ÿþP o l a r i z a t i o n s a n d G r o t h e n d i e c k s S t a n d a r d
C o n j e c t u r e s
J . S . M i l n e
M a r c h 2 6 , 2 0 0 1 ; A u g u s t 1 4 , 2 0 0 1 .
A b s t r a c t . W e p r o v e t h a t G r o t h e n d i e c k s H o d g e s t a n d a r d c o n j e c t u r e h o l d s f o r
a b e l i a n v a r i e t i e s i n a r b i t r a r y c h a r a c t e r i s t i c i f t h e H o d g e c o n j e c t u r e h o l d s f o r c o m p l e x
a b e l i a n v a r i e t i e s o f C M - t y p e . F o r a b e l i a n v a r i e t i e s w i t h n o e x o t i c a l g e b r a i c c l a s s e s ,
w e p r o v e t h e H o d g e s t a n d a r d c o n j e c t u r e u n c o n d i t i o n a l l y .
C o n t e n t s
1 . P o l a r i z a t i o n s o n c a t e g o r i e s o f L e f s c h e t z m o t i v e s 3
2 . P o l a r i z a t i o n s o n q u o t i e n t s o f T a n n a k i a n c a t e g o r i e s 7
3 . P o l a r i z a t i o n s o n c a t e g o r i e s o f m o t i v e s o v e r f i n i t e f i e l d s 9
4 . T h e H o d g e s t a n d a r d c o n j e c t u r e 1 0
R e f e r e n c e s 1 5
I n t r o d u c t i o n . I n e x a m i n i n g W e i l s p r o o f s ( W e i l 1 9 4 8 ) o f t h e R i e m a n n h y p o t h e s i s
f o r c u r v e s a n d a b e l i a n v a r i e t i e s o v e r f i n i t e f i e l d s , G r o t h e n d i e c k w a s l e d t o s t a t e t w o
s t a n d a r d c o n j e c t u r e s ( G r o t h e n d i e c k 1 9 6 9 ) , w h i c h i m p l y t h e R i e m a n n h y p o t h e s i s
f o r a l l s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t i e s o v e r a f i n i t e f i e l d , e s s e n t i a l l y b y W e i l s o r i g i n a l a r -
g u m e n t . D e s p i t e D e l i g n e s p r o o f o f t h e R i e m a n n h y p o t h e s i s , t h e s t a n d a r d c o n j e c t u r e s
r e t a i n t h e i r i n t e r e s t f o r t h e t h e o r y o f m o t i v e s .
T h e f i r s t , t h e L e f s c h e t z s t a n d a r d c o n j e c t u r e ( G r o t h e n d i e c k 1 9 6 9 , § 3 ) , s t a t e s t h a t ,
f o r a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y V o v e r a n a l g e b r a i c a l l y c l o s e d f i e l d , t h e o p e r a t o r s ›
r e n d e r i n g c o m m u t a t i v e t h e d i a g r a m s ( 0 d" r d" 2 n = 2 d i m V )
L n - r
H r ( V ) - ’! H 2 n - r ( V )
- -
H"
æø æø
æø› æøL
L n - r + 2
H r - 2 ( V ) - ’! H 2 n - r + 2 ( V )
- - -
H"
P a r t o f t h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n .
1
2 J . S . M I L N E
a r e a l g e b r a i c . H e r e H i s a W e i l c o h o m o l o g y t h e o r y a n d L i s c u p p r o d u c t w i t h t h e c l a s s
o f a s m o o t h h y p e r p l a n e s e c t i o n ( L n - r i s a s s u m e d t o b e a n i s o m o r p h i s m f o r n e" r , a n d
L n - r = ( L r - n ) - 1 f o r n <