ÿþC e n t r a l n a K o m i s j a E g z a m i n a c y j n a
A r k u s z z a w i e r a i n f o r m a c j e p r a w n i e c h r o n i o n e d o m o m e n t u r o z p o c z c i a e g z a m i n u .
W P I S U J E Z D A J C Y M i e j s c e
n a n a k l e j k
K O D P E S E L
z k o d e m
d y s l e k s j a
E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
M A J 2 0 1 3
P O Z I O M P O D S T A W O W Y
1 . S p r a w d z, c z y a r k u s z e g z a m i n a c y j n y z a w i e r a 2 2 s t r o n y
( z a d a n i a 1 3 4 ) . E w e n t u a l n y b r a k z g Bo [ p r z e w o d n i c z c e m u
z e s p o Bu n a d z o r u j c e g o e g z a m i n .
2 . R o z w i z a n i a z a d a D i o d p o w i e d z i w p i s u j w m i e j s c u n a t o
p r z e z n a c z o n y m .
3 . O d p o w i e d z i d o z a d a D z a m k n i t y c h ( 1 2 5 ) p r z e n i e [
n a k a r t o d p o w i e d z i , z a z n a c z a j c j e w c z [c i k a r t y
p r z e z n a c z o n e j d l a z d a j c e g o . Z a m a l u j p o l a d o t e g o
p r z e z n a c z o n e . B Bd n e z a z n a c z e n i e o t o c z k ó Bk i e m
i z a z n a c z w Ba [c i w e .
4 . P a m i t a j , |e p o m i n i c i e a r g u m e n t a c j i l u b i s t o t n y c h
C z a s p r a c y :
o b l i c z e D w r o z w i z a n i u z a d a n i a o t w a r t e g o ( 2 6 3 4 ) m o |e
s p o w o d o w a , |e z a t o r o z w i z a n i e n i e b d z i e s z m ó g B 1 7 0 m i n u t
d o s t a p e Bn e j l i c z b y p u n k t ó w .
5 . P i s z c z y t e l n i e i u |y w a j t y l k o d Bu g o p i s u l u b p i ó r a
z c z a r n y m t u s z e m l u b a t r a m e n t e m .
6 . N i e u |y w a j k o r e k t o r a , a b Bd n e z a p i s y w y r a zn i e p r z e k r e [l .
7 . P a m i t a j , |e z a p i s y w b r u d n o p i s i e n i e b d o c e n i a n e .
8 . M o |e s z k o r z y s t a z z e s t a w u w z o r ó w m a t e m a t y c z n y c h ,
c y r k l a i l i n i j k i o r a z k a l k u l a t o r a .
9 . N a t e j s t r o n i e o r a z n a k a r c i e o d p o w i e d z i w p i s z s w ó j
n u m e r P E S E L i p r z y k l e j n a k l e j k z k o d e m .
1 0 . N i e w p i s u j |a d n y c h z n a k ó w w c z [c i p r z e z n a c z o n e j
L i c z b a p u n k t ó w
d l a e g z a m i n a t o r a .
d o u z y s k a n i a : 5 0
M M A - P 1 _ 1 P - 1 3 2
U k Ba d g r a f i c z n y © C K E 2 0 1 0
2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z A D A N I A Z A M K N I T E
W z a d a n i a c h 1 - 2 5 w y b i e r z i z a z n a c z n a k a r c i e o d p o w i e d z i p o p r a w n o d p o w i e d z.
Z a d a n i e 1 . ( 1 p k t )
W s k a | r y s u n e k , n a k t ó r y m z a z n a c z o n y j e s t z b i ó r w s z y s t k i c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h
s p e Bn i a j c y c h n i e r ó w n o [ x +ð 4 <ð 5 .
A .
x
9 4 1
B .
x
1 4 9
C .
x
9 5 1
D .
x
1 5 9
Z a d a n i e 2 . ( 1 p k t )
L i c z b y a i b s d o d a t n i e o r a z 1 2 % l i c z b y a j e s t r ó w n e 1 5 % l i c z b y b . S t d w y n i k a , |e a j e s t
r ó w n e
A . 1 0 3 % l i c z b y b B . 1 2 5 % l i c z b y b C . 1 5 0 % l i c z b y b D . 1 5 3 % l i c z b y b
Z a d a n i e 3 . ( 1 p k t )
L i c z b a l o g 1 0 0 -ð l o g 2 8 j e s t r ó w n a
A . -ð2 B . -ð1 C . 0 D . 1
Z a d a n i e 4 . ( 1 p k t )
5 x +ð 3 y =ð 3
ìð
R o z w i z a n i e m u k Ba d u r ó w n a D
íð8 x -ð 6 y =ð 4 8 j e s t p a r a l i c z b
îð
A . x =ð-ð3 i y =ð 4 B . x =ð-ð3 i y =ð 6 C . x =ð 3 i y =ð-ð4 D . x =ð 9 i y =ð 4
Z a d a n i e 5 . ( 1 p k t )
P u n k t A =ð 0 , 1 l e |y n a w y k r e s i e f u n k c j i l i n i o w e j f ( x ) =ð ( m -ð 2 ) x +ð m -ð 3 . S t d w y n i k a , |e
(ð )ð
A . m =ð 1 B . m =ð 2 C . m =ð 3 D . m =ð 4
Z a d a n i e 6 . ( 1 p k t )
W i e r z c h o Bk i e m p a r a b o l i o r ó w n a n i u y =ð-ð3 x -ð 2 +ð 4 j e s t p u n k t o w s p ó Br z d n y c h
(ð )ð2
A . -ð2 , -ð4 B . -ð2 , 4 C . 2 , -ð4 D . 2 , 4
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
Z a d a n i e 7 . ( 1 p k t )
D l a k a |d e j l i c z b y r z e c z y w i s t e j x , w y r a |e n i e 4 x 2 -ð1 2 x +ð 9 j e s t r ó w n e
A . 4 x +ð 3 x +ð 3 B . 2 x -ð 3 2 x +ð 3 C . 2 x -ð 3 2 x -ð 3 D . x -ð 3 4 x -ð 3
(ð )ð(ð )ð (ð )ð(ð )ð (ð )ð(ð )ð (ð )ð(ð )ð
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 3
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 8 . ( 1 p k t )
2 3
P r o s t a o r ó w n a n i u y =ð x +ð1 j e s t p r o s t o p a d Ba d o p r o s t e j o r ó w n a n i u y =ð-ð x -ð1 . S t d
m 2
w y n i k a , |e
2 3
A . m =ð-ð3 B . m =ð C . m =ð D . m =ð 3
3 2
Z a d a n i e 9 . ( 1 p k t )
N a r y s u n k u p r z e d s t a w i o n y j e s t f r a g m e n t w y k r e s u p e w n e j f u n k c j i l i n i o w e j y =ð a x +ð b .
y
0
x
J a k i e z n a k i m a j w s p ó Bc z y n n i k i a i b ?
A . a <ð 0 i b <ð 0 B . a <ð 0 i b >ð 0 C . a >ð 0 i b <ð 0 D . a >ð 0 i b >ð 0
Z a d a n i e 1 0 . ( 1 p k t )
x 2 x 1
N a j m n i e j s z l i c z b c a Bk o w i t s p e Bn i a j c n i e r ó w n o [ £ð +ð j e s t
2 3 4
A . -ð2 B . -ð1 C . 0 D . 1
Z a d a n i e 1 1 . ( 1 p k t )
N a r y s u n k u 1 p r z e d s t a w i o n y j e s t w y k r e s f u n k c j i y =ð f x o k r e [l o n e j d l a x Îð -ð7 , 4 .
(ð )ð
y 5 y 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7
x x
- 1 - 1
- 2 - 2
- 3
- 3
R y s . 1 R y s . 2
R y s u n e k 2 p r z e d s t a w i a w y k r e s f u n k c j i
A . y =ð f x +ð 2 B . y =ð f x -ð 2 C . y =ð f x -ð 2 D . y =ð f x +ð 2
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
Z a d a n i e 1 2 . ( 1 p k t )
C i g 2 7 , 1 8 , x +ð 5 j e s t g e o m e t r y c z n y . W t e d y
(ð)ð
A . x =ð 4 B . x =ð 5 C . x =ð 7 D . x =ð 9
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 3 . ( 1 p k t )
C i g a n o k r e [l o n y d l a n ³ð 1 j e s t a r y t m e t y c z n y o r a z a 3 =ð1 0 i a 4 =ð1 4 . P i e r w s z y w y r a z t e g o
(ð )ð
c i g u j e s t r ó w n y
A . a 1 =ð-ð2 B . a 1 =ð 2 C . a 1 =ð 6 D . a 1 =ð 1 2
Z a d a n i e 1 4 . ( 1 p k t )
3
K t að j e s t o s t r y i s i n að =ð . W a r t o [ w y r a |e n i a c o s 2 að -ð 2 j e s t r ó w n a
2
7 1 1 3
A . -ð B . -ð C . D .
4 4 2 2
Z a d a n i e 1 5 . ( 1 p k t )
Zr e d n i c e A B i C D o k r g u o [r o d k u S p r z e c i n a j s i p o d k t e m 5 0 °ð ( t a k j a k n a r y s u n k u ) .
B
D
að
M
S
5 0 °ð
C
A
M i a r a k t a að j e s t r ó w n a
A . 2 5 °ð B . 3 0 °ð C . 4 0 °ð D . 5 0 °ð
Z a d a n i e 1 6 . ( 1 p k t )
L i c z b a r z e c z y w i s t y c h r o z w i z a D r ó w n a n i a x +ð1 x +ð 2 x 2 +ð 3 =ð 0 j e s t r ó w n a
(ð )ð(ð )ð
(ð )ð
A . 0 B . 1 C . 2 D . 4
Z a d a n i e 1 7 . ( 1 p k t )
P u n k t y A =ð -ð1 , 2 i B =ð 5 , -ð2 s d w o m a s s i e d n i m i w i e r z c h o Bk a m i r o m b u A B C D . O b w ó d
(ð )ð (ð )ð
t e g o r o m b u j e s t r ó w n y
A . 1 3 B . 1 3 C . 6 7 6 D . 8 1 3
Z a d a n i e 1 8 . ( 1 p k t )
P u n k t S =ð -ð4 , 7 j e s t [r o d k i e m o d c i n k a P Q , g d z i e Q =ð 1 7 , 1 2 . Z a t e m p u n k t P m a
(ð )ð (ð )ð
w s p ó Br z d n e
A . P =ð 2 , -ð 2 5 B . P =ð 3 8 , 1 7 C . P =ð -ð2 5 , 2 D . P =ð -ð1 2 , 4
(ð )ð (ð )ð (ð )ð (ð )ð
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 7
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
8 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 1 9 . ( 1 p k t )
2 2
O d l e g Bo [ m i d z y [r o d k a m i o k r g ó w o r ó w n a n i a c h x +ð1 +ð y -ð 2 =ð 9 o r a z x 2 +ð y 2 =ð1 0
(ð )ð (ð )ð
j e s t r ó w n a
A . 5 B . 1 0 -ð 3 C . 3 D . 5
Z a d a n i e 2 0 . ( 1 p k t )
L i c z b a w s z y s t k i c h k r a w d z i g r a n i a s t o s Bu p a j e s t o 1 0 w i k s z a o d l i c z b y w s z y s t k i c h j e g o [c i a n
b o c z n y c h . S t d w y n i k a , |e p o d s t a w t e g o g r a n i a s t o s Bu p a j e s t
A . c z w o r o k t B . p i c i o k t C . s z e [c i o k t D . d z i e s i c i o k t
Z a d a n i e 2 1 . ( 1 p k t )
P o l e p o w i e r z c h n i b o c z n e j s t o |k a o w y s o k o [c i 4 i p r o m i e n i u p o d s t a w y 3 j e s t r ó w n e
A . 9 pð B . 1 2 pð C . 1 5 pð D . 1 6 pð
Z a d a n i e 2 2 . ( 1 p k t )
R z u c a m y d w a r a z y s y m e t r y c z n s z e [c i e n n k o s t k d o g r y . N i e c h p o z n a c z a
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a , |e i l o c z y n l i c z b w y r z u c o n y c h o c z e k j e s t r ó w n y 5 . W t e d y
1 1 1 1
A . p =ð B . p =ð C . p =ð D . p =ð
3 6 1 8 1 2 9
Z a d a n i e 2 3 . ( 1 p k t )
5 0 -ð 1 8
L i c z b a j e s t r ó w n a
2
A . 2 2 B . 2 C . 4 D . 1 0 -ð 6
Z a d a n i e 2 4 . ( 1 p k t )
M e d i a n a u p o r z d k o w a n e g o n i e m a l e j c o z e s t a w u s z e [c i u l i c z b : 1 , 2 , 3 , x , 5 , 8 j e s t r ó w n a 4 .
W t e d y
A . x =ð 2 B . x =ð 3 C . x =ð 4 D . x =ð 5
Z a d a n i e 2 5 . ( 1 p k t )
O b j t o [ g r a n i a s t o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o t r ó j k t n e g o o w y s o k o [c i 7 j e s t r ó w n a 2 8 3 . D Bu g o [
k r a w d z i p o d s t a w y t e g o g r a n i a s t o s Bu p a j e s t r ó w n a
A . 2 B . 4 C . 8 D . 1 6
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 9
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
1 0 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z A D A N I A O T W A R T E
R o z w i z a n i a z a d a D 2 6 - 3 4 n a l e |y z a p i s a w w y z n a c z o n y c h m i e j s c a c h p o d t r e [c i z a d a n i a .
Z a d a n i e 2 6 . ( 2 p k t )
R o z w i | r ó w n a n i e x 3 +ð 2 x 2 -ð8 x -ð1 6 =ð 0 .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 1
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 2 7 . ( 2 p k t )
3
K t að j e s t o s t r y i s i n að =ð . O b l i c z w a r t o [ w y r a |e n i a s i n 2 að -ð 3 c o s 2 að .
2
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N r z a d a n i a 2 6 . 2 7 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 2 2
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 2 8 . ( 2 p k t )
U d o w o d n i j , |e d l a d o w o l n y c h l i c z b r z e c z y w i s t y c h x , y , z t a k i c h , |e x +ð y +ð z =ð 0 , p r a w d z i w a
j e s t n i e r ó w n o [ x y +ð y z +ð z x £ð 0 .
M o |e s z s k o r z y s t a z t o |s a m o [c i x +ð y +ð z =ð x 2 +ð y 2 +ð z 2 +ð 2 x y +ð 2 x z +ð 2 y z .
(ð)ð2
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 3
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 2 9 . ( 2 p k t )
N a r y s u n k u p r z e d s t a w i o n y j e s t w y k r e s f u n k c j i f ( x ) o k r e [l o n e j d l a x Îð -ð7 , 8 .
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
O d c z y t a j z w y k r e s u i z a p i s z :
a ) n a j w i k s z w a r t o [ f u n k c j i f ,
b ) z b i ó r r o z w i z a D n i e r ó w n o [c i f ( x ) <ð 0 .
N r z a d a n i a 2 8 . 2 9 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 2 2
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 4 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 0 . ( 2 p k t )
R o z w i | n i e r ó w n o [ 2 x 2 -ð7 x +ð 5 ³ð 0 .
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 5
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 1 . ( 2 p k t )
W y k a |, |e l i c z b a 6 1 0 0 -ð 2 ×ð 6 9 9 +ð1 0 ×ð 6 9 8 j e s t p o d z i e l n a p r z e z 1 7 .
N r z a d a n i a 3 0 . 3 1 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 2 2
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 6 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 2 . ( 4 p k t )
P u n k t S j e s t [r o d k i e m o k r g u o p i s a n e g o n a t r ó j k c i e o s t r o k t n y m A B C . K t A C S j e s t t r z y r a z y
w i k s z y o d k t a B A S , a k t C B S j e s t d w a r a z y w i k s z y o d k t a B A S . O b l i c z k t y t r ó j k t a A B C .
C
S
B
A
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 7
P o z i o m p o d s t a w o w y
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N r z a d a n i a 3 2 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 4
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
1 8 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 3 . ( 4 p k t )
P o l e p o d s t a w y o s t r o s Bu p a p r a w i d Bo w e g o c z w o r o k t n e g o j e s t r ó w n e 1 0 0 c m 2 , a j e g o
p o l e p o w i e r z c h n i b o c z n e j j e s t r ó w n e 2 6 0 c m 2 . O b l i c z o b j t o [ t e g o o s t r o s Bu p a .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1 9
P o z i o m p o d s t a w o w y
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N r z a d a n i a 3 3 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 4
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
2 0 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
Z a d a n i e 3 4 . ( 5 p k t )
D w a m i a s t a Bc z y l i n i a k o l e j o w a o d Bu g o [c i 3 3 6 k i l o m e t r ó w . P i e r w s z y p o c i g p r z e b y B t t r a s
w c z a s i e o 4 0 m i n u t k r ó t s z y m n i | d r u g i p o c i g . Zr e d n i a p r d k o [ p i e r w s z e g o p o c i g u n a t e j
t r a s i e b y Ba o 9 k m / h w i k s z a o d [r e d n i e j p r d k o [c i d r u g i e g o p o c i g u . O b l i c z [r e d n i
p r d k o [ k a |d e g o z t y c h p o c i g ó w n a t e j t r a s i e .
E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 2 1
P o z i o m p o d s t a w o w y
O d p o w i e d z: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N r z a d a n i a 3 4 .
W y p e Bn i a
M a k s . l i c z b a p k t 5
e g z a m i n a t o r
U z y s k a n a l i c z b a p k t
2 2 E g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i
P o z i o m p o d s t a w o w y
B R U D N O P I S
K O D E G Z A M I N A T O R A
C z y t e l n y p o d p i s e g z a m i n a t o r a
K O D Z D A J ¥ C E G O
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