plik

��Kazimierz CegieBka Katedra Nauk ZcisBych Wprowadzenie do analizy matematycznej WykBady i wiczenia dla student�w I roku 1. Zdania logiczne Logika matematyczna ustala reguBy postpowania w ka|dym dziale matematyki i innych dyscy- plinach nauki. Podstawowym pojciem logiki matematycznej jest zdanie logiczne, przy czym w zaawansowanej teorii logiki matematycznej jest to pojcie pierwotne. Na u|ytek wykBadu przyjmiemy, |e zdanie logiczne jest to takie zdanie oznajmujce, o kt�rym potrafimy ustali czy jest prawdziwe, czy faBszywe. Wobec tego np. zdanie Czy dz�s jest Badna pogoda? nie jest zdaniem logicznym. R�wnie| zdanie Musz zda egzamin z matematyki! te| nie jest zdaniem logicznym. Natomiast zdania: 5 jest wiksze od 7 jest zdaniem logicznym (faBszywym), 4 jest dzielnikiem 12 jest te| zdaniem logicznym (prawdziwym). W matematyce zwykle za zdanie prawdziwe uznaje si takie, kt�re potrafimy udowodni; w naukach do[wiadczalnych jako zdanie prawdziwe uznaje si takie wypowiedzi, kt�re znajduj potwierdzenie w do[wiadczeniu, np. w normalnych warunkach woda wrze w temperaturze 100o C. W dalszej cz[ci ograniczymy si do przykBad�w zaczerpnitych z matematyki. Jak ju| wspomnieli[my, zdania logiczne s zdaniami prawdziwymi lub faBszywymi. Wygodniej jest przyj, |e zdanie logiczne prawdziwe ma warto[ logiczn r�wn 1, a zdanie logiczne faBszywe ma warto[ logiczn 0. Pozwoli to nam Batwiej przeprowadza i zapisywa dowody pewnych wBasno[ci. Korzystajc z pojedynczych zdaD logicznych bdziemy budowa zdania zBo|one. W tym celu korzystamy z tzw. funktor�w zdaniotw�rczych. Zdania logiczne bdziemy oznacza literami p,q,r,... Je[li p jest zdaniem logicznym, to zaprzecze- niem (negacj) zdania p nazywamy zdanie: nieprawda, |e p. Zaprzeczenie zdania logicznego p oz- naczamy symbolem <" p. Zatem <" p oznacza zdanie: nieprawda, |e p. Je[li p oraz q s zdaniami logicznymi, to alternatyw zdaD p oraz q nazywamy zdanie zBo|one p lub q. Alternatyw zdaD p oraz q oznaczamy symbolem p (" q. Zdanie p (" q czytamy wic jako: p lub q. Koniunkcj zdaD logicznych p oraz q nazywamy zdanie p i q. Koniunkcj zdaD p oraz q oznaczamy symbolem p '" q. Implikacj zdaD logicznych o poprzedniku p i nastpniku q nazywamy zdane: je[li p, to q. Impli- kacj tak oznaczamy symbolem p �! q. Wobec tego zdanie p �! q czytamy jako: je[li p, to q. Na implikacj p �! q m�wimy te|, |e z p wynika q. Zdanie p wtedy i tylko wtedy, gdy q nazywamy r�wnowa|no[ci zdaD p oraz q. R�wnowa|no[ zdaD p oraz q oznaczmy symbolem p �! q. Zatem zdanie p �! q czytamy jako: p wtedy i tylko wtedy, gdy q lub p jest r�wnowa|ne q. Warto[ logiczn poszczeg�lnych zdaD zBo|onych w zale|no[ci od warto[ci zdaD prostych ustala poni|sza tabela: Tabela 1.1. Warto[ci logiczne zdaD p q p (" q p '" q p �! q p �! q 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 Kazimierz CegieBka Podkre[lamy jeszcze raz, |e tabela powy|sza jest wynikiem umowy. Zauwa|my, i| z powy|szej umowy wynika m.in., |e alternatywa dw�ch zdaD jest faBszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zda- nia s faBszywe; koniunkcja dw�ch zdaD jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania s prawdziwe; implikacja jest zdaniem faBszywym wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik implikacji jest zdaniem prawdziwym, a nastpnik jest zdaniem faBszywym (kr�tko: gdy z prawdy wynika faBsz). Czasami zdanie zbudowane ze zdaD prostych jest zdaniem prawdziwym niezale|nie od warto[ci logicznych zdaD, z kt�rych jest ono zbudowane. WBasno[ tak nazywamy prawem rachunku zdaD lub tautologi. PrzykBad 1.1 Wyra|enia <" (p (" q) �! (<" p) '" (<" q), <" (p '" q) �! (<" p) (" (<" q) s zawsze prawdziwe niezale|nie od warto[ci logicznych zdaD p oraz q. Wobec tego jest to prawo rachunku zdaD zwane prawem De Morgana (A. De Morgan (1806 1871), matematyk i logik angielski). Pierwsze z nich m�wi, |e zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeD, a drugie m�wi, |e zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzeczeD. PrzykBad 1.2 Prawami rachunku zdaD s r�wnie|: ((p �! q) '" (q �! r)) �! (p �! r) (przechodnio[ implikacji), (p �! q) �! ((<" p) (" q), (<" (p �! q)) �! (p '" (<" q)) (zaprzeczenie implikacji), (p �! q) �! ((<" q) �! (<" p))(prawo to jest wykorzystywane w dowodach twierdzeD metod nie wprost). Praw rachunku zdaD dowodzi si czsto metod zero-jedynkow. A oto dow�d prawa De Morgana: p q p '" q <" (p '" q) <" p <" q (<" p) (" (<" q) <" (p '" q) �! (<" p) (" (<" q) 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Jedynki otrzymane w ostatniej kolumnie oznaczaj, |e badane wyra|enie jest prawem rachunku zdaD. Pytania kontrolne 1.1. Co to jest zdanie logiczne? 1.2. Co to jest koniunkcja zdaD logicznych? 1.3. Co to jest alternatywa zdaD? 1.4. Co to jest implikacja zdaD logicznych? 1.5. Jak brzmi prawo De Morgana? Zadania 1.1. Poda zaprzeczenie zdania: " a) 5 > 32, b) 6 < 36, c) 7 = 2 + 5. 1.2. Poda zaprzeczenie zdania: a) Ka|da liczba naturalna jest liczb parzyst, b) Ka|da liczba naturalna jest liczb pierwsz, c) Kwadrat ka|dej liczby caBkowitej jest liczb dodatni, 1.3. Wskaza zdania faBszywe w[r�d poni|szych zdaD: a) 5 > 30 (" 42 > 17 , Wprowadzenie do analizy matematycznej 3 b) 30 + 31 + 32 = 33 (" 25 - 24 = 21 . c) 3 d" 4. 1.4. Wskaza zdania prawdziwe w[r�d poni|szych zdaD: a) 57 > 58 '" 42 = 16 . b) (13 e" 12) '" 912 = 8281 . 1 1 5 c) (2 jest liczb pierwsz) '" + = 2 3 6 1.5. Wskaza zdania faBszywe w[r�d poni|szych zdaD: a) (3 > 4) �! (4 < 5), b) (17 jest liczb pierwsz) �! 30 = 2 , c) 52 + 122 = 132 �! 54 > 34 . 1.6. Wskaza zdania faBszywe w[r�d poni|szych zdaD: a) (|-25| = -25) �! (152 = 252), " 2 b) 3 < 73 �! 87 = 87 , " " c) 1 - 2 < 0 �! 2 - 1 < 0 . 1.7. Udowodni prawa rachunku zdaD wymienione w przykBadzie 1.2 Odpowiedzi " 1.1. a) 5 32, b) 6 36, c) 7 = 2 + 5. 1.2. a) Istnieje liczba naturalna, kt�ra jest liczb nieparzyst. b) Istnieje liczba naturalna, kt�ra nie jest liczb pierwsz. c) Istnieje liczba caBkowita, kt�rej kwadrat nie jest liczb dodatni. 1.3. b). 1.4. b), c). 1.5. b). 1.6.c). 2. Zbiory i funkcje zdaniowe Jednym z podstawowych poj w matematyce jest pojcie zbioru. Zwykle przyjmuje si, |e zbi�r jest pojciem pierwotnym, tzn. takim, kt�re nie definiujemy. W praktyce, zbi�r okre[lamy poprzez podanie jego element�w lub poprzez ustalenie warunk�w, kt�re musz speBnia elementy tego zbioru. Je[li a jest elementem zbioru A, to zapisujemy to w postaci a " A (czytamy: a nale|y do A). Do zapisania, |e b nie nale|y do zbioru A u|ywamy symbolu ", czyli piszemy b " A. W przypadku, gdy / / mo|na poda wszystkie elementy zbioru, to elementy zbioru wypisujemy w nawiasach klamrowych. Zatem zapis {1,2,3,4} oznacza, |e elementami tego zbioru s: 1, 2, 3, 4. Wobec tego 2 " {1,2, 3, 4}, 6 " {1,2,3,4}. / Zbi�r, do kt�rego nie nale|y |aden element nazywamy zbiorem pustym. Zbi�r pusty oznaczamy symbolem ". W matematyce nie zawsze mamy do czynienia ze zdaniami logicznymi. Czasami wystpuj wyra|e- nia, kt�re s bliskie zdaniom logicznym. Na przykBad nier�wno[ x < 6 nie jest zdaniem logicznym, gdy| nie mo|na stwierdzi, czy jest to prawda czy faBsz. Jednak, gdy w miejsce x wstawimy dowoln liczb rzeczywist, to otrzymamy wyra|enie, kt�re jest prawdziwe lub faBszywe. I tak, gdy w miejsce x wstawimy liczb 3, to otrzymamy nier�wno[ 3 < 6, kt�ra jest prawdziwa. Je[li w miejsce x wstawimy 10, to otrzymamy nier�wno[ 10 < 6 bdc zdaniem faBszywym. Wyra|enia takie nazywamy funk- cjami zdaniowymi lub formami zdaniowymi. DokBadniej, funkcj zdaniow o zakresie zmienno[ci X 4 Kazimierz CegieBka nazywamy takie przyporzdkowanie (funkcj), kt�ra dowolnemu elementowi ze zbioru X przyporzd- kowuje dokBadnie jedno zdanie logiczne. Je[li � jest funkcj zdaniow o zakresie zmienno[ci X, to oznacza to, |e dowolnemu elementowi x " X jest przyporzdkowane zdanie logiczne � (x). M�wimy, |e element a " X speBnia funkcj zdaniow �, gdy zdanie � (a) jest zdaniem prawdziwym. Zapis {x " X: �(x)} oznacza zbi�r wszystkich element�w x " X takich, |e zdanie logiczne � (x) jest zdaniem prawdziwym (czytamy: zbi�r iks nale|cych do iks takich, ze fi od iks). Dowolnej funkcji zdaniowej mo|na przyporzdkowa zdania logiczne za pomoc tzw. kwantyfika- tor�w. Zwroty: dla ka|dego x " X zapisujemy oraz istnieje x " X zapisujemy nazy- x"X x"X wamy kwantyfikatorem odpowiednio og�lnym i egzystencjalnym. I tak, je[li � jest funkcj zdaniow o zakresie zmienno[ci X, to mo|na utworzy dwa zdania logiczne: �(x) oraz �(x). x"X x"X Przez caBy czas bdziemy u|ywa nastpujcych oznaczeD: R bdzie oznacza zbi�r wszystkich liczb rzeczywistych, C bdzie oznacza zbi�r wszystkich liczb caBkowitych, C- oznacza bdzie zbi�r wszystkich liczb caBkowitych ujemnych, N bdzie oznacza zbi�r wszystkich liczb naturalnych, przy czym zakBadamy, |e 0 " N. / Korzystajc z tych oznaczeD, mamy: zdanie x2 + 2 > 0 jest zdaniem prawdziwym, x"R zdanie (2n + 1 = 0) jest zdaniem faBszywym, n"N zdanie (2n + 1 = 0) jest zdaniem prawdziwym. n"R Je[li a " R, b " R i a < b, to (a;b) = {x " R: a < x < b} oznacza przedziaB otwarty, a;b = {x " R: a x b} oznacza przedziaB domknity. W podobny spos�b definiuje si przedziaBy: (a;b (prawostronnie domknity), a; b) (przedziaB lewostronnie domknity). PrzedziaB (-"; +") oznacza zbi�r wszystkich liczb rzeczywistych i jest to jednocze[nie przedziaB otwarty i domknity. PrzedziaBy: (a; b), a; b , (a;b , a;b) s przedziaBami ograniczonymi (gdy a " R, b " R). PrzedziaB (-";+") jest przedziaBem nieograniczonym. M�wimy, |e zbi�r A zawiera si w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy ka|dy element zbioru A jest te| elementem zbioru B. Je[li zbi�r A zawiera si w zbiorze B, to zapisujemy to w postaci A �" B. Wobec tego A �" B �! a " B. a"A Znak zawierania zbior�w �" nazywa si te| inkluzj zbior�w. Przyjmujemy, |e zbi�r pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru. Dwa zbiory s r�wne wtedy i tylko wtedy, gdy maj te same elementy. Std A = B �! A �" B '" B �" A. Zatem {a,b} = {b, a} (kolejno[ wypisania element�w jest nieistotna), Wprowadzenie do analizy matematycznej 5 {1,2,1} = {1, 2} (powt�rzenie w zapisie elementu daje ten sam zbi�r). Zbi�r A nazywamy zbiorem skoDczonym, gdy jest zbiorem pustym lub liczba jego element�w jest liczb naturaln. Zbi�r, kt�ry nie jest skoDczony, nazywamy zbiorem nieskoDczonym. Liczb elemen- t�w zbioru skoDczonego A oznaczamy symbolem A (lub |A|) i nazywamy moc zbioru A. Zbiory: ", A = {1}, B = {1, 2}, C = {1,2,3} s skoDczone i " = 0, A = 1, B = 2, C = 3. Zbiory: N, R i przedziaBy (a; b), a; b , (a; b , a;b) (a < b) s przykBadami zbior�w nieskoDczonych. Na zbiorach wykonujemy nastpujce dziaBania: ZaB�|my, ze dane s dwa zbiory A i B. Sum (zBczeniem) zbior�w A i B nazywamy zbi�r A *" B, gdzie A *" B = {x: x " A (" x " B}. Iloczynem zbior�w (cz[ci wsp�ln) A i B nazywamy zbi�r A )" B, gdzie A )" B = {x: x " A '" x " B}. R�|nic zbioru A i B nazywamy zbi�r A \ B, gdzie A \ B = {x: x " A '" x " B}. / Ilustracj graficzn tych dziaBaD s nastpujce rysunki: Rys. 1 Iloczynem kartezjaDskim zbior�w A i B nazywamy zbi�r A � B, gdzie A � B = {(a,b) : a " A '" b " B}, przy czym (a,b) oznacza par uporzdkowan element�w a i b (a jest pierwszym elementem tej pary, b jest drugim elementem tej pary). Zatem {1,2,3} � {a,b} = {(1, a), (1, b), (2, a), (2,b) ,(3,a) ,(3,b)}. W przypadku, gdy A �" R, B �" R, to zbi�r A � B ma nastpujc interpretacj geometryczn: Rys. 2 6 Kazimierz CegieBka A oto niekt�re wBasno[ci dziaBaD na zbiorach: (A *" B) )" C = (A )" C) *" (B )" C), (A \ B) )" C = (A )" C) \ (B )" C), A *" (B \ A) = A *" B, A �" A *" B, (A *" B) � C = (A � C) *" (B � C), C � (A *" B) = (C � A) *" (C � B), (A \ B) � C = (A � C) \ (B � C). Przyjmijmy, |e n " N, n 2. Oznaczmy przez Rn zbi�r Rn = {(x1, x2,..., xn) : x1 " R '"x2 " R '"...'"xn " R}. W zbiorze tym wprowadzamy nastpujce dziaBania: (x1,x2,...,xn) + (y1,y2, ...,yn) = (x1 + y1,x2 + y2,...,xn + yn), a � (x1,x2, ...,xn) = (ax1, ax2, ..., axn) dla a " R, (x1,x2,...,xn) " Rn, (y1,y2, ...,yn) " Rn, przy czym na og�B nie u|ywamy kropki na oznaczenie mno|enia. Pytania kontrolne 2.1. Co to jest funkcja zdaniowa? 2.2. Co to jest kwantyfikator og�lny i egzystencjalny? 2.3. Co to jest zbi�r skoDczony? 2.4. Co to jest suma i iloczyn zbior�w? 2.5. Co to jest iloczyn kartezjaDski zbior�w? Zadania 2.1. Podaj elementy zbioru A, je[li: a) A = {n:n " N '" 5 < n 9}, b) A = k:k " C- '" k2 16 , c) A = k:k " C '" k2 = 4 '" k2 = 9 , d) A = k:k " C '" k2 1 '" k2 5 , e) A = {n:n " N '" n 30 '" 6|n}. 2.2. Poda elementy zbior�w: A *" B, A )" B, A \ B i B \ A, je[li: a) A = {-2, 0, 2} i B = {-1, 1, 3}, b) A = {-2, 0, 3} i B = {0, 1, 4}, c) A = {1, 2, 3} i B = {2, 3, 7}, d) A = n: n " N '" 3 < n2 10 i B = n: n " N '" 1 n3 27 , e) A = {k: k " C '" -1 5k + 6 < 14} i B = k:k " C '" k2 0 . 2.3. Wskaza zdania prawdziwe w[r�d poni|szych zdaD: a) Zbi�r wszystkich liczb parzystych dodatnich jest nieskoDczony, b) Zbi�r wszystkich liczb nieparzystych dodatnich jest podzbiorem zbioru C, c) Zbi�r wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 6 jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb naturalnych podzielnych przez 12, d) Je[li zbi�r A zawiera zbi�r B, to zbi�r B zawiera zbi�r A, e) Je[li A jest podzbiorem zbioru B, to A )" B = A. Wprowadzenie do analizy matematycznej 7 2.4. Poda elementy zbioru A � B, gdy: a) A = {-1, 0,3} i B = {4,5}, b) A = {0,1, 2} i B = {x,y,z}, c) A = {a,b, c} i B = {", "}. 2.5. Wykaza, |e dla dowolnych zbior�w A, B i C speBnione s zale|no[ci: / a) (A *" B) )" C = (A )" C) *" (B )" C) , b) (A \ B) )" C = (A )" C) \ (B )" C), c) A *" (B \ A) = A *" B, d) A �" A *" B, e) (A *" B) � C = (A � C) *" (B � C). 2.6. Wskaza zdania faBszywe w[r�d zdaD logicznych: a) (2x + 3y = 7) , x"R y"R b) (2x + 3y = 7) , y"R xeR c) (2x + 3y = 7) , x"R y"R d) (2x + 3y = 7). x"R y"R Odpowiedzi 2.1. a) A = {6, 7, 8, 9} .b) A = {-4, -3, -2, -1}. c) A = {-3, -2, 2, 3}. d) A = {-2, -1, 1, 2}. e) A = {6, 12, 18, 24, 30}. 2.2. a) A *" B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}, A )" B = ", A \ B = A, B \ A = B. b) A *" B = {-2, 0, 1, 3, 4}, A )" B = {0}, A \ B = {-2, 3}, B \ A = {1, 4}. c) A *" B = {1, 2, 3, 7}, A )" B = {2, 3}, A \ B = {1}, B \ A = {7}. d) A *" B = B = {1, 2, 3}, A )" B = A = {2, 3}, A \ B = ", B \ A = {1}. e) A *" B = A = {-1, 0, 1}, A )" B = B = {0}, A \ B = {-1, 1}, B \ A = ". 2.3. a). b). e). 2.4. a) A � B = {(-1, 4) ,(-1,5) ,(0, 4), (0,5),(3, 4) ,(3,5)} . b) A � B = {(0,x), (0,y), (0,z) ,(1,x) ,(1,y) ,(1,z), (2, x), (2, y), (2, z)} . c) A � B = {(a,") ,(a,") ,(b,"), (b,"), (c, ") ,(c,")} . 2.6.b). c). 3 Funkcja i jej podstawowe wBasno[ci Dane s dwa niepuste zbiory X i Y . Funkcj okre[lon na zbiorze X o warto[ciach w zbiorze Y nazywamy takie przyporzdkowanie, kt�re ka|demu elementowi zbioru X przypisuje dokBadnie jeden element zbioruY . Zbi�r X nazywamy dziedzin funkcji, a ka|dy element dziedziny X nazywamy argumentem funkcji. ZaB�|my, |e f jest funkcj okre[lon na zbiorze X o warto[ciach wzbiorze Y. Element zbioru Y , przyporzdkowany argumentowi x " X, nazywamy warto[ci funkcji f w punkcie x i oznaczamy sym- bolem f(x) (czytamy: ef od iks). Dziedzin funkcji f oznaczamy te| symbolem Df. Zbi�r wszystkich warto[ci funkcji f oznaczamy symbolem f(X) lub f(Df). Zatem f(X) = {f(x): x " X}. Zapis f:X �! Y jest skr�tem wypowiedzi: funkcja f jest okre[lona na zbiorze X i ma warto[ci w zbiorze Y . Je[li f: X �! Y i f(X) = Y , to o funkcji f m�wimy, |e przeksztaBca zbi�r X na zbi�r Y . Je[li f: X �! Y i f(X) �" Y (zbi�r warto[ci funkcji f jest podzbiorem zbioru Y ), to o funkcji f m�wimy, |e przeksztaBca zbi�r X w zbi�r Y . 8 Kazimierz CegieBka Je|eli dane s dwie funkcje f:X �! Y i g:X �! Y takie, |e dla ka|dego x " X mamy f(x) = g(x), to m�wimy wtedy, |e funkcja f jest r�wna funkcji g. Funkcje f i g s wic r�wne, gdy maj t sam dziedzin iwdowolnym punkcie nale|cym do dziedziny przyjmuj t sam warto[. Zatem f = g �! (Df = Dg i dla ka|dego x " Df mamy f(x) = g(x)). W zale|no[ci od rodzaju zbior�w X i Y funkcje mo|emy okre[li za pomoc: tabelki, grafu, diagramu, opisu sBownego, wzoru, wykresu. PrzykBad 3.1 x 1 3 5 7 Rozwa|my tabelk , kt�ra okre[la funkcj f. f(x) 2 4 6 8 Funkcja ta ka|dej z liczb: 1, 3, 5, 7 przyporzdkowuje tylko jedn liczb spo[r�d liczb: 2, 4, 6, 8 w nastpujcy spos�b: f (1) = 2, f (3) = 4, f (5) = 6, f (7) = 8. Dziedzin funkcji f jest zbi�r Df = {1, 3, 5, 7}, a zbiorem warto[ci jest f(Df) = {2, 4, 6, 8}. O funkcji f mo|emy powiedzie, |e przeksztaBca zbi�r {1,3, 5, 7} na zbi�r {2, 4, 6, 8} oraz przeksztaBca zbi�r {1,3, 5, 7} w ka|dy z nastpu- jcych zbior�w: {2,4,6,8,10}, N, R, a tak|e w zbi�r {2, 4, 6,8}. W tym przypadku funkcja f dowolnej liczbie ze zbioru Df przyporzdkowuje liczb o 1 wiksz od niej, co mo|emy r�wnie| zapisa za pomoc wzoru f(x) = x + 1 dla x " Df. Na rysunku 3.1 przedstawiony jest graf ilustrujcy funkcj f. Rys. 3.1 PrzykBad 3.2 Na rys. 3.2 dany jest graf (graf strzaBkowy) okre[lajcy funkcj f. Rys. 3.2 Std odczytujemy: dziedzin Df = {-1, 0,1,2}, zbi�r warto[ci f(Df) = {0,1,4} oraz spos�b przyporzdkowania. Przyporzdkowanie to mo|emy zapisa w postaci tabeli x -1 0 1 2 . f (x) 1 0 1 4 O przyporzdkowaniu tym mo|na te| powiedzie, |e ka|dej liczbie x " Df jest przyporzdkowany jej kwadrat, co mo|emy r�wnie| zapisa za pomoc wzoru f(x) = x2 dla x " {-1, 0,1,2}. Na pBaszczyznie z prostoktnym ukBadem wsp�Brzdnych wykresem funkcji f jest ilustracja graficzna zbioru x,x2 : x " {-1,0, 1, 2} (rys.3.3). Wprowadzenie do analizy matematycznej 9 Rys. 3.3 Funkcja f przeksztaBca zbi�r {-1,0, 1, 2} na zbi�r {0,1,4}, natomiast funkcja f przeksztaBca zbi�r Df w zbi�r A, kt�ry jest takim dowolnym podzbiorem zbioru R, |e {0,1,4} )" A = {0, 1, 4}. PrzykBad 3.4 Funkcja f przyporzdkowuje ka|dej liczbie x " {1, 2, 3, 4} liczb dwa razy wiksz od niej. Podamy r�|ne opisy tej funkcji. Za pomoc wzoru f (x) = 2x dla x " {1,2, 3, 4}. Za pomoc tabelki x 1 2 3 4 . f (x) 2 4 6 8 Za pomoc grafu strzaBkowego (rys. 3.4): Rys. 3.4 Za pomoc wykresu (rys.3.5): Rys. 3.5 Dziedzin funkcji f jest zbi�r Df = {1, 2, 3, 4}, za[ zbiorem warto[ci jest zbi�r f (Df) = {2x: x " {1, 2, 3, 4}} = {2, 4, 6, 8}. Funkcja f przeksztaBca zbi�r {1, 2, 3, 4} na zbi�r {2, 4, 6, 8} . Funkcja f przeksztaBca zbi�r {1, 2, 3, 4} w zbi�r A, kt�ry jest takim dowolnym podzbiorem zbioru A, |e {2, 4, 6, 8} )" A = {2, 4, 6, 8}. Funkcj f: X -�! Y nazywamy funkcj r�|nowarto[ciow, gdy r�|nym argumentom odpowiadaj r�|ne warto[ci: 10 Kazimierz CegieBka def funkcja f: X -�! Y jest r�|nowarto[ciowa �! (x1 = x2 �! f (x1) = f (x2)) . x1"X x2"X Je[li f: X -�! Y i A �" X, to zbi�r def f (A) = {f (a) : a " A} (czytamy: zbi�r f (a) takich, |e a " A ) nazywamy obrazem zbioru A w przeksztaBceniu f. Je[li f: X -�! Y i B �" Y , to zbi�r def f-1 (B) = {x " X: f (x) " B} (czytamy: zbi�r x " X takich, |e f (x) " B ) nazywamy przeciwobrazem zbioru B w przeksztaBceniu f. Funkcje okre[lone na tym samym zbiorze X o warto[ciach rzeczywistych mo|na dodawa, odej- mowa i mno|y (przy zaBo|eniu, |e dzielnik nie jest r�wny 0). Je[li f: X -�! R i g: X -�! R, to funkcje f + g: X -�! R, f - g: X -�! R, f � g: X -�! R s okre[lone wzorami: def (f + g)(x) = f (x) + g (x) dla x " X, def (f - g)(x) = f (x) - g (x) dla x " X, def (f � g) (x) = f (x) � g (x) dla x " X f W przypadku dzielenia funkcji przyjmujemy, |e dziedzin funkcji jest zbi�r g X \ {x " X: g (x) = 0} i wtedy f f (x) def (x) = dla x " X \ {x " X: g (x) = 0}. g g (x) Zwykle funkcje okre[lamy poprzez wz�r na warto[ funkcji f w punkcie x, podajc przy tym, do jakiego zbioru nale|y argument funkcji. Zatem wz�r f (x) = x2 + 1 dla x " (0;1) okre[la funkcj f, kt�ra dowolnej liczbie rzeczywistej x nale|cej do przedziaBu (0;1) przyporzdkowuje jej kwadrat powikszony o 1. Funkcja g okre[lona wzorem g (x) = 2x + 1 dla x " R okre[la funkcj, kt�ra dowolnej liczbie rzeczywistej x przyporzdkowuje liczb 2x + 1. Jest to wic funkcja, kt�rej warto[ci w dowolnym punkcie x jest 2x + 1. Czsto podaje si wz�r funkcji bez wyraznego okre[lenia dziedziny. W�wczas przyjmujemy, |e dziedzin takiej funkcji jest zbi�r wszystkich liczb rzeczywistych, dla kt�rych sens liczbowy ma wz�r okre[lajcy funkcj. Tak wyznaczon dziedzin funkcji nazywamy dziedzin naturaln funkcji. Dziedzi- n naturaln funkcji f bdziemy oznacza symbolem Df. PrzykBad 3.5 2x Funkcja f jest okre[lona wzorem f (x) = . W�wczas jej dziedzin naturaln jest (x - 1) (x + 2) 2x zbi�r Df = R \ {-2, 1}, gdy| wyra|enie nie ma sensu liczbowego tylko dla x = 1 lub (x - 1)(x + 2) x = -2 (w mianowniku mamy wtedy liczb zero, a dzielenie przez 0 nie jest wykonalne). Wprowadzenie do analizy matematycznej 11 PrzykBad 3.6 sinx Je[li g (x) = , to Dg = R \ {-2, 0}. x (x + 2) PrzykBad 3.7 x2 Je[li h(x) = , to Dh = R (tr�jmian kwadratowy x2 + x + 1 przyjmuje tylko warto[ci x2 + x + 1 dodatnie, gdy| " = 12 - 4 � 1 � 1 = -3). PrzykBad 3.8 Dane s funkcje f i g okre[lone wzorami x2 - 4 f (x) = i g (x) = x + 2. x - 2 W�wczas funkcje f oraz g s r�|ne, gdy| maj r�|ne dziedziny naturalne: Df = R \ {2}, Dg = R . Zauwa|my, |e x2 - 4 (x + 2) (x - 2) f (x) = = = x + 2 = g (x) dla x " R \ {2} . x - 2 x - 2 W przypadku, gdy dziedzin funkcji o warto[ciach rzeczywistych jest podzbi�r zbioru liczb rzeczy- wistych mo|na zdefiniowa monotoniczno[ funkcji. ZaB�|my, |e f: X -�! R i A �" X. M�wimy, |e funkcja f ro[nie na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 < x2 �! f (x1) < f (x2)) x1"A x2"A (wikszym argumentom nale|cym do zbioru A odpowiadaj wiksze warto[ci funkcji w tych argu- mentach). Podobnie: funkcja f maleje na zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy (x1 < x2 �! f (x1) > f (x2)) x1"A x2"A (wikszym argumentom nale|cym do zbioru A odpowiadaj mniejsze warto[ci funkcji w tych argu- mentach). Funkcj rosnc lub malejc na zbiorze A nazywamy funkcj monotoniczn na zbiorze A. Z de- finicji wynika bezpo[rednio, |e je[li funkcja jest monotoniczna na zbiorze A i B �" A, to funkcja ta jest r�wnie| monotoniczna na zbiorze B. PrzykBad 3.9 Wyka|emy, |e funkcja f okre[lona wzorem f (x) = x2 + 1 jest funkcj malejc na przedziale (-";0) oraz jest funkcja rosnc na przedziale (0; +") . W tym celu wezmy dowolne x1,x2 " (-"; 0) i takie, |e x1 < x2. W�wczas, korzystajc ze wzoru na r�|nic kwadrat�w dw�ch liczb, mamy f (x1) - f (x2) = (x1)2 - (x2)2 = (x1 + x2) (x1 - x2). Skoro liczby x1 i x2 s ujemne, to x1 + x2 < 0. Z zaBo|enia x1 < x2 otrzymujemy, |e x1 - x2 < 0. Std (x1 + x2) (x1 - x2) > 0, gdy| iloczyn dw�ch liczb ujemnych jest dodatni. Tym samym f (x1) - f (x2) > 0, czyli f (x1) > f (x2). Oznacza to, |e funkcja f jest malejca na przedziale (-";0) . Wezmy teraz dodatnie liczby x1 i x2 takie, |e x1 < x2. W�wczas x1 +x2 > 0 i x1 -x2 < 0. Wobec tego f (x1) - f (x2) = (x1 + x2)(x1 - x2) < 0, czyli f (x1) < f (x2) . Zatem funkcja f ro[nie na przedziale (0;+"). 12 Kazimierz CegieBka Je[li f: X -�! Y i g: Y -�! Z, to mo|na okre[li now funkcj g �% f: X -�! Z zwan zBo|eniem funkcji f z funkcj g, a mianowicie przyjmujemy, |e def (g �% f) (x) = g (f (x)) dla x " X. Funkcj f nazywamy funkcj wewntrzn funkcji g �% f, a funkcj g nazywamy funkcj zewntrzn funkcji g �% f. PrzykBad 3.10 Je[li funkcje f i g s okre[lone wzorami f (x) = 2x2 + 1 dla x " R, g (x) = sin x dla x " R, to f: R -�! R i g:R -�! R. Wobec tego funkcj f mo|na zBo|y z funkcj g oraz funkcj g mo|na zBo|y z funkcj f. Mamy przy tym (g �% f) (x) = g (f (x)) = g 2x2 + 1 = sin 2x2 + 1 dla x " R, (f �% g) (x) = f (g (x)) = f (sin x) = 2(sinx)2 + 1 = 2sin2 x + 1 dla x " R. Widzimy wic, |e skBadanie funkcji nie jest przemienne (tzn. |e nie zawsze mamy r�wno[ g �% f = = f �% g). Funkcj g: Y -�! X nazywamy funkcj odwrotn do funkcji f: X -�! Y wtedy i tylko wtedy, gdy speBnione s dwa warunki: g (f (x)) = x dla x " X i f (g (y)) = y dla y " Y. Funkcj odwrotn do funkcji f (o ile istnieje) oznaczamy symbolem f-1. Funkcj, kt�ra posiada funkcj odwrotn nazywamy funkcja odwracaln. Wobec tego, je[li funkcja f argumentowi x przy- porzdkowuje liczb f (x), to funkcja f-1 argumentowi f (x) przyporzdkowuje liczb x. Oznacza to, |e wykresy funkcji f i f-1 s symetryczne wzgldem prostej o r�wnaniu y = x. PrzykBadami funkcji wzajemnie do siebie odwrotnymi znanymi ze szkoBy [redniej s funkcje expa oraz loga . Mamy bowiem loga (expa x) = loga (ax) = x dla x " R, oraz expa (loga x) = aloga x = x dla x " (0; +") . Poni|ej podajemy wykresy funkcji exp2 oraz log2 (rys. 3.6) y 10 5 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x -5 -10 Rys. 3.6 Funkcje odwracalne opisuje nastpujce twierdzenie: Wprowadzenie do analizy matematycznej 13 Twierdzenie 3.1. Funkcja f: X -�! Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcj r�|nowarto[ciow i na . PrzykBad 3.11 Funkcj odwrotn do funkcji f okre[lonej wzorem 2x + 1 f (x) = dla x " R \ {1} x - 1 jest funkcja g okre[lona wzorem x + 1 g (x) = dla x " R \ {2}, x - 2 gdy| 2x + 1 + 1 2x + 1 x - 1 (g �% f) (x) = g (f (x)) = g = = x dla x " R \ {1} 2x + 1 x - 1 - 2 x - 1 oraz x + 1 2 � + 1 x + 1 x - 2 (f �% g) (x) = f (g (x)) = f = = x dla x " R \ {2} . x + 1 x - 2 - 1 x - 2 Funkcje trygonometryczne nie s odwracalne, gdy| nie s r�|nowarto[ciowe (s to bowiem funkcje okresowe, czyli przyjmuj te same warto[ci w punktach r�|nicych si o wielokrotno[ okresu). Jednak funkcje trygonometryczne rozwa|ane w niekt�rych przedziaBach s r�|nowarto[ciowe i tym samym s odwracalne. 1 1 Funkcja sinus ograniczona to przedziaBu - �; � jest funkcj r�|nowarto[ciow. Funkcj 2 2 odwrotn do tej funkcji nazywamy arcusem sinus i oznaczamy symbolem arcsin. U|ywajc zapisu symbolicznego mamy wic �� -1 ��sin � � �� arcsin = , - ; 2 2 1 1 gdzie sin 1 1 oznacza funkcj sinus ograniczon do przedziaBu - �; � , tj. funkcj okre[lon 2 2 - �; � 2 2 wzorem �� sin � � ��(x) = sin x dla x " -1�; 1� . 2 2 - ; 2 2 Podobnie, funkcja kosinus ograniczona do przedziaBu 0;� jest funkcj r�|nowarto[ciow. Funkcj odwrotn do niej nazywamy arcus kosinus i oznaczamy symbolem arccos. Zatem -1 arccos = cos . 0;� W podobny spos�b okre[lamy funkcje arctg i arcctg: �� -1 ��tg � � �� arcctg = , - ; 2 2 -1 arcctg = ctg . (0;�) Uwaga. Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnego przedziaBu nazywa si funkcjami cyklometrycznymi. Na kalkulatorze s one zwykle oznaczone poprzez wykBadnik -1 potgi . 14 Kazimierz CegieBka Pytana kontrolne 3.1. Co to jest funkcja? 3.2. Co to jest dziedzina funkcji? 3.3. Kiedy funkcja jest r�|nowarto[ciowa? 3.4. Co to jest zBo|enie funkcji? 3.5. Co to jest funkcja odwrotna? Zadania 3.1. Poda f (A), gdy: a) f (x) = x2 - x + 3; A = (1; 3), b) f (x) = x2 - 1; A = (-2;1), 1 c) f (x) = 1 + ; A = -2;-1). x + 1 3.2. Wyznaczy f-1 (A), gdy: a) f (x) = x2 - 4; A = (-10; 5) , 2 - x b) f (x) = ; A = (2;6), 1 + x 2 - x c) f (x) = ; A = 0;2 . 1 + x 3.3. Poda wz�r funkcji odwrotnej do funkcji f, gdy: 2 + x a) f (x) = , 1 - x 2 b) y = 1 - , x + 3 2 x c) y = - . x + 1 x + 1 3.4. Wykaza, |e funkcja f jest funkcj r�|nowarto[ciow, gdy: " 2 2 3x - 1 a) f (x) = 2 + , b) f (x) = , c) f (x) = 2x - 2 - 4x2 + 1. 2x - 1 4x + 1 3.5. Naszkicowa wykres funkcji f, gdy: a) f (x) = 2x -1, b) f (x) = 1 -2x, c) f (x) = log2 (x - 1).,) f (x) = 2log2(x-1), e) f (x) = |log3 x|. 3.6. Obliczy: " " 2 3 a) arccos - arcsin , 2 2 1 1 b) arcsin + arccos , 2 2 " 1 2 c) 3 arccos - 7arcsin , 2 2 " 1 d) 3 arctg 3 - 4arcsin , 2" " 1 3 5 3 e) arctg + arcsin . 3 3 6 2 Odpowiedzi 3.1. a) (3;9). b) -1;3). c) (-"; 0 . 4 3.2. a) (-3;3). b) - ;0 . c) 0;2 . 7 x - 2 3x - 1 2 - x 3.3. a) f-1 (x) = . b) f-1 (x) = . c) f-1 (x) = . x + 1 1 - x x + 1 1 1 3 1 1 3.6. a) - �. b) �. c) - �. d) �. e) �. 12 2 4 3 3 Wprowadzenie do analizy matematycznej 15 4. Cigi liczbowe A. Sposoby okre[lania cig�w Funkcj f okre[lon na zbiorze liczb naturalnych N o warto[ciach w zbiorze liczb rzeczywistych R nazywamy cigiem liczbowym lub kr�tko cigiem. Warto[ funkcji f w punkcie n " N, czyli liczb f (n) nazywamy n-tym wyrazem cigu. Zwykle n-ty wyraz cigu oznaczmy symbolem an (zamiast litery a bdziemy te| u|ywa liter b, c, d,..., x). Cig, kt�rego n-tym wyrazem jest liczba an zapisujemy w postaci (an) i czytamy: cig an. PrzykBad 4.1 Funkcja g okre[lona wzorem g (n) = 2n dla n " N jest cigiem liczbowym, kt�rego n-tym wyrazem an jest liczba 2n. Zatem an = 2n. Cig ten mo|emy te| napisa kr�tko (2n). Cig (2n) jest cigiem rosncym, a jego wyrazami s liczby parzyste dodatnie. Zbiorem warto[ci tego cigu jest zbi�r {2n: n " N}. PrzykBad 4.2 Cig (1) mo|emy traktowa jako funkcj f okre[lon wzorem f (n) = 1 dla n " N. Skoro funkcja g okre[lona wzorem g (x) = 1 dla x " R jest funkcj staB, wic i cig ten nazywamy cigiem staBym. Do zbioru warto[ci tego cigu nale|y tylko liczba 1. Do wykresu cigu (1) nale| tylko wszystkie pary postaci (n, 1), gdzie n " N (rys. 4.1). Rys. 4.1 Cig liczbowy (an) nazywamy cigiem staBym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczy- wista a, |e an = a dla n " N. Zatem zbiorem warto[ci cigu staBego jest zbi�r 1-elementowy. Cig jako funkcja mo|e by okre[lony r�|nymi sposobami. Jednym ze sposob�w okre[lenia cigu jest podanie wzoru na jego n-ty wyraz, np. an = 3n2 + 1 dla n " N. Poniewa| dziedzin cigu jest zawsze zbi�r liczb naturalnych, wic czsto podajc wz�r na n-ty wyraz cigu pomija si dziedzin. I tak np. piszemy an = 3n2 + 1 zamiast an = 3n2 + 1 dla n " N. PrzykBad 4.3 Wyznaczymy 14. wyraz cigu (an) okre[lonego wzorem an = 2n - 3. Wyraz 14. cigu jest to warto[ funkcji w punkcie 14. Zatem w celu wyznaczenia 14-tego wyrazu cigu wystarczy we wzorze na n-ty wyraz cigu w miejsce n wstawi liczb 14. Wobec tego a14 = 2 � 14 - 3 = 25. Wyrazem 14-tym cigu (2n - 3) jest liczba 25. W przypadku cig�w jest jeszcze jeden spos�b ich okre[lenia, a mianowicie podaje si pierwszy lub kilka pierwszych wyraz�w tego cigu oraz okre[la si zale|no[ midzy niekt�rymi pozostaBymi wyrazami. Taki spos�b okre[lania cig�w nazywa si rekurencj. 16 Kazimierz CegieBka Je[li (an) jest dowolnym cigiem i k " N, to wyraz ak+1 nazywamy wyrazem nastpnym po wyrazie ak, a wyraz ak nazywamy wyrazem poprzednim wyrazu ak+1. PrzykBad 4.4 O cigu (an) wiemy, |e a1 = 2 i ka|dy wyraz nastpny powstaje z poprzedniego przez dodanie liczby 1: an+1 = an + 1 dla n " N. Wyznaczymy si�dmy wyraz tego cigu. Wyraz si�dmy jest sum wyrazy sz�stego i liczby 1. Zatem, aby poda wyraz si�dmy nale|y zna wyraz sz�sty; aby poda wyraz sz�sty nale|y zna wyraz pity;..., aby poda wyraz trzeci nale|y zna wyraz drugi; aby poda wyraz drugi nale|y zna wyraz pierwszy, a to ju| znamy z okre[lenia cigu (a1 = 2). Wobec tego mamy kolejno: a2 = a1 + 1 = 2 + 1 = 3, a3 = a2 + 1 = 3 + 1 = 4, a4 = a3 + 1 = 4 + 1 = 5, a5 = a4 + 1 = 5 + 1 = 6, a6 = a5 + 1 = 6 + 1 = 7, a7 = a6 + 1 = 7 + 1 = 8. Wyrazem sz�stym tego cigu jest liczba 8. W podobny spos�b mo|emy poda wyraz np. 700-ty, co wymagaBoby jednak zbyt du|o czasu. PrzykBad 4.5 Cig (an) jest okre[lony w nastpujcy spos�b: �� a1 = 1 �� a2 = 1 �� an+2 = an+1 + an dla n " N Zatem: a3 = a1+2 = a2 + a1 = 1 + 1 = 2, a4 = a2+2 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3, a5 = a3+2 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5. Zale|no[ midzy wyrazami tego cigu mo|na sformuBowa nastpujco: ka|dy wyraz (poczwszy od wyrazu trzeciego) jest sum dw�ch wyraz�w poprzedzajcych. Pozwala to na szybsze wypisanie pocztkowych wyraz�w tego cigu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (trzy kropki oznaczaj, |e nastpuj kolejne wyrazy cigu, z kt�rych ka|dy jest sum dw�ch wyraz�w bezpo[rednio go poprzedzajcych). Cig ten nazywa si cigiem Fibonacciego (Fibonacci, Leonardo z Pizy (ok. 1180 ok. 1250), matematyk wBoski). Je[li rozrastanie ro[liny odbywa si zgodnie z zasad, |e ka|dy pd, wypu[ciwszy pd boczny, przez rok odpoczywa i dopiero w nastpnym roku puszcza nowy pd, to liczba pd�w w n-tym roku |ycia ro[liny jest r�wna an+1. WBasno[ ta pozwala okre[li rok ro[liny na podstawie liczby pd�w. B. DziaBania na cigach Cigi liczbowe s funkcjami okre[lonymi na zbiorze liczb naturalnych. Wobec tego dziaBania alge- braiczne wykonywane na funkcjach przenosz si na cigi. Wobec tego dla dowolnych cig�w (an) i (bn) mamy: (an) + (bn) = (cn), gdzie cn = an + bn dla n " N (sum cig�w (an) i (bn) jest taki cig (cn), kt�rego n-tym wyrazem jest suma n-tych wyraz�w cig�w (an) i (bn)), (an) - (bn) = (cn), gdzie cn = an - bn dla n " N (r�|nic cig�w (an) i (bn) jest taki cig (cn), kt�rego n-tym wyrazem jest r�|nica n-tych wyraz�w cig�w (an) i (bn)), (an) � (bn) = (cn), gdzie cn = an � bn dla n " N Wprowadzenie do analizy matematycznej 17 (iloczynem cig�w (an) i (bn) jest taki cig (cn), kt�rego n-tym wyrazem jest iloczyn n-tych wyraz�w cig�w (an) i (bn)), an (an):(bn) = (cn), gdzie cn = dla n " N, gdy bn = 0 dla n " N bn (ilorazem cig�w (an) i (bn) jest taki cig (cn), kt�rego n-tym wyrazem jest iloraz n-tych wyraz�w cig�w (an) i (bn)), a � (an) = (cn), gdzie cn = a � an dla n " N (iloczynem cigu (an) przez liczb a jest taki cig (cn), kt�rego n-tym wyrazem jest iloczyn n-tego wyrazu cigu (an) i liczby a). Zwykle dziaBania algebraiczne na cigach zapisujemy kr�tko w postaci: (an) + (bn) = (an + bn), (an) - (bn) = (an - bn) , (an) � (bn) = (an � bn) , an (an):(bn) = , bn a � (an) = (a � an). PrzykBad 4.6 Wyznaczymy iloczyn cig�w 4n2 + 1 i (3n + 2). Je[li oznaczymy te cigi odpowiednio przez (an) i (bn) , to an = 4n2 + 1 dla n " N oraz bn = 3n + 2 dla n " N. Wobec tego iloczynem tych cig�w jest taki cig (cn), |e cn = an � bn = 4n2 + 1 (3n + 2) = = 12n3 + 8n2 + 3n + 2 dla n " N. Zatem 4n2 + 1 � (3n + 2) = 12n3 + 8n2 + 3n + 2 . PrzykBad 4.7 Je[li an = n2 dla n " N i b n = n-1 dla n " N, to: (an) + (bn) = (an + bn) = n2 + n-1 , (an) - (bn) = (an - bn) = n2 - n-1 , (an) � (bn) = (anb n) = n2 � n-1 = (n) , an n2 (an):(bn) = = = n3 , bn n-1 bn n-1 (bn):(an) = = = n-3 , an n2 5 � (an) = (5 � an) = 5n2 , 7 � (bn) = (7 � bn) = 7n-1 . C. Monotoniczno[ cigu Jak wiemy, ka|dy cig jest funkcj okre[lon na zbiorze N o warto[ciach rzeczywistych. Mo|emy wic m�wi o monotoniczno[ci cigu, czyli o tym |e cig jest rosncy lub malejcy. PrzykBad 4.8 Funkcja f okre[lona wzorem f (x) = 5x + 7 dla x " R jest funkcj rosnc. Wobec tego funkcja f rozpatrywana na zbiorze N, a wic cig (5n + 7), jest te| funkcj rosnc. Wyra|amy to inaczej m�wic, |e cig (5n + 7) jest cigiem rosncym. PrzykBad 4.9 Funkcja f okre[lona wzorem f (x) = x2 + 2x dla x " R 18 Kazimierz CegieBka jest funkcj rosnc na przedziale (-1;+") (rys. 4.2). y 120 100 80 60 40 20 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Rys. 4.2 Wobec tego cig n2 + 2n jest cigiem rosncym, gdy| zbi�r liczb naturalnych zawiera si w przedziale (-1;+"). Okazuje si, |e monotoniczno[ cigu mo|na bada, korzystajc tylko z jego wyraz�w. Twierdzenie 4.1. a) Cig (an) jest rosncy wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego n " N mamy an+1 > an. b) Cig (an) jest malejcy wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dego n " N mamy an+1 < an. Dow�d tego twierdzenia pomijamy. PrzykBad 4.10 Korzystajc z twierdzenia 4.1, wyka|emy, |e cig n2 + 2n jest rosncy. Je[li oznaczymy n-ty wyraz tego cigu przez an, to an = n2 + 2n. Wobec tego an+1 = (n + 1)2 + 2 (n + 1) = n2 + 2n + 1 + 2n + 2 = = n2 + 4n + 3. Std an+1 - an = n2 + 4n + 3 - n2 + 2n = 2n + 3. Skoro n " N, to liczba 2n + 3 jest zawsze dodatnia. Zatem an+1 - an > 0 dla n " N, co oznacza, |e cig (an) jest rosncy. PrzykBad 4.11 Zbadamy monotoniczno[ cigu (an) okre[lonego wzorem n 1 an = . 5 Badamy r�|nic midzy wyrazem nastpnym i poprzednim: n+1 n n n 1 1 1 1 1 an+1 - an = - = � - = 5 5 5 5 5 n n 1 1 4 1 = � - 1 = - � . 5 5 5 5 n 4 1 Skoro - � < 0 dla n " N, to 5 5 an+1 - an < 0 dla n " N. Wprowadzenie do analizy matematycznej 19 Zatem cig (an) jest cigiem malejcym. PrzykBad 4.12 Cig (an) okre[lony wzorem an = (-1)n nie jest cigiem ani rosncym, ani cigiem malejcym, gdy| an+1 - an = (-1)n+1 - (-1)n = (-1)n � (-1) - (-1)n = = (-1)n � (-1 - 1) = -2 (-1)n Liczba -2(-1)n nie jest ani dodatnia, ani ujemna (dla n nieparzystego jest liczb dodatni, a dla n parzystego jest liczb ujemn). D. Cig arytmetyczny Cigiem arytmetycznym nazywamy ka|dy cig (an), |e istniej takie liczby rzeczywiste r i b, |e an = rn + b dla n " N. Liczb r nazywamy w�wczas r�|nic cigu arytmetycznego. Pierwszym wyrazem cigu arytmetycznego (an) jest a1 = r + b, std b = a1 - r. Wobec tego an = rn + b = rn + (a1 - r) = a1 + (n - 1)r dla n " N. Zatem, je[li (an) jest cigiem arytmetycznym o r�|nicy r, to (4.1) an = a1 + (n - 1) r dla n " N. Wz�r (4.1) pozwala wic poda dowolny wyraz cigu arytmetycznego, gdy znamy jego wyraz pierwszy i r�|nic. PrzykBad 4.13 Cig (an), gdzie an = 3n + 5 jest cigiem arytmetycznym, kt�rego pierwszym wyrazem jest a1 = 3 � 1 + 5 = 8, za[ r�|nic jest liczba 3 (r = 3). Cig (bn) okre[lony rekurencyjnie b1 = -3 bn+1 - bn = 2 dla n " N jest cigiem arytmetycznym, kt�rego pierwszym wyrazem jest -3 (b1 = -3), za[ r�|nica jest r�wna -2 (r = -2). Wobec tego n-ty wyraz tego cigu jest r�wny bn = b1 + (n - 1) r = -3 + (n - 1) (-2) = -2n - 1 dla n " N. Cig (cn) okre[lony wzorem cn = n2 nie jest cigiem arytmetycznym, gdy| cn+1 - cn = (n + 1)2 - n2 = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1 dla n " N. Zatem r�|nica cn+1 - cn zale|y od liczby n. Cigiem sum cz[ciowych cigu (an) nazywamy cig (Sn) okre[lony rekurencyjnie S1 = a1 Sn+1 = Sn + an+1 dla n " N. Wobec tego S2 = S1+1 = S1 + a1+1 = a1 + a2, S3 = S2+1 = S2 + a3 = (a1 + a2) + a3 = a1 + a2 + a3, S4 = S3+1 = S3 + a4 = (a1 + a2 + a3) + a4 = a1 + a2 + a3 + a4. Zatem Sn jest sum n (n 2) pierwszych wyraz�w cigu (an). W celu uzyskania wzoru na wyraz Sn, zapiszmy wyrazy od a1 do an oraz od an do a1 w dw�ch wierszach. a1 a2 a3 ... an-2 an-1 an an an-1 an-2 ... a3 a2 a1 Korzystajc ze wzoruna n-ty wyraz cigu arytmetycznego (n " N) i dodajc w kolumnach dosta- jemy: 20 Kazimierz CegieBka a1 a1 + r a1 + 2r ... a1+(n-2)r a1+(n-1)r a1+(n-1)r a1+(n-2r) a1+(n-3r) ... a1 + r a1 2a1+(n-1)r 2a1+(n-1)r 2a1+(n-1)r ... 2a1+(n-1)r 2a1+(n-1)r Widzimy, |e w ka|dej kolumnie w ostatni wierszu mamy t sam liczb 2a1 + (n - 1) r, kt�r mo|emy te| zapisa w postaci 2a1 + (n - 1)r = a1 + (a1 + (n - 1)r) = a1 + an. Wobec tego 2 � (a1 + a2 + ... + an) = n � (a1 + an) , czyli a1 + an Sn = � n, 2 a wic a1 + an (4.2) Sn = � n dla n " N. 2 PrzykBad 4.14 Podamy wz�r na sum n kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Kolejne liczby naturalne s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego (an), gdzie an = n dla n " N. Je[li (Sn) jest cigiem sum cz[ciowych tego cigu, to zgodnie ze wzorem (4.2) mamy a1 + an 1 + n 1 Sn = � n = � n = n(n + 1) . 2 2 2 1 Suma kolejnych liczb naturalnych od 1 do n jest r�wna n(n + 1). 2 PrzykBad 4.15 Podamy wz�r na sum n kolejnych naturalnych liczb nieparzystych. Kolejne naturalne liczby nieparzyste s kolejnymi wyrazami cigu arytmetycznego (an) , gdzie an = 2n - 1 dla n " N. Pierwszym wyrazem tego cigu jest a1 = 2 � 1 - 1 = 1, a n-t liczb nieparzyst jest an = 2n - 1. Je[li (Sn) jest cigiem sum cz[ciowych tego cigu, to zgodnie ze wzorem (4.2) mamy a1 + an 1 + (2n - 1) 2n Sn = � n = � n = � n = n2. 2 2 2 Suma n kolejnych liczb nieparzystych poczwszy od liczby 1 jest r�wna n2. Fakt ten ilustruje rysunek 4.3. Rys. 4.3 Z rysunku widzimy, |e je[li do zakreskowanego kwadratu w lewym g�rnym rogu dodamy trzy niezakreskowane kwadraty, to otrzymujemy kwadrat 2 � 2 zBo|onych z 4 kwadrat�w: 1 + 3 = 4 = 22. Je[li nastpnie dodamy 5 kwadrat�w zakreskowanych, to otrzymamy kwadrat o wymiarach 3 � 3 majcy 9 kwadrat�w: 1 + 3 + 5 = 9 = 32. Poni|szy przykBad wyja[nia nazw cig arytmetyczny. PrzykBad 4.16 O cigu (an) wiemy, |e jest on arytmetyczny o r�|nicy r. Wezmy dowolne liczby naturalne k i m takie, |e liczba k - m jest te| liczb naturaln. Obliczymy [redni arytmetyczn wyraz�w ak-m i a + b ak+m. (Przypominamy, |e [redni arytmetyczn liczb a i b jest liczba .) 2 Korzystajc ze wzoru (4.2), mamy Wprowadzenie do analizy matematycznej 21 ak-m + ak+m (a1 + (k - m - 1) r) + (a1 + (k + m - 1)r) = = 2 2 2a1 + 2 (k - 1)r = = a1 + (k - 1)r = ak. 2 Zatem [rednia arytmetyczna wyraz�w ak-m i ak+m jest wyrazem ak. W szczeg�lno[ci, gdy m = 1 mamy ak-1 + ak+1 ak = dla k " N i k 2. 2 E. Cig geometryczny PrzykBad 4.17 Rozwa|my cig (an) okre[lony wzorem an = abn dla n " N gdzie a i b s ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Je[li a = 0 lub b = 0, to an = 0 dla n " N i cig (an) jest cigiem staBym. Je[li a,b " R\ {0}, to an+1 abn+1 = = b dla n " N, an abn czyli an+1 = anb dla n " N. Zatem w ka|dym przypadku an+1 = anb dla n " N. Cig (an) okre[lony rekurencyjnie a1 = a an+1 = anq dla n " N, gdzie a i q s ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy cigiem geometrycznym o wyrazie pier- wszym r�wnym a i ilorazie r�wnym q. W przypadku, gdy wyrazy cigu s r�|ne od zera, to r�wno[ an+1 = anq dla n " N jest an+1 r�wnowa|na r�wno[ci = q dla n " N. Zatem w tym przypadku iloraz wyrazu nastpnego przez an poprzedni tego cigu jest r�wny q. Wyja[nia to, dlaczego w definicji cigu geometrycznego mowa jest o ilorazie. Z okre[lenia rekurencyjnego otrzymujemy: a2 = a1q = aq, a3 = a2q = (aq) q = aq2, a4 = a3q = aq2 q = aq3, a5 = a4q = aq3 q = aq4 i og�lnie (4.3) an = aqn-1 dla n " N i n 2. Wobec tego cig okre[lony w przykBadzie 4.17 jest cigiem geometrycznym o wyrazie pierwszym r�wnym ab i ilorazie b. W przypadku a = 0 wszystkie wyrazy cigu geometrycznego (an) s zerami. Jest to cig staBy. Ilo- razem tego cigu (liczba q) mo|e by ka|da liczba rzeczywista. Jest to jednocze[nie cig arytmetyczny o wyrazie pierwszym 0 i r�|nicy r�wnej 0. W przypadku q = 0 wszystkie wyrazy cigu geometrycznego (an), poczwszy od wyrazu drugiego, s zerami. Wyraz pierwszy mo|e by liczb r�|n od zera, ale nie musi. W przypadku, gdy q = 1 wszystkie wyrazy s r�wne wyrazowi a (wyrazowi pierwszemu). PrzykBad 4.18 Podamy wz�r na n-ty wyraz cigu sum cz[ciowych cigu geometrycznego (an), gdy an = a dla n " N. Cig ten jest cigiem staBym. Wobec tego jest te| cigiem arytmetycznym o r�|nicy 0 i na mocy wzoru (4.2) mamy 22 Kazimierz CegieBka a1 + an a + a Sn = � n = � n = na dla n " N. 2 2 PrzykBad 4.19 Podamy wz�r na n-ty wyraz cigu sum cz[ciowych cigu geometrycznego (an) o ilorazie r�|nym od 1. Je[li q = 0, to wtedy wszystkie wyrazy cigu geometrycznego (an), poczwszy od drugiego, s r�wne 0. Zatem Sn = a1 dla n " N Je[li iloraz cigu jest r�|ny od 0 i 1, to: 1 - q S1 = a1 = a1 , 1 - q 1 - q2 S2 = S1 + a2 = a1 + a1q = a1 (1 - q) = a1 , 1 - q 1 - q2 1 - q2 1 - q2 + q2 - q3 1 - q3 S3 = S2 + a3 = a1 + a1q2 = a1 + q2 = a1 � = a1 , 1 - q 1 - q 1 - q 1 - q 1 - q3 1 - q3 1 - q3 + q3 - q4 1 - q4 S4 = S3 + a4 = a1 + a1q3 = a1 + q3 = a1 = a1 1 - q 1 - q 1 - q 1 - q i og�lnie 1 - qn Sn = a1 dla n " N. 1 - q Uwzgldniajc poprzedni przykBad otrzymujemy nastpujcy wz�r na n-ty wyraz cigu sum cz[- ciowych (Sn)��gu geometrycznego (an) o ilo-razieq: ci �� na1, gdy q = 1 �� a1, gdy q = 0 (4.4) Sn = 1 �� - qn �� a1 , gdy q " R\ {0, 1}. 1 - q PrzykBad 4.20 O cigu (an) wiemy, |e jest on geometryczny o ilorazie q. Wezmy dowolne liczby naturalne k i m takie, |e liczba k - m jest te| liczb naturaln. Obliczymy iloczyn wyraz�w ak-m i ak+m. Korzystajc ze wzoru (1), mamy ak-m � ak+m = a1qk-m-1 a1qk+m-1 = a2q2k-2 = a2q2(k-1) = a1qk-1 2 = a2. 1 1 k " Przypominamy, |e je[li liczby a i b s dodatnie, to liczb ab nazywamy [redni geometryczn liczb a i b. Wobec tego, je[li wszystkie wyrazy cigu geometrycznego (an) s dodatnie, to wyraz ak jest [redni geometryczn wyraz�w ak-m i ak+m dla takich k,m " N, |e k - m " N. W szczeg�lno[ci, je[li wyrazy cigu geometrycznego s dodatnie, to wyraz ak+1 jest [redni geom- etryczn wyraz�w ak i ak+2 dla k " N. Pytania kontrolne 4.1. Co to jest cig liczbowy? 4.2. Kiedy cig liczbowy jest cigiem arytmetycznym? 4.3. Kiedy cig liczbowy jest cigiem geometrycznym? 4.4. Czy istnieje cig, kt�ry jednocze[nie jest cigiem arytmetycznym i cigiem geometrycznym? 4.5. Co to jest cig sum cz[ciowych cigu liczbowego? Zadania n + 1 2n + 1 4.1. Dane s cigi (an) i (bn), gdzie an = i bn = . Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu: n + 2 2n - 1 an a) (an + bn), c) (bn - an), e) , bn bn b) (an - bn), d) (an � bn), f) . an Wprowadzenie do analizy matematycznej 23 4.2. Zbadaj monotoniczno[ cigu (an) , je[li: 3 a) an = 3n - 1, c) an = 2n2 - 4n + 1, e) an = , n 4n + 1 b) an = n2 + 1, d) an = n2 - 4n + 3, f)an = . 2n - 1 4.3. Zbadaj monotoniczno[ cigu (an), je[li: n a) an = (0, , "1) -n b) an =" 2 - 1 , c) an = n2 + 1" n, - d) an = 1 - n + n2 + 2. 4.4. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu arytmetycznego (an) o r�|nicy r, je[li: a) a1 = 2 i r = 3, b) a1 = -2 i r = -1, c) a1 = 4 i a2 = 5, d) a4 = 8 i a5 = 7, e) a5 = 14 i a13 = 6. 4.5. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu arytmetycznego (an) o cigu sum cz[ciowych (Sn) i r�|nicy r, je[li: a) a1 = 8 i S3 = 33, b) r = -1 i S4 = 22, c) S3 = 3 i S6 = 15, d) a1 = 5 i an+1 = an + 2 dla n " N, e) a2 = -3 i an+1 = an - 3 dla n " N. 4.6. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu sum cz[ciowych cigu (an), je[li: a) an = 3, b) an = 3n - 1, c) an = -4n + 3, d) a1 = 2 i an+1 - an = 4 dla n " N, e) a5 = 1 i an+1 - an = 1 dla n " N. 4.7. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu geometrycznego (an) o ilorazie q, je[li: a) a1 = 3 i q = 1, b) a1 = 4 i q = -1, 1 c) a1 = 1 i q = , 2 d) a3 = 81 i a5 = 9, e) a2 = 9 i a4 = 81. 4.8. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu geometrycznego (an) o cigu sum cz[ciowych (Sn) i ilorazie q, je[li: a) a3 = 9 i S3 = 7, b) q = -3 i S3 = 7, c) S3 = 7, S5 = 31 i q > 0, d) S3 = 3, S6 = 6 i q " N, e) a1 = 5 i Sn+1 = 2Sn dla n " N. 4.9. Podaj wz�r na n-ty wyraz cigu sum cz[ciowych cigu (an), je[li: a) an = 2 � 3n, b) an = (-2)n, c) an = 2 i an+1 = 3an dla n " N, d) an = n-1(n + 1)-1. 24 Kazimierz CegieBka 4.10. Oblicz: 2 3 10 1 1 1 1 a) 1 + + + + ... + , 2 2 3 2 2 3 6 1 1 1 1 b) 1 + + + + ... + , 3 3 3 3 2 3 6 1 1 1 1 c) 1 + + + + ... + , 4 4 4 4 2 3 6 1 1 1 1 d) 1 + + + + ... + . 5 5 5 5 Odpowiedzi 4n2 + 6n + 1 -4n - 3 4.1. a) an + bn = . b) an - bn = . 2n2 + 3n - 2 2n2 + 3n - 2 4n + 3 2n2 + 3n + 1 an 2n2 + n - 1 bn 2n2 + 3n + 1 c) bn - an = . d) an � bn = . e) = . f) = . 2n2 + 3n - 2 2n2 + 3n - 2 bn 2n2 + 3n + 1 an 2n2 + n - 1 4.2 a) Cig rosncy. b) Cig rosncy. c) Cig rosncy. d) Cig ani rosncy, ani malejcy. e) Cig malejcy. f) Cig malejcy. 4.3. a) Cig malejcy .b) Cig rosncy. c) Cig malejcy. d) Cig malejcy. 4.4. a) an = 3n - 1. b) an = -n - 1. c) an = n + 3. d) an = -n + 12. e) an = -n + 19. 4.5. a) an = 3n + 5, b) an = -n + 8. c) an = n - 1. d) an = 2n + 3. e) an = -3n + 3. 3 1 1 7 4.6. a) Sn = 3n, b) Sn = n2 + n. c) Sn = -2n2 + n. d) Sn = 2n2. e) Sn = n2 - n. 2 2 2 2 n n-1 n-1 1 1 1 4.7. a) an = 3. b) an = 4 � (-1)n, c) an = . d) an = 729 � lub an = 729 � - . 2 3 3 e) an = 3n lub an = (-1)n-1 � 3n. n-1 3 4.8. a) an = (-3)n-1 lub an = 4 � - . b) an = (-3)n-1. c) an = 2n-1. d) an = 1. 2 e) an = 5 � 2n-1. 1 2 n 4.9. a) Sn = 3n+1 - 3. b) Sn = (-2)n+1 - . c) Sn = 3n - 1. d) Sn = . 3 3 n + 1 2047 1093 5461 19 531 4.10. a) . b) . c) . d) . 1024 729 4096 15 625 5. Cigi liczbowe zbie|ne A. Granica cigu PrzykBad 5.1 Rozwa|my cig (an) okre[lony wzorem n + 1 an = dla n " N. n Kolejnymi wyrazami tego cigu s liczby: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2, , , , , , , , , ,... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jest to cig malejcy, gdy| n + 1 n 1 1 an = = + = 1 + , n n n n 1 a ze wzrostem n uBamek staje si co raz mniejszy. Wezmy liczb dodatni � i rozwa|my przedziaB n otwarty (1 - �;1 + �). W�wczas: 1 1 3 dla � = mamy przedziaB ; , do kt�rego nale| wszystkie wyrazy cigu (an) z wyjtkiem 2 2 2 3 a1 = 2 i a2 = , 2 Wprowadzenie do analizy matematycznej 25 1 9 11 dla � = mamy przedziaB ; , do kt�rego nale| wszystkie wyrazy cigu (an) z wyjtkiem: 10 10 10 3 11 a1 = 2, a2 = , ... , a10 = , 2 10 1 99 101 dla � = mamy przedziaB ; , do kt�rego nale| wszystkie wyrazy cigu (an) 100 100 100 3 101 z wyjtkiem: a1 = 2, a2 = , ... , a100 = . 2 100 Dla uproszczenia wypowiedzi przyjmujemy nastpujc umow: Zamiast m�wi, |e tylko skoDcze- nie wiele wyraz�w cigu (an) nie ma wBasno[ci W, bdziemy m�wili: prawie wszystkie wyrazy cigu (an) maj wBasno[ W. PrzedziaB (g - �; g + �), gdzie g jest dan liczb rzeczywist, za[ � jest dan liczb dodatni, nazywamy otoczeniem punktu (liczby g) g o promieniu � (rys. 5.1). Rys. 5.1 n + 1 W my[l tej umowy, mo|emy powiedzie, |e prawie wszystkie wyrazy cigu nale| do n 1 1 1 otoczeD punktu 1 (liczby 1) o promieniu , i . 2 10 100 n + 1 Wyka|emy, |e prawie wszystkie wyrazy cigu nale| do otocze-nia punktu 1 o dowolnym n promieniu �. W tym celu rozwi|emy nier�wno[ n + 1 1 - � < < 1 + � n z niewiadom n, gdzie � jest liczb dodatni. PrzeksztaBcajc r�wnowa|nie nier�wno[ otrzymujemy kolejno: �� 1 1 �� 1 - � < 1 + -� < 1 n n n > 1 1 �� 1 + � > 1 + , � > , n n 1 (nier�wno[ -� < jest speBniona przez ka|d liczb naturaln, gdy| � jest liczb dodatni). n n + 1 Do otoczenia punktu 1 o promieniu � nale| wic prawie wszystkie wyrazy cigu n 1 (z wyjtkiem wyraz�w ak, gdzie k " 1; ). � PrzykBad 5.2 Dany jest cig (an) okre[lony wzorem 1 + (-1)n an = dla n " N. n Wyka|emy, |e prawie wszystkie wyrazy tego cigu nale| do ka|dego otoczenia punktu 0, czyli do przedziaBu (-�;�), gdzie � jest dowoln liczb dodatni. W tym celu rozwizujemy nier�wno[ (z niewiadom n) 1 + (-1)n -� < < �. n Je[li n jest liczb nieparzyst, to (-1)n = -1 i nier�wno[ ta przyjmuje posta 0 -� < < �. n Nier�wno[ ta jest speBniona przez ka|d liczb nieparzyst n. Je[li n jest liczba parzyst, to (-1)n = 1 i nier�wno[ 1 + (-1)n -� < < � n 26 Kazimierz CegieBka 2 2 przyjmuje posta -� < < �, kt�ra jest r�wnowa|na nier�wno[ci n > . n � Zatem do przedziaBu (-�; �) nale| prawie wszystkie wyrazy cigu 1 + (-1)n 2 (z wyjtkiem tych wyraz�w ak, kt�rych k jest liczb parzyst i k " 1; ). n � Liczb g nazywamy granic cigu liczbowego (an) wtedy i tylko wtedy, gdy do ka|dego otoczenia liczby g nale| prawie wszystkie wyrazy tego cigu. Je[li liczba g jest granica cigu (an), to fakt ten zapisujemy w postaci lim an = g lub te| an -�! g n�!" i m�wimy r�wnie|, |e cig (an) jest zbie|ny do granicy g (do liczby g). Uwaga. Limes w jzyku BaciDskim oznacza granic. Std skr�t lim. Wjzyku polskim mamy te| znaczeniowo bliskie sBowo limit. Rozwa|ania z przykBad�w 5.1 i 5.2 mo|emy wic zapisa kr�tko: n + 1 n + 1 lim = 1 lub te| -�! 1, n�!" n n 1 + (-1)n 1 + (-1)n lim = 0 lub te| -�! 0. n�!" n n PrzykBad 5.3 Wyka|emy, |e cig staBy (a), gdzie a jest dan liczb rzeczywist, jest cigiem zbie|nym do liczby a. Mamy wic wykaza, |e dla ka|dego otoczenia liczby a, czyli przedziaBu (a - �;a + �) , gdzie � jest dowoln liczb dodatni, nale| prawie wszystkie wyrazy cigu (a). Jest to prawda, gdy| do przedziaBu tego nale|y liczba a, bez wzgldu na liczb �. Tu wszystkie wyrazy cigu (a) nale| do ka|dego otoczenia punktu a. Zatem cig staBy (a) jest zbie|ny do a: lim a = a lub a -�! a. n�!" PrzykBad 5.4 Wyka|emy, |e cig (an) jest zbie|ny do 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cig (|an|) jest zbie|ny do 0. Otoczeniem liczby 0 o promieniu � jest przedziaB (-�;�) . PrzedziaB ten jest symetryczny wzgldem punktu 0 (liczby 0), tzn. liczba x nale|y do tego przedziaBu wtedy i tylko wtedy, gdy liczba -x (liczba przeciwna do liczby x) nale|y do tego przedziaBu (rys. 5.2). Rys. 5.2 Zatem x " (-�; �) wtedy i tylko wtedy, gdy |x| " (-�;�). ZaB�|my najpierw, |e cig (an) jest zbie|ny do 0. Oznacza to, |e dla dowolnej liczby dodatniej � prawie wszystkie wyrazy cigu (an) nale| do przedziaBu (-�;�). Wobec tego, na mocy symetryczno[ci przedziaBu (-�;�), do przedziaBu tego nale| te| prawie wszystkie wyrazy cigu (|an|), czyli cig (|an|) jest zbie|ny do 0. ZaB�|my teraz, |e cig (|an|) jest zbie|ny do 0. Wobec tego dla dowolnej liczby dodatniej � prawie wszystkie wyrazy cigu (|an|) nale| do przedziaBu (-�;�). Z symetryczno[ci wzgldem 0 przedziaBu (-�; �) otrzymujemy, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (an) nale| do przedziaBu (-�; �) . Oznacza to, |e cig (an) jest zbie|ny do 0. PrzykBad 5.5 Wyka|emy, |e cig (an) jest zbie|ny do liczby g wtedy i tylko wtedy, gdy cig (an - g) jest zbie|ny do 0. Nier�wno[ g - � < an < g + �, gdzie � jest liczb dodatni, jest r�wnowa|na nier�wno[ci |an - g| < �. Wobec warunek, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (an) nale| do przedziaBu (g - �;g + �) jest r�wnowa|ny, |e prawie wszystkie wyrazy cigu |an - g| nale| do przedziaBu (-�; �) . Wobec tego zbie|no[ cigu (an) do liczby g jest r�wnowa|na zbie|no[ci cigu (|an - g|) do liczby 0. Z przykBadu 5.4 otrzymujemy, |e cig (an) jest zbie|ny do liczby g wtedy i tylko wtedy, gdy cig (an - g) jest zbie|ny do liczby 0. Wprowadzenie do analizy matematycznej 27 Dlatego te| przy badaniu granicy cigu (an) zamiast rozwizywa nier�wno[ g - � < an < g + � rozwizujemy niejednokrotnie nier�wno[ r�wnowa|n |an - g| < �. Fakt, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (an) nale| do przedziaBu (g - �; g + �) mo|na wypowiedzie te| nastpujco: istnieje taka liczba rzeczywista N, |e je[li n > N, to an " (g - �;g + �), czyli istnieje taka liczba rzeczywista N, |e |an - g| < � dla n > N. PrzykBad 5.6 (-1)n Wyka|emy, |e lim = 0. n�!" 3n + 1 (-1)n Rozwa|amy nier�wno[ - 0 < �, gdzie � jest dowoln liczb rzeczywist. PrzeksztaBcajc 3n + 1 t nier�wno[ r�wnowa|nie otrzymujemy kolejno 1 - 1 (-1)n 1 1 � < �, < �, 3n + 1 > , n > . 3n + 1 3n + 1 � 3 (-1)n Std odczytujemy, |e prawie wszystkie wyrazy cigu nale| do dowolnego otoczenia 3n + 1 punktu 0, co mieli[my wykaza. B. WBasno[ci cig�w zbie|nych Twierdzenie 5.1. Cig zbie|ny nie mo|e mie dw�ch r�|nych granic. D . Przypu[my, |e istnieje cig (an) zbie|ny do dw�ch granic g1 i g2. ZaB�|my, |e g1 < g2 1 i przyjmijmy � = (g2 - g1) . 3 Cz[ wsp�lna przedziaB�w (g1 - �;g1 + �) i (g2 - �; g2 + �) jest zbiorem pustym (rys. 5.3), poniewa| Rys. 5.3 1 1 1 g1 - � = g1 + (g2 - g1) = (2g1 + g2) < (g1 + 2g2) = 3 3 3 1 = g2 - (g2 - g1) = g2 - �. 3 Zatem tylko do jednego z tych przedziaB�w mog nale|e prawie wszystkie wyrazy cigu (an). Oznacza to, |e tylko jedna z liczb g1 lub g2 mo|e by granic cigu (an), co koDczy dow�d. PrzykBad 5.7 Zbadamy zbie|no[ cigu ((-1)n). Wyrazami tego cigu s liczby -1 (dla n nieparzystych) i 1 (dla 3 1 n parzystych). Wobec tego do przedziaBu np. - ;- , kt�ry jest otoczeniem liczby -1 o promieniu 2 2 1 1 3 nale|y nieskoDczenie wiele wyraz�w tego cigu oraz do przedziaBu ; , kt�ry jest otoczeniem 2 2 2 1 liczby 1 o promieniu te| nale|y nieskoDczenie wiele wyraz�w tego cigu. Poniewa| cig mo|e mie 2 co najwy|ej jedn granic (twierdzenie 5.1), wic cig ten nie jest zbie|ny Twierdzenie 5.2. Cig zbie|ny jest cigiem ograniczonym. D . Je[li cig (an) jest zbie|ny do liczy g,to prawie wszystkie jego wyrazy nale| do otoczenia liczby g o promieniu 1. Istnieje wic taka liczba n0 |e dla ka|dego naturalnego n > n0 wyrazy cigu (an) speBniaj nier�wno[ g - 1 < an < g + 1. Tylko co najwy|ej wyrazy: a1,a2,...,a[n0] nie speBniaj tej nier�wno[ci ([n0] oznacza cz[ caBkowit liczby n0). W[r�d nich jest wyraz najmniejszy oznaczmy go przez ak i wyraz najwikszy oznaczmy 28 Kazimierz CegieBka go przez am (liczby ak i am mog by r�wne). Wobec tego wszystkie wyrazy cigu (an) speBniaj nier�wno[ min(ak,g - 1) an max (am,g + 1), co oznacza, |e cig (an) jest ograniczony, co koDczy dow�d. a, gdy a b (Przypominamy, |e min (a,b) = b, gdy b a, a, gdy a b max(a,b) = ) b, gdy b a. PrzykBad 5.8 Zbadamy zbie|no[ cigu (n)(wyrazami tego cigu s kolejne liczby naturalne). Dla dowolnej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy cigu (n) s wiksze od liczby M. Nier�wno[ n > M speBnia ka|da liczba naturalna wiksza od M. Oznacza to, |e cig (n) jest cigiem nieograniczonym. Gdyby cig (n) byB zbie|ny, to musiaBby by cigiem ograniczonym, co jest niemo|liwe. Zatem cig (n) nie jest cigiem zbie|nym. Twierdzenie 5.3 Je[li cig (an) jest zbie|ny do liczby a i cig (bn) jest zbie|ny do liczby b, to: a) cig (an + bn) jest zbie|ny i lim (an + bn) = a + b n�!" (granica sumy cig�w zbie|nych jest r�wna sumie granic), b) cig (an - bn) jest zbie|ny i lim (an - bn) = a - b n�!" (granica r�|nicy cig�w zbie|nych jest r�wna r�|nicy granic), c) cig (anbn) jest zbie|ny i lim (anbn) = ab n�!" (granica iloczynu cig�w zbie|nych jest r�wna iloczynowi granic), an an a d) cig , o ile wszystkie wyrazy cigu (bn) s r�|ne od 0 i b = 0, jest zbie|ny i lim = n�!" bn bn b (granica ilorazu cig�w zbie|nych jest r�wna ilorazowi granic), e) cig (kan) , gdzie k jest dana liczb rzeczywist, jest zbie|ny oraz lim (kan) = ka. n�!" D . Ograniczymy si tylko do dowodu punktu a). Wezmy dowoln liczb dodatni �. Nale|y wykaza, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (an + bn) nale| do otoczenia liczby a + b o promieniu �. 1 Z zaBo|enia o zbie|no[ci cig�w (an) i (bn) wynika, |e do otoczenia liczby a o promieniu � nale| 2 1 prawie wszystkie wyrazy cig (an) i do otoczenia liczby b o promieniu � nale| prawie wszystkie 2 wyrazy cigu (bn) . Istniej zatem takie liczby rzeczywiste N1 i N2, |e 1 |an - a| < � dla n > N1 2 i 1 |bn - b| < � dla n > N2. 2 Z wBasno[ci warto[ci bezwzgldnej mamy |(an + bn) - (a + b)| = |(an - a) + (bn - b)| |an - a| + |bn - b| . Wobec tego |(an + bn) - (a + b)| |an - a| + |bn - b| < 1 1 < � + � = � dla n > max(N1,N2). 2 2 Oznacza to, |e do otoczenia liczby a + b o promieniu � nale| prawie wszystkie wyrazy cigu (an + bn), czyli cig (an + bn) jest zbie|ny i jego granic jest liczba a + b. Wprowadzenie do analizy matematycznej 29 PrzykBad 5.9 1 W przykBadzie 5.1 wykazali[my, |e lim 1 + = 1, w przykBadzie 5.3, |e lim a = a, w szczeg�l- n�!" n�!" n 1 no[ci lim 1 = 1. Wobec tego z twierdzenia o granicy r�|nicy cig�w otrzymujemy, |e cig 1 + - 1 , n�!" n 1 1 czyli cig jest zbie|ny do liczby 0: lim = 0. n�!" n n PrzykBad 5.10 Korzystajc z twierdzenia 5.3 i przykBadu 5.7, otrzymujemy: a 1 1 lim = lim a � = lim a � lim = a � 0 = 0, n�!" n�!" n�!" n�!" n n n a 1 a 1 a lim = lim � = lim � lim = 0 � 0 = 0, n�!" n�!" n�!" n�!" n2 n n n n 4 7 4 7 lim (6 + - ) = lim 6 + lim - lim = 6 + 0 - 0 = 6, n�!" n�!" n�!" n�!" n n2 n n2 2n2 3n 1 3 1 + - 2 + - 2n2 + 3n - 1 n2 n2 n2 = lim n n2 = lim = lim 3 5 n�!" n�!" n�!" n2 + 4n + 5 n2 3n 5 1 + + + + n n2 n2 n2 n2 2 + 0 - 0 = = 2. 1 + 0 + 0 Twierdzenie 5.4 (twierdzenie o trzech cigach). Je[li cigi liczbowe (an) i (cn) s zbie|ne do liczby g i istnieje taka liczba rzeczywista m0, |e an bn cn dla n > m0, to cig (cn) jest r�wnie| zbie|ny do liczby g. D . Zgodnie z definicj granicy cigu, dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej � istnieje taka liczba N1, |e g - � < an< g + � dla n > N1, oraz istnieje taka liczba rzeczywista N2, |e g - � < cn < g + �. Wobec tego, je[li n > max (N1, N2), to g - � < an bn cn < g + �, czyli g - � < bn < g + � dla n > max(N1,N2) . Oznacza to, |e prawie wszystkie wyrazy cigu (bn) nale| do przedziaBu (g - �;g + �), a wic cig (cn) jest zbie|ny do liczby g, co nale|aBo wykaza. PrzykBad 5.11 Wyka|emy, |e" wszystkie wyrazy cigu" s nieujemne i cig (an) jest zbie|ny do dodatniej je[li (an) liczby a, to cig an jest zbie|ny do liczby a. W dowodzie bdziemy korzysta z przykBad�w 5.4 i 5.5. Z wBasno[ci warto[ci bezwzgldnej otrzymujemy kolejno: " " " " " an - a an + a " " an - a = " = an + a " " " " an - a an + a |an - a| " = " = " . " an + a an + a Wobec tego " " |an - a| |an - a| " " an - a = " dla n " N an + a a a std 30 Kazimierz CegieBka " " 1 " 0 an - a |an - a| dla n " N. a Poniewa| cig (an) jest zbie|ny do liczby a, wic cig (|an - a|) jest zbie|ny do 0, a std 1 " cig |an - a| jest te| zbie|ny do 0. Zatem z twierdzenia o trzech cigach wynika, |e cig a " " 1 " an - a jest zbie|ny do 0, gdy| lim 0 = 0 i lim |an - a| = 0. Z przykBad�w 5.4 i 5.5 n�!" n�!" a " " wynika, |e cig an jest zbie|ny do a. C. Szereg geometryczny Cig (Sn) sum cz[ciowych cigu (an) nazywamy szeregiem odpowiadajcym cigowi (an) . Poniewa| Sn = a1 +a2 +...+an dla n " N (przyjmujemy, |e S1 = a1), wic na oznaczenie szeregu liczbowego odpowiadajcego cigowi (an) u|ywamy jednego z zapis�w a1 + a2 + a3 + ... + an + ..., a1 + a2 + a3 + ..., lub " an. n=1 " M�wimy te|, |e liczby an s wyrazami szeregu an. n=1 Szereg odpowiadajcy cigowi geometrycznemu nazywamy szeregiem geometrycznym. Je[li mamy cig geometryczny (an) o ilorazie q = 1, to 1 - qn Sn = a1 � dla n " N. 1 - q Twierdzenie 5.5. Je[li q = 1, to cig (qn) jest zbie|ny wtedy i tylko wtedy, gdy q " (-1;1) i w�wczas lim qn = 0. n�!" Dow�d tego twierdzenia pomijamy. Twierdzenie 5.6. Je[li cig (an) jest cigiem geometrycznym o ilorazie q i q " (-1; 1), to cig (Sn) sum cz[ciowych cigu (an) jest zbie|ny oraz a1 lim Sn = . n�!" - q 1 D . Z twierdzenia 5.5 wiemy, |e z zaBo|enia o ilorazie cigu geometrycznego mamy lim qn = 0. n�!" Wobec tego z twierdzenia 5.3 otrzymujemy 1 - qn 1 - 0 a1 lim Sn = lim a1 � = a1 � = , n�!" n�!" 1 - q q - 1 1 - q co nale|aBo wykaza. Je[li (an) jest cigiem geometrycznym o ilorazie q i q " (-1;1), to u|ywamy r�wnie| zapisu a1 (5.1) a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = 1 - q lub a1 a1 + a2 + a3 + ... = 1 - q a1 a liczb nazywamy sum szeregu geometrycznego (an) . 1 - q PrzykBad 5.12 Obliczymy sum n-1 1 1 1 1 + + + ... + + ..., 2 4 2 n-1 1 w kt�rej wyrazami s kolejne wyrazy cigu geometrycznego . 2 Wprowadzenie do analizy matematycznej 31 1 1 Pierwszym wyrazem tego cigu jest liczba 1 (a1 = 1), a ilorazem jest liczba (q = ). Zgodnie 2 2 ze wzorem (5.1) mamy n-1 1 1 1 1 1 + + + ... + + ... = = 2. 1 2 4 2 1 - 2 PrzykBad 5.13 Obliczymy sum szeregu geometrycznego 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... kt�ry odpowiada cigowi geometrycznemu 3 � 10n-1 . Pierwszy wyrazem tego cigu jest liczba 0,3 (a1 = 0,3), a ilorazem jest liczba 0,1 (q = 0, 1). W my[l wzoru (5.1) mamy 0, 3 1 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = = . 1 - 0,1 3 1 Rozwinicie dziesitne liczby jest nieskoDczone okresowe i ma posta 0,(3). Wobec tego 3 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 0, (3) . Pytania kontrolne 1. Co to jest granica cigu zbie|nego? 2. Czy cig zbie|ny jest cigiem ograniczonym? 3. Jak brzmi twierdzenie o trzech cigach? 4. Co to jest szereg geometryczny? 5. Czy ka|dy szereg geometryczny jest zbie|ny? Zadania 5.1. Korzystajc z definicji cigu zbie|nego wyka|, |e : 1 " a) lim = 0, n�!" n n + 4 b) lim = 1, n�!" n + 3 n2 + 1 1 c) lim = , n�!" 2n2 2 n3 + 1 1 d) lim = . n�!" 3n3 3 5.2. Oblicz granic cigu (an), je[li: 5n + 7 a) an = , 3n - 1 2 - 3n b) an = , 2n - 1 2n2 + 3n - 1 c) an = , n2 + n + 7 3n + 1 d) an = , 2n2 + n + 1 n2 - 1 e) an = , 3n3 + n2 + 2 n + 1 f) an = 1 - . n + 2 5.3. Oblicz granic cigu (an), je[li: 1 + 2 + 3 + ... + n a) an = , (2n - 1)(n + 3) (3n + 2) (4n - 1) b) an = , 2 + 4 + ... + 2n 32 Kazimierz CegieBka 1 + 3 + 6 + ... + 3n c) an = , n2 + 3 5 + 10 + 15 + ... + 5n d) an = , 2n3 + n2 + 1 7 + 14 + 21 + ... + 7n e) an = , 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) 2n - 1 f) an = 3 - . 1 + 2 + 3 + ... + n 5.4. Oblicz granic cigu (an), je[li: " 2 a) an = + 1 -" n, "n b) an = n + 8 -" n + 3, c) an = 2 + 9n2 + 2, "-23n d) an = n + 3n - n. Odpowiedzi 5 3 5.2. a) . b) - . c) 2. d) 0, e) 0. f) 0. 3 2 1 3 7 5.3. a) . b) 12. c) . d) 0. e) . f) 3. 4 2 2 3 5.4.a) 0. b) 0. c) 2. d) . 2 Literatura [1] J. Bana[, S. Wdrychowicz, Zbi�r zadaD z analizy matematycznej, WNT, wyd. III, Warszawa 1996 [2] K. CegieBka, Matematyka. MateriaBy dla student�w eksternistycznych w Wy|szej Szkole Zarzdza- nia i Marketingu, Wy|sza SzkoBa Zarzdzania i Marketingu, Warszawa 2000 [3] K. CegieBka, J. Przyjemski, Matematyka I. Podrcznik dla I klasy liceum, Juka, wyd. I, Warszawa 2002 [4] K. CegieBka, J. Przyjemski, K. SzymaDski, Matematyka. Podrcznik dla klasy IV liceum oraz klasy IV-V technikum, WSiP, Warszawa wyd.I 1989, wyd. XII 2001 [5] I. DziubiDski, L. Siewierski, Matematyka dla wy|szych szk�B technicznych, t. 1, PWN, wyd.I, Warszawa 1981 [6] M. Grabowski, Analiza matematyczna. Powt�rzenie, wiczenia i zbi�r zadaD, wyd. III, WNT, Warszawa 1997 [7] W. Krysicki, L. WBodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, wyd. XV, PWN, Warszawa 1983 [8] L. Siewierski, wiczenia z analizy matematycznej z zastosowaniami, t. I, wyd. I, PWN, Warszawa 1982 [9] W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wy|szych uczelni technicznych, cz. I.A, wyd. IX, PWN, Warszawa 1998

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WykladSIT Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych(1)
Analiza Matematyczna 2 Zadania
wyklad z analizy matematycznej dla studentow na kierunku automatyka i robotyka agh
analiza matematyczna funkcje wielu zmiennych pwn
,analiza matematyczna 2 3, POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO
,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Krysicki Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach 1 popr
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania I

więcej podobnych podstron