5027720044

Lista 2 -Liczby pierwsze

1.    Korzystając z sita Eratostenesa znajdź wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 100 a 200.

2.    Znajdź:

a)    wszystkie liczby pierwsze pomiędzy 1000 a 1010;

b)    największa liczbę pierwszą poniżej 1000.

3.    Hipoteza Goldbacha głosi, że każda liczba parzysta większa od 4 jest sumą dwu liczb pierwszych.

a)    Sprawdź hipotezę Goldbacha dla liczb parzystych pomiędzy 100 a 120.

b)    Sprawdź ją dla 1000.

c)    Pokaż, że z hipotezy Goldbacha wynika, że każda liczba nieparzysta większa od 5 jest sumą trzech liczb pierwszych.

4.    Analizując dowód Euklidesa wykaż, że n-ta liczba pierwsza spełnia nierówność

p_n < 2²".

Wywnioskuj stąd, ze poniżej 2²" jest przynajmniej n + 1 liczb pierwszych.

5.    Znajdź wszystkie ciągi arytmetyczne postaci p, p+2, p+4 złożone z liczb pierwszych.

6.    Pokaż, że dla dowolnego n istnieje ciąg n kolejnych liczb złożonych.

7.    Znajdź ośmiowyrazowy ciąg liczb pierwszych.

8.    Czy istnieje nieskończony ciąg arytmetyczny złożony z liczb pierwszych?

9. Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci F_n = 2²" + 1.

a)    Znajdź wzór na FqFi...F_u.

b)    Wykaż, że liczby Fermata są parami względnie pierwsze.

c)    Wyprowadź stąd kolejny dowód istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych.

10.    Dokończ poniższy dowód Stieltjesa (1890) istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych.

”Załóżmy, że istnieje tylko skończenie wiele liczb pierwszych p\, p2, ..., p_n- Podzielmy ten zbiór na dwie niepuste części. Niech a będzie iloczynem liczb pierwszych należących do jednej z tych części, b - drugiej. Rozważmy m = a + &....”

11.    Niech p_n oznacza n-ta liczbę pierwszą. Pokaż, że dla nieskończenie wielu n zachodzi nierówność p_n < n².

12.    Czy istnieje 10-wyrazowy ciąg arytmetyczny liczb pierwszych złożony z liczb mniejszych niż 1000?

13.    Ciało nazywamy algebraicznie domkniętym, jeżeli każdy wielomian o współczynnikach z tego ciała różny od stałej ma w nim pierwiastek. Wykaż, że ciało skończone nie może być algebraicznie domknięte.