągłą dla dowolnej liczby rzeczywistej. Czy stąd wynika, że jej

gęstość f jest również funkcją ciągłą ? W przypadku i odpowiedzi pozytywnej przeprowadzić dowód, zaś w przypadku

negatywnej podać kontrprzykład.

12. Niech F będzie dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = F (X), przy

założeniu, że istnieje funkcja odwrotna do y = F (x).

13. Dana jest zmienna losowa X ∈ N (0, 1). Określamy zmienną losową Y = X

2

. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y .

14. Zmienna losowa ma rozkład równomierny na odcinku (−

π

2

,

π

2

). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = cos X.

5.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 5.1 Rzucamy symetryczna monetą aż do uzyskania serii

• dwóch orłów;

• trzech orłów.

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że nastąpi to dokładnie w n - tym rzucie.

Zadanie 5.2 X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Znaleźć dystrybuantę i gęstość następują-

cych zmiennych losowych Y = max{X, 1 − X}, Y = min{X, 1 − X}.

Zadanie 5.3 X ma rozkład wykładniczy ze współczynnikiem λ > 0. Znaleźć gęstość rozkładu:

• Y = {X}, gdzie {X} = X − [X] oznacza część ułamkową;

• Y (ω) = k

2

, gdy k ¬ X(ω) < k + 1, k = 0, 1, 2, . . .;

Zadanie 5.4 Zmienna losowa Y określona jest wzorem Y =



√

X

dla X ­ 0

√

−X

dla X < 0

. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej Y

jeśli X ∈ N (0, 1).

Zadanie 5.5 Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli zmienna −X posiada ten sam rozkład. Wyrazić

własność symetryczności ciągłej zmiennej losowej za pomocą jej dystrybuanty oraz gęstości.

Zadanie 5.6 Dowieść, że F (x) = (1 − e

−(ax+b)

)

−1

, gdzie a > 0i x ∈ R jest dystrybuantą oraz F i jej gęstość związane są ze

sobą równością f (x) = aF (x)(1 − F (x)) dla x ∈ R.

Obowiązuje również poprzednia lista oraz dowód lematu Borella -Cantelliego.

16

Ćwiczenia 6

18.11.2003

6.1

Lista dla wszystkich lat

1. Z sześciany o krawędzi a wylosowano trzy wierzchołki. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe polu trójkąta utwo-

rzonego z tych wierzchołków. Obliczyć:

• rozkład zmiennej losowej;

• wartość oczekiwaną;

• wariancje zmiennej losowej.

2. Obliczyć D

2

(X) jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie:

• jednostajnym na odcinku [a, b]

• wykładniczym z parametrem λ

3. Niech X suma oczek w 2 rzutach kostką. Obliczyć E(X), D

2

(X).

4. Losujemy n - krotnie (ze zwracaniem) liczbę spośród liczb od 1 do N . X największa spośród liczb uzyskanych w

losowaniu. Obliczyć E(X).

5. W urnie jest 8 białych i 2 czarne kule. Losujemy kule bez zwracania. X ilość wyciągniętych do momentu wyciągnięcia

pierwszej kuli białej. Jaka jest najbardziej prawdopodobna wartość X?

6. Spośród zbioru par liczb {(k, l) : k, l ∈ {0, 1, . . . , 9}} losowana jest jedna para (m, n). Wartością zmiennej losowej X

jest m + n. Wyznaczyć E(X).

7. Policzyć: dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej, której gęstość zadana jest wzorem

f (x) =



sin x

dla x ∈ h0,

π

2

i

0

dla x /

∈ h0,

π

2

i

.

8. Dany jest rozkład zmiennej losowej P ({ω : X(ω) = k}) =

c

3

k

, gdzie k ∈ N. Wyznaczyć stała c, wartość oczekiwaną i

wariancję.

9. Udowodnić następujące własności:

• E(a) = a, a ∈ R;

• E(aX) = aE(X), a ∈ R;

• E(X + Y ) = E(X) + E(Y );

• D

2

(aX) = a

2

D

2

(X);

• D

2

(a) = 0, a ∈ R;

• D

2

(X + Y ) = D

2

(X) + D

2

(Y ) o ile zmienne są niezależne.

17

10. Dana jest gęstość określona wzorem

f (x) =



cos x

x ∈ h0,

π

2

i

0

x /

∈ h0,

π

2

i

.

Nie licząc całki podać ile wynosi prawdopodobieństwo w punkcie

π

4

. Odpowiedź uzasadnij.

6.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 6.1 Trójkąt równoramienny na płaszczyźnie jest utworzony przez wektor [1, 0] oraz inny wektor o długości 1 w

kierunku losowym (wierzchołek trójkąta ma rozkład jednostajny na okręgu jednostkowym). Znaleźć dystrybuantę i gęstość

rozkładu zmiennej losowej mierzącej długość trzeciego boku.

Zadanie 6.2 Niech k - ustalona liczba naturalna, X zmienna losowa o rozkładzie określonym następująco: P (X = 2

i

k

) = 2

−i

.

Wykazać, że E(X

l

) istnieje dla dowolnego 1 < l < k.

Zadanie 6.3 Udowodnić E(X) = 0 ⇒ E(| X |) ¬

1
2

(1 + D

2

(X)).

Zadanie 6.4 Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły i symetryczny (tzn. f (−r) = f (r), gdzie f jest gęstością X).

Pokazać, że wtedy

∀

a∈R

E(| X |) ¬ E(| X + a |).

Zadanie 6.5 Niech E(X) = 0, E(| X |) = 1. Obliczyć E(max{0, X}) oraz E(min{0, X}).

Zadanie 6.6 Obliczyć k - ty moment zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.

Zadanie 6.7 Obliczyć k - ty moment zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

Zadanie 6.8 Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły oraz W

X

= [a, b]. Wtedy

E(X) = b −

Z

b

a

F (r)dr.

Zadanie 6.9 Niech W

X

= {1, 2, . . .}, E(X) < ∞. Wtedy

E(X) =

∞

X

n=1

P ({X ­ n}).

Zadanie 6.10 Niech X będzie zmienną nieujemną. Udwodnić, że

∞

X

n=1

P ({X ­ n}) ¬ E(X) ¬ 1 +

∞

X

n=1

P ({X ­ n}).

Zadanie 6.11

?

Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły. Wtedy

E(| X |) < ∞ ⇒ E(X) =

Z

∞

0

(1 − F (r))dr −

Z

0

−∞

F (r)dr.

Zadanie 6.12

?

Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły oraz W

X

⊆ [0, ∞), E(X) < ∞. Wtedy

E(X) =

Z

∞

0

(1 − F (r))dr.

Zadanie 6.13

?

Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły oraz p > 0, W

X

⊆ (0, ∞),

E(X

−p

) < ∞. Wtedy

lim

t&∞

t

−p

F (t) = 0.

Zadanie 6.14

?

Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły, 0 < p, W

X

⊆ (0, ∞) oraz E(X

p

) istnieje. Wtedy

E(X

p

) = p

Z

∞

0

r

p−1

(1 − F (r))dr.

Zadanie 6.15

?

Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły i symetryczny. Wtedy

E(| X |) < ∞ ⇒ lim

a→∞

E(| X + a |) = ∞.

Uwaga 6.1 Zadania z gwiazdką wykraczają poza stan wiedzy podawany na wykładzie.

18

Ćwiczenia 7

25.11.2003

7.1

Lista dla wszystkich lat

1. Obliczyć wartości oczekiwane i wariancje rozkładów podanych na wykładzie.

2. Trójkąt równoramienny na płaszczyźnie jest utworzony przez wektor [1, 0] oraz inny wektor o długości 1 w kierun-

ku losowym (wierzchołek trójkąta ma rozkład jednostajny na okręgu jednostkowym). Znaleźć dystrybuantę i gęstość

rozkładu zmiennej losowej mierzącej długość trzeciego boku.

3. Niech k - ustalona liczba naturalna, X zmienna losowa o rozkładzie określonym następująco: P (X = 2

i

k

) = 2

−i

.

Wykazać, że E(X

l

) istnieje dla dowolnego 1 < l < k.

4. Niech zmienna losowa X posiada rozkład ciągły i symetryczny (tzn. f (−r) = f (r), gdzie f jest gęstością X). Pokazać,

że wtedy

∀

a∈R

E(| X |) ¬ E(| X + a |).

5. Niech E(X) = 0, E(| X |) = 1. Obliczyć E(max{0, X}) oraz E(min{0, X}).

6. Obliczyć k - ty moment zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym.

7. Obliczyć k - ty moment zmiennej losowej o rozkładzie normalnym.

8. Niech W

X

= {1, 2, . . .}, E(X) < ∞. Wtedy

E(X) =

∞

X

n=1

P ({X ­ n}).

9. Niech X będzie zmienną nieujemną. Udwodnić, że

∞

X

n=1

P ({X ­ n}) ¬ E(X) ¬ 1 +

∞

X

n=1

P ({X ­ n}).

10. Podać przykład zmiennej losowej X takiej, że E(|X|) > E(|X|

2

).

11. Z nierówności Schwarza w wywnioskować, że jeśli E(X) istnieje i jest różna od zera wtedy

1

E(X)

¬ E(

1

X

).

12. Wyznaczyć P ({ω : X(ω)

2

<

3
4

+ X(ω)}), gdy

a) X posiada rozkład N (m, σ), później przyjąć m = 1, σ = 1,

a) X posiada rozkład Laplace’a, tzn. gęstość f (r) =

λ

2

e

−λ|r|

, r ∈ R, później przyjąć λ = 1.

7.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

Zadanie 7.1 Udowodnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej, dla której W

X

⊆ (a, b), a < b, a, b ∈ R, jest

zawarta między jej najmniejszą i największą możliwą wartością.

Ponadto obowiązuje lista poprzednia.

19

Ćwiczenia 8

02.12.2003

8.1

Lista dla wszystkich lat

1. Niech zmienne losowe X

1

, . . . , X

n

są niezależne o jednakowych rozkładach,

m := E(X

k

), %

2

:= D

2

(X

k

).

Stosując klasyczną nierówność Czebyszewa oszacować N dla ustalonego a > 0, by

P ({|

1

N

N

X

k=1

X

k

− m |> a}) ¬ 0.05.

2. Z klasycznej nierówności Czebyszewa wywnioskować nierówność:

P ({| X

1

|­ aδ∨ | X

2

|­ aδ}) ¬

1

a

2

(1 +

p

1 − %

2

),

gdzie E(X

1

) = E(X

2

) = 0, D

2

(X

1

) = D

2

(X

2

) = δ

2

, % = %(X

1

, X

2

) jest współczynnikiem korelacji X

1

, X

2

.

Wskazówka: {Y

1

­ r ∨ Y

2

­ r} = {max{Y

1

, Y

2

} ­ r}.

3. Z klasycznej nierówności Czebyszewa ocenić prawdopodobieństwo, że zmienna losowa normalna (tzn. N (0, 1)) odchyli

się od swojej wartości oczekiwanej o więcej niż

• cztery średnie odchylenia,

• trzy średnie odchylenia.

4. Rzucamy n razy monetą. Niech X ilość orłów. Korzystając z nierówności Czebyszewa znaleźć takie n aby P ({|

1

n

X−

1
2

| <

1/10}) > 9/10.

5. Strzelamy 300 razy do tarczy z prawdopodobieństwem trafienia w jednym strzale wynoszącym 1/4. Z nierówności

Czebyszewa ocenić P (|X − 75| < 30), gdzie X jest ilością trafień.

6. X ma rozkład normalny N (0, 1). Oszacować z góry P ({|X| ­ 3}) przy pomocy:

• nierówności Czebyszewa

• tablic

7. Zmienne losowe X

i

, i ∈ N są niezależne i mają jednakowe rozkłady P ({X

i

= k}) = 0, 2, gdzie k = 1, 2, 3, 4, 5. Znaleźć

prawdopodobieństwo, że zmienna Y =

100

P

i=1

X

i

przyjmie wartość większą od 320.

8. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości dodatnie i istnieje E(X) oraz E(X) = a. Udowodnić, że wtedy P ({X ­

2a}) ¬

1
2

.

Wsk. Zastować nierówność Markowa.

20

9. Rzucamy n razy symetryczną monetą. Niech zmienna losowa X

k

oznacza wyrzucenie orła za k razem. Korzystając z

nierówności, Czebyszewa oszacować n aby

P ({ω : |

1

n

n

X

i+1

X

i

(ω) −

1

2

| <

1

10

}) >

9

10

.

10. Niech P (A) = p > 0, N ilość niezależnych doświadczeń Zmienna losowa X

A

odpowiada liczbie tych doświadczeń,

w których zaobserwowano pojawienie się zdarzenia A. Oszacować liczbę N tak, aby prawdopodobieństwo zdarzenia

{|

1

N

X

A

− p| ¬ d} było nie mniejsze niż q (q bliskie jedności).

11. Przy jakiej liczbie rzutów kostką prawdopodobieństwo tego, że częstość wypadnięcia szóstki różni się od

1
6

nie mniej

niż o

1

36

, jest mniejsze niż 0.1?

12. Strzelamy 300 razy do tarczy z prawdopodobieństwem trafienia w jednym strzale wynoszącym

1
4

. Z nierówności Cze-

byszewa ocenić P ({|X − 75| < 30}), gdzie X jest ilością trafień.

13. X ma rozkład jednostajny na odcinku [−

√

3,

√

3]

• Ozacować z nierówności Czebyszewa P ({|X| ­

3
2

}).

• Obliczyć P ({|X| ­

3
2

}) bezpośrednio.

14. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczo-potęgowy f (x) =

x

m

m

e

−x

, (x ­ 0). Wykazać prawdziwość nierówności

P ({0 < X < 2(m + 1)}) >

m

m + 1

15. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona ( z parametrem λ). Dowieść, że

• P ({X ­ 1}) ¬ λ

• P ({X ­ 2}) ¬

λ

2

2

16. Niech X będzie zmienna losowa. Oznaczmy a = E(X),σ

2

= D(X

2

), γ

r

= E(|X − a|

r

). Dowieść następujących nierów-

ności

• P ({|X − a| ­ λγ

1
r

r

}) ¬ λ

−r

• P ({|X − a| ­ λσ) ¬ γ

r

(σλ})

−r

8.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

21

Ćwiczenia 9

09.12.2003

9.1

Lista dla wszystkich lat

Lista którą zamieszczam jest listą powtórzeniową obejmującą zdania z pierwszego kolokwium dla matematyki magisterskiej.

Tego typu zadań należy spodziewać się na egzaminie. Pozostale zadania dotyczą nierówności dla parametrów liczbowych i

ich zastosowania oraz zbieżności zmiennych losowych.

J. Kotowicz

Zadanie 9.1 Niech Ω = N, Σ = 2

Ω

. Określamy funkcję P : Σ → R następująco P (A) = card(A ∩ {1}). Udowodnić, że

(Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną.

Zadanie 9.2 W pewnym mieście 0,5% ogółu mieszkańców zostało zarażanych wirusem pewnego patogenu. Stosowany test

daje prowidłową diagnozę dla 96% zdrowych (wynik negatywny) i dla 98% chorych wynik pozytywny. Pewna osoba poddała

się testowi i test dał wynik pozytywny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że diagnoza była fałszywa tzn., ze badana osoba w

rzeczywistości była zdrowa.

Zadanie 9.3 Rzucamy prawidłową monetą n razy. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że orzeł wypadnie nieparzystą

ilość razy.

Zadanie 9.4 Płaszczyzna jest pokryta prostymi równoległymi odległymi od siebie o 2L. Wyznaczyć prawdopodobieństwo,

rzucona losowo igła o długości 2l, gdzie l < L. przetnie jedną z prostych ?

Zadanie 9.5 Dany jest odcinek h0, Li i punkt r należący do tego odcinka. Z odcinka losujemy dwa punkty x

1

, x

2

. Zmienna

losowa X przyjmuje wartość 1, gdy punkt r znajduje się miedzy wylosowanymi punktami oraz 0 w przeciwnym wypadku.

Podać rozkład rozkład zmiennej X.

Zadanie 9.6 Zmienna losowa X ∈ N (2, 4). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia {ω : −1 ¬ X(ω) ¬ 1} wiedząc, że zaszło

zdarzenie {ω : 0 ¬ X(ω) < 3}.

Zadanie 9.7 Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego otrzymano parzystą ilość sukcesów.

Zadanie 9.8 Niech P

1

i P

2

będą prawdopodobieństwami na (Ω, Σ). Udowodnić, że funkcja zadana wzorem P (A) =

1
4

P

1

(A) +

3
4

P

2

(A) dla dowolnego A ∈ Σ jest prawdopodobieństwem na (Ω, Σ).

Zadanie 9.9 Na parkiet utworzony z jednakowych trójkatów równobocznych o boku a rzucono monetę o promieniu r. Wy-

zanczyć prawdopodobieństwo, że moneta znajdzie się dokładnie w jednym trójkącie.

Zadanie 9.10 Każda z N + 1 urn zawiera N kul. Urna o numerze k (k = 0, 1, . . . , N ) zawiera k białych i N − k czarnych

kul. Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie

wylosowane kule będą białe ?

Zadanie 9.11 W urnie pierwszej są dwie kule białe i jedna czarna, zaś w urnie drugiej jedna biała i dwie czarne. Z każdej

urny losujemy po dwie kule i następnie losujemy z nich (już z czterech) dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie

wylosowane kule są białe.

22

Zadanie 9.12 Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równomierny) na [−1, 3]. Wyznaczyć gęstość zmiennej

losowej Y = X

2

.

Zadanie 9.13 Rzucamy symetryczna monetą aż do uzyskania serii dwóch orłów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że nastąpi

to dokładnie w n - tym rzucie.

Zadanie 9.14 W Instytucie Matematyki stoi automat do kawy, której kubek kosztuje 1zł. Automat przyjmuje jedynie monety

1zł i 2zł. Po kolokwium z rachunku prawdopodobieństwa w kolejce po kawę ustawili się studenci, z których każdy posiada

dokładnie jedną monetę. Z monetą 1zł stoi dokładnie m studentów i z monetą 2zł stoi dokładnie n studentów, gdzie n ¬ m+1.

Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszyscy studenci kupią kawę, jeżeli nie mogą zamieniać między sobą monet oraz

automat nie ma u siebie ani jednej monety.

1. Rzucamy symetryczną monetą. Jak wielkie powinno być n (n - liczba rzutów), aby prawdopodobieństwo, że liczba

wyrzuconych orłów różnić się będzie od najbardziej prawdopodobnej ich liczby o więcej niż 0, 05n, było mniejsze niż

0,2 ? (Korzystać z nierówności Czebyszewa).

2. Udowodnić, że jeśli {X

n

: n ∈ N} jest ciągiem zmiennych losowych, dla którego spełniony jest warunek: istnieje

skończona wariancja D

2

(X

n

) dla n ∈ N oraz lim

n→∞

D

2

(X

n

) = 0 (zwanym warunkiem Markowa), to ciąg {X

n

− E(X

n

) :

n ∈ N} jest zbieżny według prawdopodobieństwa (stochastycznie) do zera.

3. Kupiono 500 ton węgla z pewnej kopalni, której węgiel zawiera przeciętnie 4% miału. Z jakim prawdopodobieństwem

możemy sądzić, że kupiony węgiel zawiera co najwyżej 30 ton miału ? Obliczenia przeprowadzić korzystając z nierów-

ności Czebyszewa.

4. Wykonano n niezależnych doświadczeń. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A albo A

0

, przy

czym P (A) =

1
3

dla każdego doświadczenia. Niech X

n

oznacza liczbę nastąpień zdarzenia A. Korzystając z nierówności

Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo zdarzenia |

1

n

X

n

−

1
3

| dla

• n = 9000

• n = 75000

5. Dowieść następującego twierdzenia Jeżeli g : R → R jest dodatnią funkcją rosnącą i istnieje E(g(X)) = m, to P ({ω :

X(ω) > t}) ¬

m

g(t)

;.

6. Dowieść następującego twierdzenia Dla dowolnej zmiennej losowej X i dla t > 0 zachodzi P ({ω : tX(ω) > t

2

+

ln E(e

aX

}) < e

t

2

.

7. Niech f : R → R będzie funkcją nieujemną, parzystą i niemalejącą dla x > 0. Dowieść że dla dowolnej zmiennej losowej

X i dowolnie wybranej stałej c > 0 spełniona jest nierówność

• jeżeli |f | ¬ K < ∞, to P ({ω : |X(ω)| ­ c}) ­

E(f (X))−f (c)

K

.

• jeżeli |X| ¬ M < ∞, to P ({ω : |X(ω)| ­ c}) ­

E(f (X))−f (c)

f (M )

(nierówność Kołmogorowa).

8. Niech {X

n

: n ∈ N} będzie ciągiem zmiennych losowych, a  > 0 dowolną liczbą. Dowieść, że:

• {X

n

: n ∈ N} jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 wtedy i tylko wtedy, gdy lim

k→∞

P ({ω : sup

n­k

|X

n

(ω) − X

k

(ω)| ­

}) = 0.

• {X

n

: n ∈ N} jest zbieżny według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy lim

k→∞

sup

n­k

P ({ω : |X

n

(ω) −

X

k

(ω)| ­ }) = 0.

9. Niech {X

n

: n ∈ N} będzie ciągiem zmiennych losowych dla których z prawdopodobieństwem 1 mamy |X

n

| ¬ c < ∞.

Dowieść, że X

n

→ 0 według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

E(|X

n

|) = 0.

10. Niech {X

n

: n ∈ N} będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X

n

(ω) = ±

1

n

}) =

1
2

. Wykazać, że ciąg ten

jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 i według prawdopodobieństwa.

23

11. Niech {X

n

: n ∈ N} będzie ciągiem zmiennych losowych takich, że P ({ω : X

n

(ω) = −n − 4}) =

1

n+4

, P ({ω : X

n

(ω) =

n + 4} =

3

n+4

i P ({ω : X

n

(ω) = −1}) = 1 −

4

n+4

. Wykazać, że

• Wykazać, że X

n

jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

• E(lim

n→∞)X

n

6= lim

n→∞

E(X

n

).

9.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

24

Ćwiczenia 10

16.12.2003

10.1

Lista dla wszystkich lat

Lista zadań powtórzeniowych z poprzednich ćwiczeń

1. W schemacie urnowym P`

olya obliczyć prawdopodobieństwo pojawienia się białej kuli w n - tym doświadczeniu.

2. Z kuli o promieniu R wylosowano N punktów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odległość od środka kuli

do najbliżej położonego punktu jest większa lub równa a, 0 < a < R..

3. Przeprowadzono serię doświadczeń według schematu Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w każdym doświad-

czeniu równym p. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskania r - tego sukcesu dokładnie w (k + r) - doświadczeniu,

k = 0, 1, . . ..

4. Niech p

k

= 0 dla k ¬ 0 i p

k

=

ba

k

k

dla k ∈ N, gdzie 0 < a < 1. Dla jakiej wartości b ciąg {p

k

} jest rozkładem

prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dla niej funkcje tworzącą, wartość oczekiwaną i wariancję.

5. Niech zmienna losowa X ma rozkład Laplace’a z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej |X|.

6. Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeśli zmienna −X posiada ten sam rozkład. Wyrazić własność

symetryczności ciągłej zmiennej losowej za pomocą jej dystrybuanty oraz gęstości.

7. Losujemy n - krotnie (ze zwracaniem) liczbę spośród liczb od 1 do N . X największa spośród liczb uzyskanych w

losowaniu. Obliczyć E(X).

8. Dany jest rozkład:

x

i

1

2

3

4

5

p

i

2

15

1
3

4

15

1
5

1

15

Policzyć jego wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standartowe, medianę, modenę.

9. Zmienna losowa T spełnia równość P (x ¬ T ¬ y) = exp (−

x

1000

) − exp (

y

1000

) dla 0 < x < y. Obliczyć E(T ).

10. Dana jest gęstość

f (x) =

 2x

x ∈ h0, 1i

0

dla pozostałych x

Obliczyć dystrybuantę.

10.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

25

Ćwiczenia 11

13.01.2004

11.1

Lista dla wszystkich lat

1. Niech będzie dany ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie {X

n

|n ­ 1} taki, że E(X

1

) = 0 i

D

2

(X

1

) = 1. Określmy ciąg

• Y

n

= a + α

n

X

n

;

• Y

n

= a + n

α

X

n

.

Dla jakich wartości parametru α spełnia on SPWL?

2. Niech będzie dany ciąg niezależnych zmiennych losowych

• {X

n

|n ­ 2} i P (X

n

= ±

√

n) =

1

n

, P (X

n

= 0) = 1 −

2

n

;

• {X

n

|n ­ 1} i P (X

n

= n) =

1

1+n

2

, P (X

n

= −

1

n

) =

n

2

1+n

2

;

• {X

n

|n ­ 3} i P (X

n

= ± ln n) =

1
2

;

• {X

n

|n ­ 1} i P (X

n

= ±1) =

1
2

1 −

1

2

n

, P (X

n

= 2

±n

) =

1

2

n+1

.

Czy ciąg ten spełnia SPWL?

3. Niech dany będzie ciąg {X

n

|n ­ 1} niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie P ({X = ±n

β

}) =

1

2n

α

, P ({X =

0}) = 1 −

1

n

α

, gdzie α, β > 0. Przy jakiej zależności miedzy parametrami α, β spełnia on SPWL?

4. Niech będzie dany ciąg zmiennych losowych {X

n

|n ­ 2} taki, że X

n

∈ N (0, ln n). Czy spełnia on SPWL?

5. Niech będzie dany ciąg zmiennych losowych {X

n

|n ­ 1} taki, że P (X

n

= ±2

n

) = 2

−(2n+1)

, P (X

n

= 0) = 1 − 2

−2n

.

Niech X

n

zbiega z według prawdopodobieństwa do X podać wzór na zmienną losowej X i pokazać powyższą zbieżność.

6. Niech X

n

będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach równomiernych na odcinku ]1, 2[. Wyznaczyć

granicę Y

n

=

n

s

n

Q

k=1

X

n

.

7. Niech X

n

będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że

f

n

(x) =

1

√

π

4

√

n

exp



−

(x − c

n

)

2

√

n



, c ∈ (0, 1), n ∈ N.

Czy ciąg spełnia SPWL?

8. Zmienna losowa X

k

przyjmuje wartości równe k rzutowi kostki do gry. Wyznaczyć granicę ciągu Y

n

=

1

n

n

P

k=1

X

k

.

26

9. Niech {X

k

|k ∈ N} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:

P ({ω|X

k

(ω) = i}) =

2

3

 1

3



i−1

, i, k ∈ N.

Wykazać, że dla zmiennej losowej Y

n

=

1

n

n

P

k=1

X

k

zachodzi SPWL.

10. Niech {X

k

|k ∈ N} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:

P ({ω|X

k

(ω) =

(−1)

i

i

}) =

1

2

i

, i, k ∈ N.

Wykazać, że dla zmiennych losowych zachodzi SPWL.

11. Niech {X

k

|k ∈ N} będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona:

P ({ω|X

k

(ω) = i}) =

e

−1

i!

, k ∈ N, i ∈ N ∪ {0}.

Wykazać, że dla zmiennych losowych zachodzi SPWL.

12. Rozstrzygnąć, czy dla ciągu {X

n

|n ­ 1} niezależnych zmiennych losowych o niżej podanych rozkładach są spełnione

warunki dostateczne stosowalności SPWL

• P (X

n

= ±2

n

) =

1
2

;

• P (X

n

= ±n) =

1
2

n

−

1
2

, P (X

n

= 0) = 1 − n

−

1
2

.

11.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

27

Ćwiczenia 12

20.01.2004

12.1

Lista dla wszystkich lat

Rozwiazać wszystkie zadania z poprzedniej listy (13.01.2004) dla mocnego prawa wielkich liczb.

Rozwiązać wszystkie zadania z listy z dnia 09.12.2003 z nierównością Czebyszewa stosując zamiast niej twierdzenie

Moivre’a - Laplace’a.

Zadanie 12.1 Korzystając z twierdzenia Moivre’a - Laplace’a oszacować prawdopodobieństwo, że w 720 rzutach kostką ilość

szóstek będzie

• zawierać się pomiędzy 121 a 140

• mniejsza niż 125

• większa niż 110

Zadanie 12.2 Dodano do siebie 10000 liczb, każda dana z dokładnością 10

−m

. Błędy zaokrągleń są niezależne i mają rozkład

jednostajny na odcinku [−

1

(2·10

−m

)

,

1

(2·10

−m

)

]. Znaleźć granice w których będzie się zawierał łączny błąd z prawdopodobieństwem

większym niż

997

1000

.

Zadanie 12.3 Oszacować prawdopodobieństwo, że w 720 rzutach kostką ilość szóstek będzie nie mniejsza niż 125.

Zadanie 12.4 Przeprowadzono 60 jednakowych prób, w których mogło zajść zdarzenie A. Prawdopodobieństwo zajścia zda-

rzenie w pojedynczej próbie wynosi 0, 6. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie pojawi się w większości prób.

Zadanie 12.5 Partia towaru ma wadliwość 7 % . Pobrano próbkę 800 elementową. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ilość

sztuk wadliwych w tej próbie jest zawarta w granicach 6 % - 9 %.

Zadanie 12.6 Strzelamy 300 razy, przy czym prawdopodobieństwo za każdym razem trafienia do celu wynosi 0,25. Określić

prawdopodobieństwo, że liczba celnych strzałów będzie się różnic o nie więcej niż 0,1 od ogólnej liczby strzałów

Zadanie 12.7 Prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia w jednym doświadczeniu wynosi 0,3. Z jakim prawdopodobień-

stwem można twierdzić, że częstość tego zdarzenia przy 100 doświadczeniach będzie zawarta w granicach od 0,2 do 0,4?

Zadanie 12.8 Mamy 100 obrabiarek pracujących niezależnie od siebie, o tej samej mocy i tym samym sposobie pracy. Każda

z nich jest włączana w ciągu 0,8 całego czasu pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranej chwili będzie

włączanych od 70 do 86 obrabiarek?

Zadanie 12.9 Prawdopodobieństwo, że w ciągu czasu T przestanie działać jeden kondensator jest równe 0,2. Wyznaczyć

prawdopodobieństwo, że spośród 100 kondensatorów w ciągu czasu T przestanie działać

• nie mniej niż 20 kondensatorów;

• mniej niż 20 kondensatorów;

• od 14 do 26 kondensatorów.

28

12.2

Dodatkowa lista dla studiów magisterskich

29

Ćwiczenia 13

Zadania przykładowe na egzamin

Zadanie 13.1 Niech Ω = N, Σ = 2

Ω

. Określamy funkcję P : Σ → R następująco P (A) = card(A ∩ {1}). Udowodnić, że

(Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną.

Zadanie 13.2 W pewnym mieście 0,5% ogółu mieszkańców zostało zarażanych wirusem pewnego patogenu. Stosowany test

daje prowidłową diagnozę dla 96% zdrowych (wynik negatywny) i dla 98% chorych wynik pozytywny. Pewna osoba poddała

się testowi i test dał wynik pozytywny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że diagnoza była fałszywa tzn., ze badana osoba w

rzeczywistości była zdrowa.

Zadanie 13.3 Rzucamy prawidłową monetą n razy. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że orzeł wypadnie nieparzystą

ilość razy.

Zadanie 13.4 Płaszczyzna jest pokryta prostymi równoległymi odległymi od siebie o 2L. Wyznaczyć prawdopodobieństwo,

rzucona losowo igła o długości 2l, gdzie l < L. przetnie jedną z prostych ?

Zadanie 13.5 Dany jest odcinek h0, Li i punkt r należący do tego odcinka. Z odcinka losujemy dwa punkty x

1

, x

2

. Zmienna

losowa X przyjmuje wartość 1, gdy punkt r znajduje się miedzy wylosowanymi punktami oraz 0 w przeciwnym wypadku.

Podać rozkład rozkład zmiennej X.

Zadanie 13.6 Zmienna losowa X ∈ N (2, 4). Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia {ω : −1 ¬ X(ω) ¬ 1} wiedząc, że

zaszło zdarzenie {ω : 0 ¬ X(ω) < 3}.

Zadanie 13.7 (Na ocenę 5.0) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w schemacie Bernoulliego otrzymano parzystą

ilość sukcesów.

Zadanie 13.8 Wyznaczyć parametr a tak, aby funkcja zadana wzorem f (x) =

 a min{x, 2 − x}

dla x ∈ [0, 2]

0

dla x 6∈ [0, 2]

była gęsto-

ścią pewnego rozkładu. Dla tak dobranego parametru wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej.

Zadanie 13.9 Dobrać stałą a aby, funkcja X: Ω → R zadana zależnością P ({ω : X(ω) = 2

n

}) =

a(1+(−1)

n

)

n

5

n

była zmienną

losową. Następnie dla tak dobranej stałej a wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.

Zadanie 13.10 Niech zmienne losowe X

1

, . . . , X

n

będą niezależne oraz mają jednakowe rozkłady i skończoną wartość ocze-

kiwaną. Udowodnić, że dla zmiennych Y

i

def

=

X

i

X

1

+...+X

n

, gdzie i = 1, . . . , n zachodzi warunek E(Y

i

) =

1

n

.

Zadanie 13.11 Udowodnić, że jeżeli zmienna losowa X spełnia warunek X ∈ L

2

(Ω, Σ, P ), to jej wariancja wyraża się

wzorem D

2

(X) = inf

c∈R

E((X − c)

2

).

Zadanie 13.12 Niech f : R → R będzie funkcją nieujemną, parzystą oraz dla x > 0 niemalejącą. Dowieść że dla dowolnej
zmiennej losowej X i dowolnie wybranej stałej dodatniej c spełniona jest nierówność P ({ω : |X(ω)| ­ c}) ­

E(f (X))−f (c)

K

,

o ile |f (x)| ¬ K < ∞ dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Dodatkowo: Uzasadnić, dlaczego nie trzeba zakładać, że

f (X) ∈ L(Ω, Σ, P ).

30

Zadanie 13.13 Rzucamy niesymetryczną monetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi

3
5

. Korzystając z

odpowiedniej nierówności Czebyszewa oszacować liczbę rzutów n, aby prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych orłów różnić

się będzie od najbardziej prawdopodobnej ich liczby o mniej niż 0, 05n, było większe niż 0,7 ?

Zadanie 13.14 Niech α ∈ R. Wykazać, że ciąg {X

n

: n ­ 1} niezależnych zmiennych losowych zadanych warunkiem

P ({ω : X

n

(ω) = ±nα}) =

1

2

n

, P ({ω : X

n

(ω) = 0) = 1 −

1

2

n−1

dla n ∈ N spełnia słabe prawo wielkich liczb (można wyłącznie

korzystać z twierdzeń odnoszących się do słabego prawa wielkich liczb).

Zadanie 13.15 (Na ocenę 5.0) Udowodnić, że jeżeli ciąg zmiennych losowych {X

n

: n ­ 1} parami nieskorelowanych

spełnia warunek lim

n→∞

1

n

D

2

(X

n

) = 0, to spełnia słabe prawo wielkich liczb (ta sama uwaga co poprzednio).

31