Przykłady rachunkowe do wykładu

z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”

część I

 

 

Przykład 1

Znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia orła (zdarzenia A) przy rzucie monetą.

Rozwiązanie:

Liczba wszystkich jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych n=2 (orzeł i reszka). Liczba zdarzeń sprzyjających jest równa
. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest równe

.

 

 

Przykład 2

Znaleźć prawdopodobieństwo jednoczesnego wyrzucenia orła przy jednym rzucie dwóch monet.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo pojawienia się orła dla pierwszej monety (zdarzenie A)

Prawdopodobieństwo pojawienia się orła dla drugiej monety (zdarzenie B)

Zdarzenia A i B są niezależne a więc

 

 

Przykład 3

W pudełku zawierającym 10 rezystorów 8 jest dobrych a 2 uszkodzone. Zakładając przypadkowość wyjęcia 1 rezystora z pudełka obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:

1. a)      wyjęty rezystor jest dobry (A)

2. b)     wyjęty rezystor jest uszkodzony (B)

Rozwiązanie

 

 

Przykład 4

Na ile różnych sposobów można wylosować dwa elementy z pudełka zawierającego 10 elementów?

Rozwiązanie

Rozwiązaniem jest liczba kombinacji:

.

 

 

Przykład 5

Ile trzycyfrowych liczb można stworzyć z cyfr 1, 2, 3, jeżeli każda cyfra występuje w każdej liczbie tylko raz?

Rozwiązanie

Rozwiązaniem jest liczba permutacji:

 

 

Przykład 6

Ile można utworzyć sygnałów świetlnych z 6 różnych kolorów wziętych po 2?

Rozwiązanie

Rozwiązaniem jest ilość rozmieszczeń:

 

 

Przykład 7

Ile nastąpi powitań, gdy jednocześnie spotka się czterech znajomych?

Rozwiązanie

Za różne powitania uważamy tylko takie, w których skład osób jest różny. Ponieważ w każdym powitaniu biorą udział dwie osoby, więc ilość powitań jest równa ilości kombinacji czterech elementów po 2, tj.

.

 

 

Przykład 8

Wybierając numer telefonu abonent zapomniał dwóch ostatnich cyfr i tylko pamiętając że były różne wybrał je na zasadzie: „a może się uda”. Znaleźć prawdopodobieństwo że wybrane zostały 2 cyfry prawidłowo.

Rozwiązanie

Można wybrać tyle różnych cyfr ile jest rozmieszczeń z 10 cyfr po 2 cyfry, tj.

.

Ogólna liczba zdarzeń elementarnych wynosi więc
.

Liczba zdarzeń sprzyjających prawidłowemu wybraniu 2 cyfr wynosi
a więc

.

 

 

Przykład 9

Wykazać że

Rozwiązanie:

 

 

Przykład 10

Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że wśród wylosowanych kart znajdzie się as pikowy?

Rozwiązanie

Zbiorem zdarzeń podstawowych A jest zbiór wszystkich możliwych układów 5 kart spośród 52. Ilość n zdarzeń zbioru A jest więc równa ilości kombinacji 52 elementów po 5, czyli

.

Zdarzeniami sprzyjającymi są te układy kart, wśród których znajduje się as pikowy. Układy te składają się, prócz asa pikowego, z 4 kart spośród pozostałych 51. A więc liczba n_A zdarzeń sprzyjających zjawisku A₁ równa się ilości kombinacji 51 elementów po 4, czyli

,

wobec czego

.

 

 

Przykład 11

Ktoś czeka na autobus nr 0 lub nr 18 na przystanku autobusowym, przy którym zatrzymują się autobusy nr 0, 18, 30, 11 i 36. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że pierwszy nadjeżdżający autobus będzie odpowiedni dla oczekującej osoby, przyjmując, że wszystkie wymienione autobusy zjawiają się na przystanku jednakowo często.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo przyjazdu każdego z autobusów w tym nr 0 i 18 równa się

więc poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi

.

 

 

Przykład 12

W urnie mamy 10 kul białych, 20 czarnych i 30 zielonych. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą lub czarną?

Rozwiązanie

Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
, w tym zdarzeń sprzyjających zjawisku A₁ (wylosowanie kuli białej) jest
, a zdarzeń sprzyjających A₂ (wylosowanie kuli czarnej) jest
. Wylosowanie kuli białej lub czarnej jest sumą wykluczających się zjawisk A₁ i A₂, więc szukane prawdopodobieństwo wynosi

 

 

Przykład 13

Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy co najmniej 2 damy?

Rozwiązanie

Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
, w tym mamy
zdarzeń sprzyjających zjawisku A₁ (wylosowanie dokładnie dwóch dam),
zdarzeń sprzyjających zjawisku A₂ (wylosowanie dokładnie trzech dam) oraz
zdarzeń sprzyjających zjawisku A₃ (wylosowanie dokładnie czterech dam). Wylosowanie co najmniej dwóch dam jest sumą wykluczających się zjawisk A₁, A₂, A₃, zatem prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch dam wyraża się wzorem

.

 

 

Przykład 14

Losujemy 5 kart z talii 52 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że wśród wylosowanych kart znajdzie się dokładnie jeden as?

Rozwiązanie

Ilość zdarzeń zbioru podstawowego
. Do zbioru zdarzeń sprzyjających zjawisku zaliczamy układy kart, które składają się z 1 asa spośród 4 asów i z 4 kart spośród 48, jakie otrzymamy wyłączając z talii 4 asy, więc
, wobec czego

 

.

 

 

Przykład 15

Każda litera słowa „matematyka” jest napisana na osobnej kartce. Kartki zostały umieszczone w pudełku i wymieszane. Po kolei losowane jest pięć kartek. Jakie jest prawdopodobieństwo
otrzymania słowa „temat”.

Rozwiązanie

Niech A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ oznaczają zdarzenia odpowiadające kolejnemu wyciągnięciu liter t, e, m, a, t. Odpowiednie prawdopodobieństwa są równe:

;
;
;

;

więc

 

 

Przykład 16

Dwaj strzelcy niezależnie od siebie strzelają do tego samego celu. Prawdopodobieństwo trafienia wynosi dla strzelca A
a dla strzelca B
. Znaleźć prawdopodobieństwo co najmniej jednokrotnego trafienia celu.

Rozwiązanie

 

 

Przykład 17

Prawdopodobieństwo tego że dzień będzie deszczowy wynosi
. Znaleźć prawdopodobieństwo q tego, że dzień będzie słoneczny.

Rozwiązanie

Zdarzenia „dzień deszczowy” i „dzień słoneczny” wykluczają się a więc

 

 

Przykład 18

Cztery automaty do kawy pracują jednocześnie. Dla każdego urządzenia prawdopodobieństwo że pracuje ono w danym momencie jest równe
.

Znaleźć prawdopodobieństwo tego (zdarzenie A) że w danym momencie pracuje choćby jeden automat.

Rozwiązanie

Zdarzenia „automat pracuje” i „automat nie pracuje” w danej chwili są przeciwne, więc

i

ostatecznie

 

 

Przykład 19

Obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo, że na 5 rzutów kostką co najmniej 4 razy wypadnie ilość oczek nie większa od 3?

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw prawdopodobieństwo p, że w jednym rzucie kostką wypadnie ilość oczek nie większa od 3. Zjawisko E polegające na wyrzuceniu ilości oczek nie większej od 3 jest sumą trzech zjawisk wykluczających się, polegających odpowiednio na wylosowaniu jedynki, dwójki lub trójki, a każde z tych zjawisk ma prawdopodobieństwo równe
, więc

 

.

 

Prawdopodobieństwo P zjawiska A polegającego na zajściu zjawiska E w 5 rzutach co najmniej 4 razy jest równe sumie prawdopodobieństw
, gdzie
są prawdopodobieństwami zajścia zjawiska E, 4 względnie 5 razy w 5 rzutach. Zatem szukane prawdopodobieństwo

.

 

 

Przykład 20

Pewien element elektroniczny jest produkowany w dwóch zakładach, przy czyn większość produkcji drugiego zakładu jest n razy większa od wielkości produkcji pierwszego zakładu. Udział elementów wadliwych w produkcji pierwszego zakładu wynosi p₁ a w produkcji drugiego zakładu p₂.

Załóżmy, że elementy wyprodukowane przez te zakłady w jednakowym czasie zostały wymieszane w składnicy tych elementów. Wyznaczmy prawdopodobieństwo tego, że został wybrany element wyprodukowany przez drugi (względnie pierwszy) zakład, jeżeli był to element wadliwy?

Rozwiązanie

Niech zdarzenie A₁ oznacza fakt, że został wybrany element wyprodukowany przez pierwszy zakład, a A₂, że element pochodzi z drugiego zakładu.

Zauważmy, że

i

Są to prawdopodobieństwa a priori zdarzeń A₁ i A₂. Niech zdarzenie A oznacza, że wybrano element wadliwy. Dane są prawdopodobieństwa warunkowe:

.

Ze wzoru Bayesa otrzymujemy:

.

Również mamy

.

Ostanie zależności dają odpowiedź na postawione pytanie.

 

 

Przykład 21

Fabryki A₁, A₂ i A₃ produkują żarówki w ilościach
,
i
. Wiadomo, że fabryki te produkują przeciętnie 0,3%, 0,2% i 0,5% zepsutych żarówek. Określić, z której fabryki najprawdopodobniej pochodzi zakupiona zepsuta żarówka.

Rozwiązanie

Oznaczając przez A₁, A₂ i A₃ zjawiska polegające na tym, że żarówka pochodzi z fabryki A₁, A₂ lub A₃ oraz przez B polegające na tym, że zakupiona żarówka jest niezdatna do użytku, mamy tu

,
,

oraz

wobec czego zgodnie z wzorem Bayesa po wykonaniu rachunków otrzymamy

,
,

Zakupiona żarówka pochodzi najprawdopodobniej z fabryki A₂.

 

 

Przykład 22

Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie kostką na 10 rzutów wypadnie 8 razy jedynka?

Rozwiązanie

Mamy tu
, więc szukane prawdopodobieństwo

 

 

 

Przykład 23

Rzucamy osiem kostek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 2 kostkach wypadnie po sześć oczek?

Rozwiązanie

Zadanie jest równoważne następującemu: rzucamy jedną kostką 8 razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że 2 razy wypadnie szóstka?

 

Mamy tu
, więc

 

 

 

Przykład 24

Z urny zawierającej 7 kul białych i 8 czarnych losujemy 5 razy po dwie kule, które po wylosowaniu wrzucamy z powrotem do urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy parę kul różnokolorowych.

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw prawdopodobieństwo p, że w jednym losowaniu wyciągniemy parę kul różnokolorowych; zjawisko to jest sumą dwóch zjawisk wykluczających się, z których pierwsze polega na wyjęciu najpierw kuli białej a potem kuli czarnej, drugie zaś na wyjęciu najpierw kuli czarnej i potem kuli białej. Wobec tego

.

 

Ponieważ po każdym losowaniu dwóch kul wrzucamy je do urny z powrotem, więc mamy tu do czynienia z doświadczeniami niezależnymi. Doświadczenie wykonano 5 razy i chcemy znaleźć prawdopodobieństwo, że rozważane zjawisko (wylosowanie pary różnokolorowych kul), o prawdopodobieństwie
w jednym doświadczeniu, zajdzie 3 razy, zatem oznaczając szukane prawdopodobieństwo przez
, mamy zgodnie z prawem dwumianowym

 

.

 

 

Przykład 25

Obliczyć prawdopodobieństwo, że na 3600 rzutów monetą orzeł wypadnie 1830 razy.

Rozwiązanie

Ponieważ
,
,
,
, więc

 

 

dla
odczytujemy z tablicy wartość
, wobec czego

 

 

 

Przykład 26

Dla
,
obliczyć prawdopodobieństwo
ze wzoru Bernouliego.

Rozwiązanie

Obliczenie prawdopodobieństwa ze wzoru Bernouliego jest technicznie trudne.

 

 

Przykład 27

Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie A wystąpi 80 razy w 400 doświadczeniach jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia tego zdarzenia w każdym doświadczeniu jest równe 0,2.

Rozwiązanie

,
,
,

 

W oparciu o lokalne twierdzenie Laplace'a otrzymuje się wynik:

 

a w oparciu o twierdzenie Bernouliego

Występuje tutaj dobra zgodność wyników.

 

 

Przykład 28

Prawdopodobieństwo trafienia w cel przy jednym strzale wynosi
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w 10 strzałach cel zostanie trafiony 8 razy.

Rozwiązanie

 

,
,
,

(z tw. Laplace'a),

(z tw. Bernouliego).

Rozbieżność wyników jest spowodowana małymi wartościami n i k.

 

 

Przykład 29

Dla n prób Bernouliego wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wartość
, dla której prawdopodobieństwo
osiąga maksimum. Rozważyć dwie sytuacje:

1. a)     
   

2. b)    
   

Rozwiązanie:

 

a)
nie jest liczbą całkowitą

(wzór przybliżony).

 

b)

(wzór przybliżony).

 

 

Przykład 30

Obliczyć prawdopodobieństwo, że w 100 rzutach monetą orzeł wypadnie od 40 do 60 razy.

Rozwiązanie

Mamy tu

Obliczamy a i b:

skąd

a więc prawdopodobieństwo, że ilość k rezultatów wyrzucenia orła jest większa od 40 i mniejsza od 60, wyraża się wzorem

 

.

 

Dla x=2 odczytujemy z tablicy wartość
, wobec czego

 

.

 

 

Przykład 31

Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej k występującej w prawie dwumianowym.

Rozwiązanie

Ponieważ

,

więc wartość oczekiwana zmiennej k wyrazi się wzorem

Wartość ta dla dużych n jest bliska najbardziej prawdopodobnej ilości wystąpienia zdarzenia w serii n doświadczeń.

 

 

Przykład 32

Zastosować twierdzenie o wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych do obliczenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej podlegającej prawu dwumianowemu.

Przedstawiamy zmienną losową k w postaci sumy zmiennych losowych

gdzie k_i jest ilością wystąpienia zdarzenia A w i-tym doświadczeniu (i=1, 2, ..., n). Ponieważ w każdym doświadczeniu może wystąpić zdarzenie A z prawdopodobieństwem p lub jego zaprzeczenie
z prawdopodobieństwem
i wówczas zmienna losowa przyjmuje odpowiednio wartość 1 lub 0, więc wartością oczekiwaną zmiennej losowej
będzie

W myśl twierdzenia o wartości oczekiwanej sumy zmiennych losowych

 

 

Przykład 33

W loterii pieniężnej przygotowano 100 losów w tym 1 wygrywający 1000zł i 10 wygrywających 100zł. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - wartość możliwej wygranej dla posiadacza pojedynczego losu.

Rozwiązanie

X:

Sprawdzenie:
.

 

 

Przykład 34

Wyznaczymy dystrybuantę zmiennej losowej, określonej na zbiorze zdarzeń elementarnych, odpowiadających wynikom rzutu kostką.

Rozwiązanie

Taka zmienna losowa przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6 z jednakowymi prawdopodobieństwami, wynoszącymi 1/6.

Zgodnie z definicją dystrybuanta ma w tym przypadku postać:

 

 

 

 

Przykład prawdopodobieństw i odpowiadającej im dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej

 

 

Przykład 35

Znaleźć wartość średnią, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, która jest zadana wartościami szeregu rozkładu:

Xi	1	2	5
p(Xi)	0,3	0,5	0,2

 

Rozwiązanie:

Wartość średnia:

 

Wartości kwadratu odchylenia:

 

Szereg rozkładu prawdopodobieństwa kwadratu odchylenia:

	1,69	0,09	7,29
p(Xi)	0,3	0,5	0,2

 

Wariancja:

 

Odpowiedź:


.

 

---