ÿþP r o b a b i l i s t y k a
D e f i n i c j e , t w i e r d z e n i a , w Ba s n o [c i , w z o r y
1 . E L E M E N T Y K O M B I N A T O R Y K I
S I L N I A :
D e f i n i c j a . P r z y j m u j e m y
0 ! = 1
n ! = 1 Å" 2 Å". . . Å" ( n - 1 ) Å" n
"
n "N
P E R M U T A C J E b e z p o w t ó r z e D:
D e f i n i c j a . P e r m u t a c j z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o n a z y w a b d z i e m y k a |d y
n - e l e m e n t o w y , r ó |n o w a r t o [c i o w y c i g e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u .
L i c z b w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o o z n a c z a b d z i e m y
s y m b o l e m P n .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a
s i w z o r e m
P n = n !
K O M B I N A C J E b e z p o w t ó r z e D:
k d" n
D e f i n i c j a . K o m b i n a c j k - e l e m e n t o w z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o ( )
n a z y w a b d z i e m y k a |d y k - e l e m e n t o w y p o d z b i ó r t e g o z b i o r u .
L i c z b w s z y s t k i c h k o m b i n a c j i z n - e l e m e n t ó w p o k o z n a c z a b d z i e m y
k
C n
s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h k o m b i n a c j i z n - e l e m e n t ó w p o k w y r a |a s i
w z o r e m
d e f
n
ëø öø
n !
k
C n = = ìø ÷ø
ìøk ÷ø
( n - k ) ! Å"k !
íø øø
W A R I A C J E b e z p o w t ó r z e D:
D e f i n i c j a . W a r i a c j ( b e z p o w t ó r z e D) k - e l e m e n t o w z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o
k d" n
( ) n a z y w a b d z i e m y k a |d y k - e l e m e n t o w y , r ó |n o w a r t o [c i o w y c i g
e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u .
L i c z b w s z y s t k i c h w a r i a c j i ( b e z p o w t ó r z e D) z n - e l e m e n t ó w p o k o z n a c z a
V n k
b d z i e m y s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h w a r i a c j i ( b e z p o w t ó r z e D) z n - e l e m e n t ó w p o
k w y r a |a s i w z o r e m
n !
V n k = .
( n - k ) !
W A R I A C J E z p o w t ó r z e n i a m i :
D e f i n i c j a . W a r i a c j ( z p o w t ó r z e n i a m i ) k - e l e m e n t o w z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o
n a z y w a b d z i e m y k a |d y k - e l e m e n t o w y c i g e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u .
L i c z b w s z y s t k i c h w a r i a c j i ( z p o w t ó r z e n i a m i ) z n - e l e m e n t ó w p o k o z n a c z a
V n k
b d z i e m y s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h w a r i a c j i ( z p o w t ó r z e n i a m i ) z n - e l e m e n t ó w
p o k w y r a |a s i w z o r e m
V n k = n k .
2 . P R A W D O P O D O B I E CS T W O
Z D A R Z E N I A .
N i e c h b d d a n e :
D - d o [w i a d c z e n i e l o s o w e
( r e a l i z a c j a o k r e [l o n e g o z e s p o Bu w a r u n k ó w , w r a z z g ó r y
o k r e [l o n y m z b i o r e m w y n i k ó w )
É1 , É2 , . . . - z d a r z e n i a e l e m e n t a r n e
( e l e m e n t a r n e , w z a j e m n i e w y k l u c z a j c e s i w y n i k i d a n e g o
d o [w i a d c z e n i a )
&! - p r z e s t r z e D z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
( z b i ó r w s z y s t k i c h , w z a j e m n i e w y k l u c z a j c y c h s i w y n i k ó w
d a n e g o d o [w i a d c z e n i a )
A , B , . . . - z d a r z e n i a l o s o w e
( d o w o l n e p o d z b i o r y p r z e s t r z e n i z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h &! )
Z - z b i ó r z d a r z e D l o s o w y c h
( r o d z i n a p o d z b i o r ó w p r z e s t r z e n i z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h &! )
N a z d a r z e n i a c h w y k o n u j e m y d z i a Ba n i a a n a l o g i c z n e j a k n a z b i o r a c h n p .
A *"
*"B - s u m a z d a r z e D A i B t j . z d a r z e n i e s k Ba d a j c e s i z e z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
*"
*"
n a l e |c y c h d o A l u b d o B .
A )"
)"B - i l o c z y n z d a r z e D A i B t j . z d a r z e n i e s k Ba d a j c e s i z e z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
)"
)"
n a l e |c y c h d o A i d o B .
A - z d a r z e n i e p r z e c i w n e t j . z d a r z e n i e s k Ba d a j c e s i z e z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h ,
k t ó r e n i e n a l e | d o A .
P o n a d t o m ó w i m y , |e : A j e s t z d a r z e n i e m n i e m o |l i w y m , g d y A = "
A j e s t z d a r z e n i e m p e w n y m , g d y A = &!.
D E F I N I C J A P R A W D O P O D O B I E CS T W A .
D e f i n i c j a k l a s y c z n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( P i e r r e S i m o n L a p l a c e 1 8 1 2 )
J e |e l i p r z e s t r z e D &! s k Ba d a s i z n ( n < ¶ " ) j e d n a k o w o m o |l i w y c h z d a r z e D
e l e m e n t a r n y c h i z d a r z e n i e A s k Ba d a s i z k z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h , t o l i c z b
k
P ( A ) =
n
n a z y w a m y p r a w d o p o d o b i e D s t w e m z a j [ c i a z d a r z e n i a A .
D e f i n i c j a a k s j o m a t y c z n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( A n d r i e j K o Bm o g o r o w 1 9 3 1 )
N i e c h &! b d z i e p r z e s t r z e n i z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h d o [w i a d c z e n i a l o s o w e g o D ,
Z - j e g o z b i o r e m z d a r z e D l o s o w y c h . P r a w d o p o d o b i e Ds t w e m n a z y w a m y f u n k c j P
p r z y p o r z d k o w u j c k a |d e m u z d a r z e n i u A "Z l i c z b r z e c z y w i s t P ( A ) z g o d n i e z
n a s t p u j c y m i a k s j o m a t a m i :
( a 1 ) D l a k a |d e g o z d a r z e n i a A "Z
P ( A ) e"0
( a 2 ) P r a w d o p o d o b i e Ds t w o z a j [c i a z d a r z e n i a p e w n e g o j e s t r ó w n e 1 , t j .
P ( &!) = 1
( a 3 ) D l a d o w o l n e g o c i g u A 1 , A 2 , . . . p a r a m i r o z Bc z n y c h z d a r z e D z e z b i o r u Z
P ( A 1 *" A 2 *"& ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + &
D l a d o w o l n e g o d o [w i a d c z e n i a l o s o w e g o D m o |n a o k r e [l i
p r z e s t r z e D p r o b a b i l i s t y c z n ( &!, Z , P ) .
E L E M E N T A R N E W AA S N O ZC I P R A W D O P O D O B I E CS T W A
( w 1 ) P ( ") = 0
( w 2 ) A ‚" B Ò! P ( A ) d" P ( B )
( w 3 ) P ( A ) d" 1 d l a k a |d e g o A "Z
( w 4 ) P ( B \ A ) = P ( B ) P ( A )"B )
( w 5 ) P ( A ) = 1 P ( A )
( w 6 ) P ( A *"B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A )"B )
( w 7 ) J e |e l i z d a r z e n i a A 1 , A 2 , . . . , A n s p a r a m i r o z Bc z n e , t o
P ( A 1 *" A 2 *"& *"A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + & + P ( A n )
( w 8 ) J e |e l i p r z e s t r z e D z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h j e s t c o n a j w y |e j p r z e l i c z a l n a
&! = { É1 , É2 , . . . }
i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a p o s z c z e g ó l n y c h z d a r z e D j e d n o e l e m e n t o w y c h
P ( { Éi } ) = p i s p e Bn i a j w a r u n k i
p i = 1 ,
"
p i e" 0 o r a z
i
A = { Éi , Éi , . . . Éi } w y n o s i
t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z a j [c i a z d a r z e n i a
1 2 k
P ( A ) = P ( { Éi } ) + P ( { Éi } ) + . . . P ( { Éi } ) = p i + p i + . . . + p i
1 2 k 1 2 k
( w 9 ) J e |e l i &! j e s t s k o Dc z o n n - e l e m e n t o w p r z e s t r z e n i z d a r z e D
e l e m e n t a r n y c h
&! = { É1 , É2 , . . . , Én }
i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z d a r z e D j e d n o e l e m e n t o w y c h s r ó w n e
1
P ( { É1 } ) = P ( { É2 } ) = . . . = P ( { Én } ) = ,
n
A = { Éi , Éi , . . . Éi }
t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z a j [c i a z d a r z e n i a w y n o s i
1 2 k
k l i c z b a z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h s p r z y j a j p y c h z d a r z e n i u A
P ( A ) = =
n l i c z b a w s z y s t k i c h z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h p r z e s t r z e n i &!
P R A W D O P O D O B I E CS T W O W A R U N K O W E
N i e c h ( &!, Z , P ) b d z i e p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n p e w n e g o d o [w i a d c z e n i a ,
B "Z z a [ d o w o l n y m u s t a l o n y m z d a r z e n i e m t a k i m , |e P ( B ) > 0 .
D e f i n i c j a . P r a w d o p o d o b i e Ds t w e m w a r u n k o w y m P ( A | B ) z a j [c i a z d a r z e n i a
A "Z p o d w a r u n k i e m z a j [c i a z d a r z e n i a B ( P ( B ) > 0 ) n a z y w a m y l i c z b
P ( A )" B )
P ( A B ) =
P ( B )
N I E Z A L E {N O Z Z D A R Z E C
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a A , B " Z s n i e z a l e |n e , g d y
P ( A )"B ) = P ( A ) Å"P ( B ) .
T w i e r d z e n i e . N i e c h P ( B ) > 0 . W ó w c z a s z d a r z e n i a A i B s n i e z a l e |n e
w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y
P ( A | B ) = P ( B ) .
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a A , B , C "Z s n i e z a l e |n e ( z e s p o Bo w o ) j e [l i
k a |d e d w a z n i c h s n i e z a l e |n e o r a z
P ( A )"B )"C ) = P ( A ) Å"P ( B ) Å"P ( C ) .
U w a g a . N i e n a l e |y m y l i p o j :
z d a r z e n i a n i e z a l e |n e z e z d a r z e n i a m i w y k l u c z a j c y m i s i .
T W I E R D Z E N I E O P R A W D O P O D O B I E CS T W I E C A AK O W I T Y M .
W Z Ó R B A Y E S A .
T w i e r d z e n i e ( o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e c a Bk o w i t y m ) .
J e |e l i z d a r z e n i a A 1 , A 2 , . . . , A n "Z s p e Bn i a j w a r u n k i :
( c 1 ) A 1 *". . . *"A n = &!
( c 2 ) A i )" A j = " g d y i `"j ,
( c 3 ) P ( A i ) > 0 d l a k a |d e g o i ,
t o d l a d o w o l n e g o z d a r z e n i a B "Z z a c h o d z i r ó w n o [
P ( B ) = P ( A 1 ) Å" P ( B | A 1 ) + P ( A 2 ) Å" P ( B | A 2 ) + & + P ( A n ) Å" P ( B | A n ) =
n
"P ( A ) Å" P ( B A i )
i
= .
i = 1
T w i e r d z e n i e ( B a y e s a )
J e |e l i z d a r z e n i a A 1 , A 2 , . . . , A n "Z s p e Bn i a j w a r u n k i ( 1 ) - ( 3 ) t w i e r d z e n i a o
p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e c a Bk o w i t y m o r a z P ( B ) > 0 , t o d l a k a |d e g o z d a r z e n i a A j
z a c h o d z i r ó w n o [
P ( A j ) Å" P ( B A j )
P ( A j B ) =
n
"P ( A ) Å" P ( B A i )
i
i = 1
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a A 1 , A 2 , . . . , A n "Z t w o r z u k Ba d z u p e Bn y
z d a r z e D, g d y s p e Bn i a j w a r u n k i ( 1 ) i ( 2 ) t w i e r d z e n i a o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e
c a Bk o w i t y m .
Z M I E N N E L O S O W E
N i e c h ( &!, Z , P ) b d z i e d o w o l n p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n .
X : &! ’! R
D e f i n i c j a . Z m i e n n l o s o w ( Z L X ) b d z i e m y n a z y w a f u n k c j
{ É " &! : X ( É) < x } " Z
"
s p e Bn i a j c w a r u n e k : .
x "R
W y r ó |n i a s i d w a g Bó w n e t y p y Z L - z m i e n n l o s o w t y p u s k o k o w e g o ( Z L S ) i
- z m i e n n l o s o w t y p u c i g Be g o ( Z L C )
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e d a n y j e s t r o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a , g d y d l a
A ‚" R
d o w o l n e g o z b i o r u o k r e [l o n e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
d e f
P ( X " A ) = P { É " &! : X ( É) " A }
( p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a , |e z m i e n n a l o s o w a p r z y j m u j e w a r t o [c i z e z b i o r u A ) .
F : R ’! [ 0 , 1 ]
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L X n a z y w a m y f u n k c j o k r e [l o n
d e f
F ( x ) = P ( X < x )
w z o r e m " .
x "R
( p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p r z y j c i a p r z e z z m i e n n l o s o w X w a r t o [c i m n i e j s z e j n i | x )
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a F m a n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
( d 1 ) F j e s t f u n k c j n i e m a l e j c
l i m F ( x ) = 0 '" l i m F ( x ) = 1
( d 2 )
x ’!- " x ’! "
( d 3 ) F j e s t f u n k c j ( c o n a j m n i e j ) l e w o s t r o n n i e c i g B
( d 4 ) F ( x 2 ) - F ( x 1 ) = P ( x 1 d" X < x 2 ) d l a x 1 < x 2
( d 5 ) F ( x 0 + ) - F ( x 0 ) = P ( X = x 0 ) d l a x 0 "".
F : R ’! [ 0 , 1 ]
T w i e r d z e n i e . D o w o l n a f u n k c j a s p e Bn i a j c a w a r u n k i ( d 1 ) - ( d 3 )
j e s t d y s t r y b u a n t p e w n e j Z L X .
Z M I E N N A L O S O W A T Y P U S K O K O W E G O ( Z L S ) .
D e f i n i c j a . Z m i e n n l o s o w X n a z y w a m y Z L t y p u s k o k o w e g o ( Z L S ) g d y
i s t n i e j e p r z e l i c z a l n y z b i ó r W = { x 1 , x 2 , . . . } ‚"" ( w s z c z e g ó l n o [c i z b i ó r W j e s t s k o Dc z o n y )
d l a k t ó r e g o s p e Bn i o n e s w a r u n k i :
P ( X = x i ) > 0
( s 1 ) " ( x i - p u n k t s k o k o w y , P ( X = x i ) = p ( x i ) = p i - s k o k )
x i "W
p ( x i ) = 1 ( w a r u n e k u n o r m o w a n i a )
"
( s 2 )
x i "W
F u n k c j p o k r e [l o n n a p u n k t a c h s k o k o w y c h r ó w n o [c i p ( x i ) = P ( X = x i ) = p i
n a z y w a m y f u n k c j p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Z L S X .
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L S X o p u n k t a c h s k o k o w y c h x i i s k o k a c h p i = p ( x i )
F : R ’! [ 0 , 1 ]
j e s t f u n k c j a o k r e [l o n a w z o r e m
d e f
F ( x ) = p ( x i )
"
"
.
x "R
x i < x
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a Z L S X m a w Ba s n o [c i ( d 1 ) - ( d 5 ) . P o n a d t o
d y s t r y b u a n t a Z L S X j e s t f u n k c j p r z e d z i a Ba m i c i g B.
Z M I E N N A L O S O W A T Y P U C I G AE G O ( Z L C )
D e f i n i c j a . Z L X n a z y w a m y t y p u c i g Be g o ( Z L C ) g d y i s t n i e j e c a Bk o w a l n a
[ x 1 , x 2 ]
f : R ’! R + *"{ 0 }
f u n k c j a t a k a , |e d l a d o w o l n e g o p r z e d z i a Bu
x 2
P ( X "[ x 1 , x 2 ] ) = f ( x ) d x
+"
x 1
F u n k c j f n a z y w a m y g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Z L C X .
T w i e r d z e n i e . G s t o [ f p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Z L C X s p e Bn i a w a r u n e k
"
f ( x ) d x = 1 ( w a r u n e k u n o r m o w a n i a )
+"
- "
F : R ’! [ 0 , 1 ]
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L C X o g s t o [c i f j e s t f u n k c j a
o k r e [l o n a w z o r e m
x
d e f
F ( x ) = f ( t ) d t
"
+"
x "R
- "
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a F Z L C X s p e Bn i a w a r u n k i ( d 1 ) - ( d 5 ) . P o n a d t o F
j e s t f u n k c j c i g B.
T w i e r d z e n i e . J e |e l i F j e s t d y s t r y b u a n t Z L C X , t o f u n k c j a
F ' ( x ) d l a t y c h x , d l a k t ó r y c h i s t n i e j e s k o Dk o Dc z F ' ( x )
ñø
f ( x ) =
òø0 d l a p o z o s t a y c h x " R
( * )
óø
j e s t g s t o [c i Z L C X .
T w i e r d z e n i e . Z m i e n n a l o s o w a c i g Ba X m a n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
P ( X = c ) = 0
"
"
c "R
P ( a d" X d" b ) = P ( a < X d" b ) = P ( a d" X < b ) = P ( a < X < b ) = F ( b ) - F ( a )
"
"
a < b
a , b "R
T w i e r d z e n i e . J e |e l i F j e s t d y s t r y b u a n t p e w n e j z m i e n n e j l o s o w e j X o r a z f
j e s t f u n k c j p o s t a c i ( * ) i s p e Bn i a j c w a r u n e k u n o r m o w a n i a , t o X j e s t
z m i e n n l o s o w c i g B, a f j e s t j e j g s t o [c i .
4 . C H A R A K T E R Y S T Y K I L I C Z B O W E Z M I E N N Y C H L O S O W Y C H
M i a r y p o Bo |e n i a :
W A R T O Z O C Z E K I W A N A
W a r t o [ o c z e k i w a n ( n a d z i e j m a t e m a t y c z n ) z m i e n n e j l o s o w e j X
o z n a c z a m y s y m b o l e m E X i o k r e [l a m y w n a s t p u j c y s p o s ó b :
x i p ( x i )
" g d y X j e s t Z L S o p u n k t a c h s k o k o w y c h i s k o k a c h o r a z
x i Å" p ( x i ) < "
"
, t o
i
E X =
"x Å" p ( x i ) ;
i
i
"
x Å" f ( x ) d x < "
" g d y X j e s t Z L C o g s t o [c i f o r a z +" , t o
- "
"
E X = x Å" f ( x ) d x
+"
- "
T w i e r d z e n i e . ( W Ba s n o [c i w a r t o [c i o c z e k i w a n e j )
N i e c h X , Y b d d o w o l n y m i Z L , o r a z n i e c h a , b , c "R . W ó w c z a s
E ( a X ) = a E X
( E 1 )
E ( X + b ) = E X + b
( E 2 )
E ( X ± Y ) = E X ± E Y
( E 3 )
E ( X Å"Y ) = E X Å" E Y
( E 4 ) J e |e l i X , Y s Z L n i e z a l e |n y m i t o
P ( X = c ) = 1 , t o E X = c
( E 5 ) J e |e l i
P ( X e" 0 ) = 1 , t o E X e" 0
( E 6 ) J e |e l i
P ( a d" X d" b ) = 1 , t o a d" E X d" b
( E 7 ) J e |e l i
U w a g a . B e z p o [r e d n i o z ( E 1 ) i ( E 2 ) w y n i k a , |e
E ( a X + b ) = a E X + b
E ( X - E X ) = 0
K W A N T Y L
D e f i n i c j a . K w a n t y l e m r z d u p ( p "( 0 , 1 ) ) Z L X o d y s t r y b u a n c i e F n a z y w a m y
l i c z b x p s p e Bn i a j c k t ó r y k o l w i e k z n a s t p u j c y c h r ó w n o w a |n y c h w a r u n k ó w :
F ( x p ) = p l u b P ( X < x p ) = p
W s z c z e g ó l n o [c i :
p ( x i )
" G d y X j e s t Z L S o p u n k t a c h s k o k o w y c h x i i s k o k a c h , t o k w a n t y l e m
r z d u p ( p "( 0 , 1 ) ) Z L X n a z y w a m y l i c z b x p s p e Bn i a j c w a r u n e k :
p ( x i ) d" p d" p ( x i )
" "
x i < x p x i d"x p
" G d y X j e s t Z L C o g s t o [c i f , t o k w a n t y l e m r z d u p ( p "( 0 , 1 ) ) Z L X
n a z y w a m y l i c z b x p s p e Bn i a j c w a r u n e k :
x p
f ( x ) d x = p
+"
- "
M E D I A N A
D e f i n i c j a . M e d i a n n a z y w a m y k w a n t y l r z d u p = 0 . 5
M i a r y r o z r z u t u :
N i e c h X b d z i e z m i e n n l o s o w d l a k t ó r e j i s t n i e j e w a r t o [ o c z e k i w a n a E X .
W A R I A N C J A
W a r i a n c j z m i e n n e j l o s o w e j X o z n a c z a m y s y m b o l e m V ( X ) ( l u b V a r ( X ) ,
D 2 ( X ) ) i o k r e [l a m y z a p o m o c w z o r u :
D 2 X = E ( ( X ) - E X ) ) 2 .
W s z c z e g ó l n o [c i :
p ( x i )
" g d y X j e s t Z L S o s k o k a c h , t o
D 2 X =
"( x - E X ) 2 Å" p ( x i ) ;
i
i
" g d y X j e s t Z L C o g s t o [c i f , t o
"
D 2 X =
+"( x - E X ) 2 Å" f ( x ) d x
- "
T w i e r d z e n i e . ( W Ba s n o [c i w a r i a n c j i )
N i e c h X , Y b d d o w o l n y m i Z L , o r a z n i e c h a , b , c "R . W ó w c z a s
D 2 ( a X ) = a 2 D 2 X
( V 1 )
D 2 ( X + b ) = D 2 X
( V 2 )
D 2 ( X ± Y ) = D 2 X ± D 2 Y
( V 3 ) J e |e l i X , Y s Z L n i e z a l e |n y m i t o
2
D 2 X = E X - ( E X ) 2
( V 4 )
O D C H Y L E N I E S T A N D A R D O W E
O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e z m i e n n e j l o s o w e j X o z n a c z a m y s y m b o l e m D X i
o k r e [l a m y z a p o m o c w z o r u :
D X = D 2 X
.
P R Z Y K AA D Y R O Z K AA D Ó W T Y P U S K O K O W E G O
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E R Ó W N O M I E R N Y M
x i x 1 x 2 . . . x n
1 1 1
p i . . .
n n n
x 1 + x 2 + . . . + x n
E X =
n
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E J E D N O P U N K T O W Y M
x i x 1
p i 1
E X = x 1
D 2 X = 0
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E D W U P U N K T O W Y M ( Z E R O - J E D Y N K O W Y M )
x i x 1 = 1 x 2 = 0
p i p q = 1 - p
E X = p
D 2 X = p Å" q
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E D W U M I A N O W Y M ( B E R N O U L L I E G O ) X <" b ( n , p )
<"
<"
<"
Z L X m a r o z k Ba d B e r n o u l l i e g o , g d y W = { 0 , 1 , . . . , n } ( n e"1 )
n
ëø öø
p k = P ( X = k ) = ìø ÷ø p k q n - k
ìøk ÷ø
íø øø
p r z y c z y m p " ( 0 , 1 ) , k = 0 , 1 , . . . , n
.
E X = n Å" p
D 2 X = n Å" p Å" q
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E P O I S S O N A X <" P o ( »
<" »
<" »)
<" »
M ó w i m y , |e Z L X m a r o z k Ba d P o i s s o n a , g d y W = { 0 , 1 , . . . }
e - »»k
p k = P ( X = k ) =
k !
p r z y c z y m »> 0 , k = 0 , 1 , . . . .
E X = »
D 2 X = »
T w i e r d z e n i e . ( o z b i e |n o [c i r o z k Ba d u B e r n o u l l i e g o d o r o z k Ba d u P o i s s o n a )
N i e c h Z L X m a r o z k Ba d B e r n o u l l i e g o X <"b ( n , p ) . J e |e l i p = p ( n ) s p e Bn i a w a r u n e k
l i m n p ( n ) = »
n ’! "
n
ëø öø e - »»k
ìø ÷ø
l i m ìø ÷ø p k q n - k =
t o
n ’! "
k !
íøk øø
W n i o s e k ( p r z y b l i |e n i e P o i s s o n a )
n
ëø öø
e - »»k
ìø ÷ø
p k q n - k H" , » = n p , k = 0 , 1 , . . . , n
ìøk ÷ø
k !
íø øø
( p r z y b l i |e n i e t o j e s t w y s t a r c z a j c o d o k Ba d n e , g d y p < 0 . 1 , n > 5 0 , n p < 1 0 .
P R Z Y K AA D Y R O Z K AA D Ó W T Y P U C I G AE G O
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E P R O S T O K T N Y M ( r ó w n o m i e r n y m ) X <"
<"R ( a , b )
<"
<"
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d p r o s t o k a t n y n a p r z e d z i a l e ( a , b ) , g d y
1
ñø
d l a a < x < b
ôø
f ( x ) = - a
b
òø
ôø0
d l a x d" a (" x e" b
óø
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d p r o s t o k t n y , t o
0 d l a x d" a
ñø
ôøx - a
ôø
F ( x ) = d l a a < x < b
òø
"
ôøb - a
ôø d l a x e" b
óø1
a + b
E X =
"
2
2
( b - a )
2
D X =
"
1 2
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E W Y K AA D N I C Z Y M X <" »)
<"E x ( »
<" »
<" »
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d w y k Ba d n i c z y z p a r a m e t r e m » ( »> 0 ) , g d y
ñø
» Å"e - »Å"x d l a x > 0
f ( x ) =
òø
d l a x d" 0
óø0
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d w y k Ba d n i c z y , t o
0 d l a x d" 0
ñø
F ( x ) =
òø
"
óø1 - e - »Å"x d l a x > 0
1
E X =
"
»
1
D 2 X =
"
»2
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E N O R M A L N Y M ( G A U S S A ) X <" µ , Ã
<"N ( µ Ã)
<" µ Ã
<" µ Ã
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d n o r m a l n y z p a r a m e t r a m i ( µ , Ã) ( µ "R , Ã> 0 ) ,
g d y
( x - µ ) 2
-
1
2
2 Ã
f ( x ) = Å"e x " R
à Å" 2 À
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d n o r m a l n y , t o
E X = µ
"
2
D 2 X = Ã
"
Z M I E N N A L O S O W A O S T A N D A R Y Z O W A N Y M R O Z K AA D Z I E N O R M A L N Y M X <"
<"N ( 0 , 1 )
<"
<"
D e f i n i c j a . Z L C X m a s t a n d a r y z o w a n y r o z k Ba d n o r m a l n y , g d y m a r o z k Ba d
n o r m a l n y o µ = 0 i Ã= 1 . J e j g s t o [ ( o z n a c z a n a p r z e z Õ ) w y r a |a s i w z o r e m
1
- u 2
1
2
Õ( u ) = e u " R
2 À
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a s t a n d a r y z o w a n y r o z k Ba d n o r m a l n y , t o
E X = 0
"
D 2 X = 1
"
" d l a u e"0 d y s t r y b u a n t a w y r a |a s i w z o r e m
u
1
- t 2
1
2
¦( u ) =
+"e d t
2 À
- "
p r z y c z y m d l a d o w o l n e g o u "R +
¦( - u ) = 1 - ¦( u ) .
C e n t r a l n e t w i e r d z e n i e g r a n i c z n e
T w . L i n d e b e r g a - L e v y e g o .
J e |e l i { X } j e s t c i g i e m n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o j e d n a k o w y m
n
2
r o z k Ba d z i e , o w a r t o [c i p r z e c i t n e j ±1 i s k o Dc z o n e j w a r i a c j i à > 0 , t o c i g { F n }
d y s t r y b u a n t s t a n d a r y z o w a n y c h [r e d n i c h a r y t m e t y c z n y c h X
n
n
X - ±1 " X i - n ±1
n i = 1
Y n = =
Ã
à n
y 1
( - t 2 )
1
2
l i m F n ( y ) =
j e s t z b i e |n y d o d y s t r y b u a n t y úø r o z k Ba d u N ( 0 , 1 )
+"e d t = Æ( y )
n ’! "
2 À
- "
W n . D l a d u |y c h n ( r z d u k i l k u n a s t u )
P ( y 1 < Y n d" y 2 ) H" Æ( y 2 ) - Æ( y 1 )
I n t e g r a l n e t w i e r d z e n i e M o i v r e a - L a p l a c e a
J e [l i { S n } j e s t c i g i e m z m i e n n y c h l o s o w y c h o r o z k Ba d z i e d w u m i a n o w y m z
p a r a m e t r a m i ( n , p ) , 0 < p < 1 o r a z { Y n } j e s t c i g i e m s t a n d a r y z o w a n y c h z m i e n n y c h
S n - n p
n y 1 y 2
l o s o w y c h Y = n p , t o d l a k a |d e j p a r y w a r t o [c i < z a c h o d z i w z ó r
S - n p
n
l i m P ( Y 1 < < Y 2 ) = Æ( Y 2 ) - Æ( Y 1 )
n ’! "
n p q
P r a w a w i e l k i c h l i c z b
E X = µ i < "
N i e c h { X } b d z i e c i g i e m z m i e n n y c h l o s o w y c h , d l a k t ó r y c h d l a
i
n
n n
1 1
X = " X E X = " X
i "N , o r a z n i , n i .
i = 1 i = 1
n n
µ
J e |e l i d l a c i g u { X } i d l a d o w o l n e g o > 0
n
l i m P ( X - E X e" µ ) = 0
, t o m ó w i m y , |e d l a t e g o c i g u z a c h o d z i s Ba b e p r a w o
n n
n ’! "
’! 0
X
w i e l k i c h l i c z b . M ó w i m y r ó w n i e |, |e - E X
w e d Bu g p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i
n ’! "
p
’! 0
X E X
p i s z e m y - w p r z y p a d k u , g d y p r z y t y m s a m y m z a Bo |e n i u
n n
n ’! "
P [ l i m ( X n - E X ) = 0 ] = 1 , w t e d y m ó w i m y , |e d l a k a |d e g o c i g u { X } z a c h o d z i
n
n
n ’!0
m o c n e p r a w o w i e l k i c h l i c z b , a z b i e |n o [
’! 0 P [ l i m ( X - E X ) = 0 ] = 1 n a z y w a m y z b i e |n o [c i z
X - E X
n n
n n
n ’! " n ’!0
p = 1
’! 0 .
X - E X
p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m 1 . P i s z e m y
n n
n ’! "
M o c n e p r a w o w i e l k i c h l i c z b K o Bm o g o r o w a
W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i w y s t a r c z a j c y m z a c h o d z e n i a m o c n e g o p r a w a w i e l k i c h
l i c z b d l a c i g u { X } n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o j e d n o k i e r u n k o w y m
n
E X i = m
i " N
r o z k Ba d z i e j e s t i s t n i e n i e s k o Dc z o n e j w a r t o [c i o c z e k i w a n e j d l a .
W A {N E R O Z K AA D Y W S T A T Y S T Y C E
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E C H I - K W A D R A T
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d c h i - k w a d r a t z ½ s t o p n i a m i s w o b o d y
( ½= 1 , 2 , . . . ) , g d y j e j g s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y r a |a s i w z o r e m
1 1
ñø x
2
ôøC Å Å" x Å- 1 e - 2
d l a x < 0
³Å ( x ) =
òø
ôø
d l a x d" 0
óø0
C Å
g d z i e j e s t s t a B z a l e |n t y l k o o d l i c z b y s w o b o d y i t a k d o b r a n , a b y b y B
s p e Bn i o n y w a r u n e k u n o r m o w a n i a .
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d c h i - k w a d r a t ½ s t o p n i a m i s w o b o d y , t o
E X = Å
"
D 2 X = 2 Å
"
X 1 , . . . , X Å
T w i e r d z e n i e . G d y s n i e z a l e |n y m i z m i e n n y m i l o s o w y m i o
2
X = X 1 2 + . . . + X Å
r o z k Ba d z i e N ( 0 , 1 ) , t o z m i e n n a l o s o w a m a r o z k Ba d c h i - k w a d r a t
½ s t o p n i a m i s w o b o d y .
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E S T U D E N T A
D e f i n i c j a . Z m i e n n a l o s o w a t k m a r o z k Ba d s t u d e n t a z k s t o p n i a m i
s w o b o d y ( k = 1 , 2 , . . . ) , g d y j e j g s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y r a |a s i w z o r e m
k + 1
-
1
2
g k ( x ) = C k ( 1 + x 2 ) , d l a x " R
k
C k
g d z i e j e s t s t a B z a l e |n t y l k o o d l i c z b y s w o b o d y i t a k d o b r a n , a b y b y B
s p e Bn i o n y w a r u n e k u n o r m o w a n i a .
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