90996

Rozwiązania

Zadanie 3

Obliczamy niezmienniki:

1° = a_x + <r_v + a. -120MPa,

1\ = a_x o_y+a_x a_z + <y_y • o. -T* -T* —    = —4100(MPa)²

/3⁰ = <7, • <7_V • <7. + 2 •    • T_y. • r., - (T_y • r² - <r_T • - a. • r * = -349000 (A4Prt)^ł

Równanie wiekowe:

o* - I?o² + IZ<J -1? = 0

Poszukujemy pierwiastków równania trzeciego stopnia. Równanie postaci:

ar¹ + £.t² +    + d = 0

ma trzy rozwiązania

(.=1,2,3)

przy czym charakter rozwiązania zależy od wartości wyróżnika D:

D = q² + p* ,

gdzie

P =

3ac — b² 9 a²

Jeśli:

D < 0,    to równanie    ma 3 pierwiastki rzeczywiste,

D > 0,    to równanie    ma 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 zespolone,

D = 0,    to równanie    ma 2 pierwiastki rzeczywiste, w tym jeden podwójny.

Przy wyznaczaniu wartości głównych tensora naprężenia wyróżnik D jest zawsze mniejszy od zera. Wówczas dalsze obliczenia przebiegają według następujących wzorów:

r = sgnfe^jpf,    cos(3cu) = ^,

y_x - -Ir cos (O, y₂ - 2rcos(60° - 01), y, = 2rcos(60° + co).

W naszym zadaniu mamy:

p =    ₌ -2961 (MPa)²,

q = j +    = -28500 (MPaf , D = q²+p* = -2,53 • 10'° (MPa)⁶ ,

-7- = —7- = -<T₀ = -40 MPa,    sgn(<y)= +1,

3a 3 r = +1 • ,/|-2967| = 54,47 MPa, cos(3co)=4 = 0,176347 -> co = 26,614° ,