6472485865

H|    Pierścień Kaca    Krzysztof REJ MER

Charakterystyczną cechą układów makroskopowych. złażonych a wielkiej Bcafay cząsteczek jat lo, te zachodzą w nich procesy nieodwracalne, tafcie jak przepływ ciepła pomiędzy dalami o różnych temperaturach. Dzieje »ę tak. mimo ia ptfa mechaniki klasycznej. rządząc* rmktm rnąWsrark. aą odwraca

punkcie znajduje się

H m 1, kiedy w każdym . w każdym rucha każda

A(t) zmienia jedynie znak, co i wzór (5). Jednak gdy fi < I. rozwiązanie, któro otrzymaliśmy, odpowiada znikającej różnicy 0ośd białych i marnych kulek (|A(0i —• 0). gdy * dąży do nieskończoności. co zgadza acz* w przyrodzie dążeniem doi zachowanie się układu Z drugiej strony nasz wynik w oczywisty sposób jrat błędny.

1. ParadoluU

Odnotujmy, że A(2JV) - A(0),

Im SN

Uśrednijmy to'

(10)    (A(»)) = £(e^i*»-a.. .fr-r) *-*(•) zależy od 1. więc:

n«®łi

do (.

(11)    (A(l))A(0).

Przedyskutujemy dwa przypadki. >dy « jak igdyjmtwictazemżN.

Układowi sknlą nm Należy wyciw. ar łwiudaair Poincarego dotyc zachowawczych (izolowanych) układów mechaiw iiptk rutumi*.'! układy, i którymi mamy do czynienia w rzeczywistości, nie są isołowanr, jednak i tkwi istota rzeczy.

(1)

(3)

2. Paradoks Zerinclo:

*t~*■ 0 - W-

.jat

rm piMkadlrniu Mł

■MtmAbw

Dążenie makroskopowego układu do stanu równowagi co Jest procesem aiaodwiai alnj m w przypadku rozrzedzonego gazu opisywane jest równaniem Boltzmanna Jednak analiza zachowania się wtdkktu zbioru caąatacMk poruszających tką w trójwymiarowej praastrasni Jest niesłychanie trudna, dlatego uprościmy ■obła zadanie i przedyskutujemy własności bardzo psomapo modelu, mającego wszystkie iMarauJące ans wlasnnśrt. sapropooowanego przez Marka Kaca. Modsl tao został nazwany pierścieniem Kncn. Koewaśymy zatem okrąg podzwśooy przez N punktów na N komórek, każda i nich zawiera kulkę białą lub marną, założymy przy tym. że w atanłe początkowym dominują kulki Jednego koloru. W Jednostkowych odstępach czasu każda s kulek przrakakuje do następnej komórki, umówmy dę. że zgodnie s ruchem wskazówek zegara. Pewna Bczba punktów zawiera wskaźniki, któro cmirtuają kolor mijającej wskaźnik kulki. Praąjirir kuOd prasa snarsalk Jest tu odpowiednikiem zderzenia csptnMk Spodziewalibyśmy się, że układ dąży do stanu równowagi, w którym liczba białych kulek Jest równa Babia kuirh marnych.

W—ym akn Jcat znalaknk równać opisujących Babę knlsk białych 0(1) i marnych C(t) Jako funkcji (iłysknlaiiu. ■liana ig Bohami naturalnymi) cum I. Oi w trasy prasa ż(l) ł cfl) Bohy białych I marnych kułak oajdująryeh ką bezpośrednio przed znacanłkąmi. a wiąe smieaiająryrh kolor w MjbUżssym skoku

Spełnione są równania fl(f + i) = 0(0+ «<*)-MO. C(f + i)-C(0 + M0-c(0.

Oznaczmy przez A różnicę między limbą białych i marnych kulek. Spełnia ona równanie

(2) A<t +1) - A(l) - 2(fr(0 - M01-

JhM to równanie wprawdzie ściale, aie zupełnie bezwartościowe, nie znamy bowiem rozkładu kulek przed znacznikami. Wprowadzimy do modelu pewne założenie autystyczne. Założymy mianowicie, że ułamek cząstek zmieniających barwę w danym kroku Jest równy prawdopodobieństwu ;i tego. że wybrany punkt dzielący okrąg na komórki jest znacznikiem. Prawdopodobieństwo to możemy zdefiniował Jako stosunek liczby znaczników do limby wszystkich punktów. A satem

*!l. MO

0(0 W) ^M

Przy tym założeniu równanie (2) daje się sprowadził do postaci

(4)    A(f ♦ 1) w (I - 2p)A(0.

któro można iterował I rasy, aby otrzymał rozwiązanie w postaci

(»)    A(0 - (1 - 2m)'A(0).

n>> r = 2.V każda i kole ik. a więc układ musi

Dokładniej rzecz biorąc, zarówno równanie (4). jak i rozwiązana* (i) wcale nie muszą być złe. jedynie zakres ich stosowalności jest ograniczony. Sprzeczność między mrodwrac sinym charakterom obserwowany rh zjawisk i odwracalnośdą dynamiki, jak również paradoksy Dech miła i Zermdo zostają rozwiązane, jeśk wprowadzimy sewpół st at >>t yczny i wykażemy, że równania (4. 5) opisują wt* ścisłe rachowanie się dowolnego układu w zespole, Im najbardziej prawdopodobne zachowanie się jednego z układów tworzących zespól. Zespól statystyczny zdefiniujemy Jako zbiór pierścieni Kaca o tym samym początkowym roumewzezeniu kulek czarnych i białych, aie o różnych rozmieszczeniach tej samej limby znaczników. Niech i oznacza numer punktu, natomiast ułomek układów mających znacznik w punkcie i Jest równy /i. Stan mikroskopowy układu opiszemy następująco:

;/,(f) - 1. gdy w chwili t przed punktem i znajduje się biała kulka,

»ft(0 = -1. gdy w chwili t praed punktem i znajduje się czarna kulka,

U ^m 1. gdy w punkcie i nic nu znacznika, r, — -1, gdy w punkcie i znajduje się znacznik.

Posługując się tymi definicjami, możemy napisać

(6)    A(l) - 5>(C)

oraz

(T)    **,(!♦ I )-£,«(*).

Możemy więc wyrazić A przez warunki początkowe

(8)    *♦!(• +1) - e.c.-i ...e.-₍*-i(0).

(») A(l + 1)-    ...c,-,rj,-,(0).

^(I-P)'-'

(jest to prawdopodobiróatsw w dowolnym układzie) pnm _Ił

m-i

(jest to ilość możliwych pośród I punktów). Dla j jat równy (-1Y Mamy (12)

_____

(W unpssbj pracy Kaca ta irerhaa • w zupełnie inny, niezwykle pomysłowy, choć sposób.) Powyższa procedura jat poprawna pod warunkiem, że r < N Duże wartości j w sumie (12) mogą być większe od ilości znaczników i takie składniki sumy fałszują wynik. Wynik, który otrzymaliśmy, natychmiast prowadzi do wniosku

(13)    (A(l)) - (1 - 2p)'A(0),

przy czym Jest on prawdziwy, gdy t Jem mniejszo nie tylko od N. lecz i od limby znaczników. Jest to wynik zgodny z równaniem opartym na założenia (3), tyk tylko, że opisuje on nie dokładne uchowanie się pojedynczego układu (z całego zespołu możliwych układów), km najbardziej prawdopodobne zachowanie się Jednego z układów w zespole. Dla N < l < 2N zapiszemy le/fłi

(14)    (ej...«»♦.) - <«t.• .«i*«i..•«##♦•> •

■ (*•+1...Citf) w (fi•••**-•) ■ (*i...<ur_«). gdzie najpierw pozbyliśmy kę znaczników występujących dwukrotnie, a potem inacaeJ ponumerowaliśmy punkty. Dostajemy wynik taki sam Jak poprasdnio, tylko zamiast t mamy 2N -1,

(16)    <A(t)> - (1 - 2p)^,*’^,A<0).

Wynik ten Jest poprawny, gdy t Jest hlkkk wartości SN, z podobnych powodów jak w poprzednim przypadku. Ody t —• SN, średnia po seapok dąży do wnrtośd początkowej. Nazwiemy to antybołtsmaaoownlda zachowaniem kę układu.

6

7

■