5020057773

FIZYKA (W3 )

Siły zachowawcze. Energia kinetyczna i potencjalna Praca.

1.) Praca na drodze cząstki w ruchu.

Różniczkowa praca siły jest zdefiniowana jako praca wykonana przez siłę F na odcinku DE, jeżeli siła działa na odcinku AB :

Wab := f (A3) F ⁰ dr    (1)

Wab := i (a,b) F cos^F, dr) dr (la)

We wzorze (1) siła F jest wypadkową wszystkich sił działających na daną cząstkę.

Wab — J <ajb) m (dV / dt) ° dr    (2)

dr = V dt

Wab = m J (a3) (dV / dt) ° V dt (2a)

(dV/ dt) ⁰ V = d (V²) / dt = 2 V (dV / dt) =<dV/dt)⁰ dV = (l / 2)(dV² / dt)

Wab = (1 / 2) m f _<a,b) (dV² / dt) dt = (1 / 2) m f _{A,B) dO/²) = [(1 / 2) in V²]    =

= (1 / 2) m V_B² - (1 / 2) m V_A² W_Afl = (l/2)m(VB²-VA²)

Jest to różnica energii kinetycznej jaką osiągnie cząstka przemieszczając się od punktu A do B.

Wniosek:

Praca wykonana nad cząstką swobodną (nie posiadającej energii potencjalnej) jest równa zmianie energii kinetycznej tej cząstki.

2.) Siły zachowawcze - energia potencjalna.

Siła działająca na ciało jest wówczas siłą zachowawczą jeżeli praca wykonana przy przesunięciu od punktu A do B po drodze ACB jest równa pracy wykonanej po drodze ADB. (rys 1)

Wab ⁼ I (acb) Fc ° dr = J (adb> Fc ° dr Czyli praca niezależna jest od toru łączącego punkty A i B :

W = J (adbca) F_c ° dr = 0

W większości przypadków działania sił na masy mamy do czynienia z siłami zachowawczymi.

Np.:

Praca wykonana przez siłę grawitacji, (rys 2)

Wab := f (A3) F ⁰ dr F(0, mg) dr(dx, dy)

F = -/mg dr = i dx + / dy

Fdr=-/mg°(idx+jf dy) = - m g dy

Wab = J{A3)(- nrg) dy = [(- mg)y](m.m) = mgAh ; Ah = hj - h₂ Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siły zachowawcze (nie zależną od toru) :

! UAB=J(A3)Fc⁰dr = UB-UA    (3)

Skalarna funkcja U(x, y, z) jest to energia potencjalna związana z siłą zachowawczą Fc. Wielkości Ub i Ua są to wartości tej funkcji skalarnej wyznaczone w końcowych punktach toru.

Przyjmuje się, że punkt B jest w nieskończoności i wówczas U_B—>0

U ab= I <a^»} Fc ° dr = - J («jA) Fc ⁰ dr = Ua (3a)

Praca wykonana nad cząstką od punktu "oo" gdzie siły Fc nie działają do wybranego punktu A, w którym siły te działają (obszar działania pól potencjalnych) jest U_A (energia potencjalna w punkcie A).

Równanie (3a) prowadzi do związku analogicznego między U_A a F_c : d U_A / dr = - F_c    (3b)

lub

F_c = - grad U(x, y, z) lub