1105139920

17

Przypomnienie. Kryterium Sylvestera, poznane na I roku na wykładach z GALu, wyjaśnia, kiedy macierz E rzeczywista i symetryczna wymiaru k x k jest dodatnio określona:

£ > 0 -*=*• £ f i \ ^P| > 0 dla p= 1, 2,..., k,

V¹ 2 P

gdzie E

3i 3i ■■■ 3v) oraz kolumn o numerach ji, j2,.

to minor pxp w macierzy E używający wierszy o numerach i\, *2, -

podręcznika z teorii macierzy i algebry liniowej [6]). Minory E

j_p (używamy tu oznaczeń ze zbyt mało w Polsce znanego

1    2    ... p\

r kryterium

Sylvestera to minory główne macierzy E.

Znane jest też podobne kryterium na temat nieujemnej określoności macierzy, aczkolwiek nie wchodzi ono do standardowego kursu GALu. Mianowicie, dla macierzy E, kwadratowej k x k rzeczywistej symetrycznej,

E > 0 <*=>■ E

*2

ii

> 0 dla 1 < ii < *2 < • • • < i_p < k,

przy wszystkich p = 1, 2,..., k. Minory E

*2

ii

to minory centralne macierzy E.

To nowe kryterium jest w istocie dość szybkim wnioskiem z kryterium Sylvestera - patrz [6], strona 270. Kluczowe miejsce w rozumowaniu, aczkolwiek piękne, jest tam jednak zredagowane niezmiernie lakonicznie. Dla wygody czytelnika, poniżej przytaczamy właściwy fragment wspomnianej strony z [6].

i\

ii

h

występują wyrazy z nie-

(W rozwinięciu e^p + ... minora centralnego A,

ujemnymi współczynnikami przy potęgach e^{p 1},..., e¹, 1 — dlaczego?)

W tej chwili mamy już język, lecz jest on jeszcze dla nas martwą literą. Jak Markowitz koduje, czy modeluje, swoje portfele? Wskazówki dostarcza już Wykład 1, gdzie co prawda

występują tylko dwie spółki, zaś portfele opisywane są punktami x — ( ^Xl ) leżącymi na

\^xi )

prostej £i + X2 = 1 w pierwszej ćwiartce (czyli spełniającymi warunki x\ > 0 i X2 > 0). Ze swojego kapitału L, inwestor przeznaczał tam x\L na zakup akcji pierwszej spółki (i kupował tych akcji _c^^lL_c ) oraz xiL na zakup akcji drugiej spółki (których kupował ).

Teraz, gdy dostępne są akcje spółek o numerach 1, 2,, k, inwestor dzieli swój kapitał L na części

x\L + X2L -I-----h XkL = L,

gdzie oczywiście x\, X2,    0 oraz x\ + X2 +----1- Xk = 1- Następnie, dla i = 1, 2,..., k,

za kwotę XiL kupuje on akcje spółki numer i.

Możliwe portfele inwestora są więc teraz opisywane punktami

takimi, że x\+X2----1- Xk — 1 oraz x\, X2,    0.