Przykłady rachunkowe do wykładu
z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”
część II
Przykład 36
Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale
.
Rozwiązanie
Przykład 37
Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa
Należy obliczyć: dystrybuantę
, wartość oczekiwaną
, wariancję
oraz współczynnik asymetrii A i spłaszczenia S.
Rozwiązanie
(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością
).
.
Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:
,
,
,
.
Przykład 38
Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
i obliczyć odchylenie standardowe
zmiennej X.
Rozwiązanie
Wariancja zmiennej losowej X wynosi:
;
;
.
Przykład 39
Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia
a odchylenie standardowe
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).
Rozwiązanie
;
;
Z tablic otrzymuje się:
Przykład 40
Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.
Rozwiązanie:
Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:
Zmienna X (moneta 1) |
Zmienna Y (moneta 2) |
||||
Wartości |
Orzeł, |
Reszka, |
Wartości |
Orzeł, |
Reszka, |
Prawdopodobieństwa |
|
|
Prawdopodobieństwa |
|
|
Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.
Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:
Dla
Dla
Dla
Dla
Dla
Przykład 41
Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa
Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe
i
, wartości średnie
i
, wariancje
i
, oraz kowariancję
i współczynnik korelacji
.
Rozwiązanie
Wartości średnie:
Wariancje:
Kowariancja:
,
Współczynnik korelacji:
Przykład 42
Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej
obwodu LC w generatorze sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu prawdopodobieństwa
gdzie: C0 - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest stała.
Rys. Schemat obwodu LC
Rozwiązanie:
Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:
Funkcja odwrotna ma postać
Pochodna tej funkcji
i ostatecznie otrzymujemy
.
Przykład 43
Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na
płaszczyźnie (dla
)
Należy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych
.
Rozwiązanie
,
,
.
Obliczamy jakobian przekształcenia:
.
Gęstość
na podstawie wzoru wynosi:
Zmienne losowe
są niezależne i:
(rozkład Rayleigha),
(rozkład równomierny).
Przykład 44
Zmienna losowa X ma rozkład normalny
. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną
oraz wariancję
.
Rozwiązanie
Otrzymana gęstość jest normalna i:
,
.
Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:
.
Przykład 45
W obwodzie przedstawionym na rysunku
jest stałym źródłem napięciowym
i
jest zm. l. o rozkładzie jednostajnym między 900 i 1100 ၗ. Należy wyznaczyć, stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu
.
Rozwiązanie
,
Dla
otrzymujemy
,
,
i
,
.
Przykład 46
Promień kuli r wyznaczony eksperymentalnie jest zmienną losową normalną o wartości oczekiwanej
i wariancji
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję objętości kuli V korzystając ze wzorów dokładnych i metody linearyzacji funkcji.
Rozwiązanie
;
;
,
,
,
,
W oparciu o wzory dokładne mamy:
,
.
Na podstawie metody linearyzacji:
,
.