6830719712

Związek między równaniem stanu, równaniem wyjścia a macierzą transmitancji.

Punktem wyjścia niech będzie układ dynamiczny:

•    liniowy,

•    stacjonarny,

•    wielowymiarowy.

Układ taki opisują równania układu; równanie stanu i równanie wyjścia:

X(t) = A X(t) + B U(t) - równanie stanu

Y© =C X(t)    - równamewyjścm^ ^ _u(t), _x(t) j _Y(t) są

określone następująco:

U(t) - wektor sygnałów			X(t) - wektor stanu, Y(t) - wektor sygnałów
wejściowych,					wyjściowych,
	"u i (t) “			*1 (t)"		y i co ‘
	^u 2 (t)			^x2 (t)		y 2 (t)
U(t)=	ur(t)_		x(t)=	xn(t)_	Y(t)=	Jm ^(A

Powyższy wektorowo-macierzowy opis układu rozszerza się wprowadzając transmitancję macierzową G(s). Uwzględniając transformaty wektora wejść U(t) ^—>U(s) i odpowiednio wektora wyjść Y(t) —^Y(s), można sformułować równanie:

Y(s) = G(s)U(s)

Elementami transmitancji macierzowej G(s) są transmitancję łączące poszczególne wejścia i wyjścia (iys. poniżej):

y i(s)		G(s)u G(s)12 ...	Gis)^		Ui(S)
y 2 Cs)	=	G(s)21 G(s)22 ...	Gfr)*		u2(s)
ym(s)		GCs)^ G(s)nt2 ..	• GCs)^		UrC^S>

Równania stanu poddajemy przekształceniom Laplace'a:

W

X(t) = A • X(t) + B • U(t)    sX(s) = A • X(s) + B • U (s)

=    ^ i otrzymujemy ^Y(s) = CXOO

Równanie stanu przyjmuje postać:

sX(s) - A X(s)=B U(s)

(sl - A) X(s) = B U(s)

Na podstawie równania stanu wyznaczamy: X(s) = B (sl - A)’¹ U(s)

Wyznaczoną wartość transformaty wektora stanu X(s) podstawiamy do równania wyjścia i otrzymujemy:

Y(s) = C X(s) = C B (sl - A)'¹ U(s)