Instytut Robotyki i In»ynierii Oprogramowania Wy»sza Szkoªa In»ynierska w Zielonej Górze Laboratorium Systemów Przetwarzania Numerycznego i Symbolicznego Wektory i macierze (c.d.). Elementy graki 2-D. Program ¢wiczenia obejmuje nast¦puj¡ce zadania: 1. Zmienn¡ x mo»na skasowa¢ wprowadzaj¡c instrukcj¦ instrukcji: >> x = [ ] lub >> clear x Jaka jest ró»nica mi¦dzy tymi poleceniami? Przy okazji zapozna¢ si¦ z funkcjami exist i isempty. 2. Dany jest wektor x zawieraj¡cy elementy x1, . . . , xn. Zapisa¢ instrukcje, które w mo»liwie najprostszy sposób oblicz¡: (a) x1xn + x2xn−1 + . . . + xnx1; (b) (x1 + xn)(x2 + xn−1) . . . (xn + x1); (c) (x1 + x2 + 2xn)(x2 + x3 + 2xn−1) . . . (xn−1 + xn + 2x2). 3. W mo»liwie najprostszy sposób utworzy¢ poni»sze tablice:  2 1 0 . . . 0 0   0 0 0 . . . 0  1 2 1 . . . 0 0     1 2 3 . . . 10  0 1 2 . . . 0 0   0 1 0 . . . 0     0 1 2 . . . 9     .     0 0 2 . . . 0  ,  .. ... ... ... ,  0 0 1 . . . 8   . . .     . . .     .    0 0 0 . . . 9  ..  0 0 0 . . . 1  0 0 0 2 1  0 0 0 0 1 2 | {z } 10 kolumn 4. Jak posortowa¢ elementy wektora x w porz¡dku malej¡cym (funkcja sort wykonuje to w porz¡dku rosn¡cym)? 5. Dla x ∈ [−1, 1] narysuj w tym samym ukªadzie wspóªrz¦dnych wykresy funkcji: f1(x) = x, f2(x) = x3, f3(x) = x5. Nada¢ osi odci¦tych nazw¦ x, a osi rz¦dnych nazw¦ y. Caªemu rysunkowi nada¢ tytuª Funkcje pot¦gowe. Ponadto u»y¢ funkcji text do umieszczenia w odpowiednich miejscach na rysunku opisów odpowiednich wykresów (tzn. napisów 'y=x', 'y=x^3', oraz 'y=x^5'). Co spowoduje wywoªanie funkcji grid? 6. Narysowa¢ wykres funkcji f1(t) = sin(t) dla t ∈ [0, 2π]. Nast¦pnie na tym samym rysunku i w tym samym ukªadzie wspóªrz¦dnych dorysowa¢ wykres funkcji f2(t) = sin(t+0.25) (jak to robi¢ bez zmaza-nia wykresu ju» istniej¡cego?). Nast¦pnie doda¢ jeszcz¦ wykres funkcji f3(t) = sin(t+0.5). W rezultacie na jednym wykresie powinny by¢ widoczne trzy przesuni¦te w fazie sinusoidy. 1 7. Wygenerowa¢ losowo przy u»yciu funkcji randn (nb. czym ró»ni si¦ ona od funkcji rand?) macierz A ∈ R20×20, a nast¦pnie okre±li¢ wektor λ jej warto±ci wªasnych. Jak zinterpretowa¢ rezultat wykonania polecenia plot(lambda,'x')? 8. Na jednym rysunku umie±ci¢ jeden pod drugim wykresy funkcji f1(θ) = Re [exp(jθ)] oraz f2(θ) = Im [exp(jθ)] dla θ ∈ [0, 2π]. 9. U»ywaj¡c odpowiednio procedur bar, stairs i stem narysowa¢ wykresy funkcji (a) exp(−x2) na siatce -2.9:0.2:2.9; (b) sin(x) na siatce 0:0.25:10; (c) sin(x2) exp(−x) na siatce 0:0.1:4. W jakich sytuacjach powy»sze procedury mog¡ okaza¢ si¦ po»yteczne? 10. Narysowa¢ trójk¡t, kwadrat i okr¡g, a ich wn¦trza wypeªni¢ odpowiednio kolorami czerwonym, zielonym i niebieskim. 11. Prosz¦ zapozna¢ si¦ z opisem procedury fplot, a nast¦pnie przy jej u»yciu narysowa¢ wykres funkcji cos(tg(πx)) w przedziale [0, 1]. Dlaczego fplot jest w tym przypadku bardziej odpowiednie ni» plot? 12. Równania orbity Merkurego wzgl¦dem Ziemi s¡ okre±lone równaniami x(t) = 93 cos t + 36 cos 4.15t y(t) = 93 sin t + 36 sin 4.15t Narysowa¢ odpowiedni wykres we wspólrz¦dnych (x, y). Przyj¡¢, »e t ∈ [0, 44π/3] i do oblicze« wzi¡¢ punkty z tego przedziaªu z krokiem π/360. Otrzymany wykres nosi nazw¦ epitrochoidy. Jak spowodowa¢ aby dªugo±ci obu osi na ekranie byªy jednakowe (ekran powoduje, »e zamiast kwadratu widzimy prostok¡t)? 13. Narysowa¢ we wspóªrz¦dnych biegunowych wykres funkcji r = cos(2θ). Co spowoduje wywoªanie do-datkowo funkcji grid? Narysowa¢ równie» spiral¦ Archimedesa dan¡ wzorem r = kθ, gdzie k > 0. 14. Okr¡g na pªaszczyznie zespolonej o ±rodku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i promieniu r jest okre±la wzór z = rejθ. Narysowa¢ pi¦¢ koncentrycznych okr¦gów o promieniach 1, 2, 3, 4 i 5, u»ywaj¡c przy tym pi¦ciu róznych typów (symboli). 15. Narysowa¢ poni»sze krzywe we wspóªrz¦dnych biegunowych dla 0 ≤ θ ≤ 2π. (a) r = 3(1 − cos θ) (b) r = 2(1 + cos θ) (c) r = 2(1 + sin θ) (d) r = cos 3θ (e) r = exp θ4π 16. Celem zadania jest powtórzenie pewnych funkcji gracznych i matematycznych. (a) Narysowa¢ wykres sygnaªu y(t) = 1 − 2 exp (−t) sin (t), gdzie 0 ≤ t ≤ 8 O± odci¦tych X opisa¢ jako Czas, o± rz¦dnych Y jako Amplituda, a caªemu wykresowi nada¢ tytuª Wykªadniczo zanikaj¡ce oscylacje. 2 (b) Narysowa¢ wykres sygnaªu y(t) = 5 exp (−0.2t) cos (0.9t − 30◦) + 0.8 exp (−2t), gdzie 0 ≤ t ≤ 30 (c) Dla 0 ≤ t ≤ 10 narysowa¢ przebiegi sygnaªów y(t) = 1.23 cos (2.83t + 240◦) + 0.625 oraz x(t) = 0.625 na jednym wykresie i okre±li¢ y(t = 0) oraz y(t = 10). (d) Dla 0 ≤ t ≤ 20 narysowa¢ na jednym wykresie przebiegi y1(t) = 2.62 exp (−0.25t) cos (2.22t + 174◦) + 0.6 y2(t) = 2.62 exp (−0.25t) + 0.6 y3(t) = 0.6 Ograniczy¢ wykres do warto±ci y pomi¦dzy -2 i +3. Znale¹¢ minimaln¡ i maksymaln¡ warto±¢ sygnaªu y1. (e) Dla 0 ≤ t ≤ 25 narysowa¢ na jednym wykresie y1(t) = 1.25 exp (−t) y2(t) = 2.02 exp (−0.3t) y3(t) = 2.02 exp (−0.3t) cos (0.554t − 128◦) + 1.25 exp (−t) Ograniczy¢ o± Y do zakresu od -0.2 do + 1 oraz o± X od 0 do 16. Znale¹¢ równie» nast¦puj¡ce warto±ci dla sygnaªu y3(t): y(t = 0), ymin, ymax i y(t = 12). 17. Utworzy¢ wektor 101-elementowy, zawieraj¡cy na przemian elementy +1 i -1. Narysowa¢ elementy tego wektora przy u»yciu instrukcji plot. 3