Przykłady rachunkowe do wykładu

z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”

część II

 

 

Przykład 36

Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale
.

Rozwiązanie

 

 

Przykład 37

Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: dystrybuantę
, wartość oczekiwaną
, wariancję
oraz współczynnik asymetrii A i spłaszczenia S.

Rozwiązanie

 

(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością
).

.

Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:

,

,

,

.

 

 

Przykład 38

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
i obliczyć odchylenie standardowe
zmiennej X.

Rozwiązanie

Wariancja zmiennej losowej X wynosi:

;

;

.

 

 

Przykład 39

Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia
a odchylenie standardowe
. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).

Rozwiązanie

;
;

Z tablic otrzymuje się:

 

 

Przykład 40

Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.

 

Rozwiązanie:

Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:

 

 

Zmienna X (moneta 1)			Zmienna Y (moneta 2)
Wartości	Orzeł,	Reszka,	Wartości	Orzeł,	Reszka,
Prawdopodobieństwa			Prawdopodobieństwa

 

Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.

 

Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:

Dla

 

Dla

 

Dla

Dla

 

Dla

 

 

 

Przykład 41

Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe
i
, wartości średnie
i
, wariancje
i
, oraz kowariancję
i współczynnik korelacji
.

Rozwiązanie

Wartości średnie:

Wariancje:

Kowariancja:

,

Współczynnik korelacji:

 

 

Przykład 42

Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej
obwodu LC w generatorze sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu prawdopodobieństwa

 

 

gdzie: C₀ - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest stała.

 

 

Rys. Schemat obwodu LC

 

Rozwiązanie:

Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:

Funkcja odwrotna ma postać

Pochodna tej funkcji

i ostatecznie otrzymujemy

 

.

 

 

Przykład 43

Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na

płaszczyźnie (dla
)

Należy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych
.

Rozwiązanie

,

,
.

Obliczamy jakobian przekształcenia:

.

Gęstość
na podstawie wzoru wynosi:

Zmienne losowe
są niezależne i:

(rozkład Rayleigha),

(rozkład równomierny).

 

 

Przykład 44

Zmienna losowa X ma rozkład normalny
. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną
oraz wariancję
.

Rozwiązanie

Otrzymana gęstość jest normalna i:

,

.

Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:

.

 

 

Przykład 45

W obwodzie przedstawionym na rysunku
jest stałym źródłem napięciowym

 

 

i
jest zm. l. o rozkładzie jednostajnym między 900 i 1100 ၗ. Należy wyznaczyć, stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu
.

Rozwiązanie

,

Dla
otrzymujemy

,

,

i
,

.

 

 

Przykład 46

Promień kuli r wyznaczony eksperymentalnie jest zmienną losową normalną o wartości oczekiwanej
i wariancji
. Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję objętości kuli V korzystając ze wzorów dokładnych i metody linearyzacji funkcji.

Rozwiązanie

;

;

,

,

,

,

W oparciu o wzory dokładne mamy:

,

.

Na podstawie metody linearyzacji:

,

.